Lezioni, Risk Management (Secondo parziale)

Appunti di economia delle aziende di credito II (Risk management)

Introduzione per lo studente

La presente dispensa riporta con fedeltà ed accuratezza i contenuti delle lezioni di risk management del prof. Iannotta, relativi alla seconda metà del corso. Costruita sulla base di un'assidua frequenza alle lezioni, tale dispensa si occupa fondamentalmente del rischio di mercato e del rischio di credito, analizzati approfonditamente anche con riferimento alle ragioni teoriche sottostanti a quanto poi tradotto in formule.

La completezza del lavoro, che rimane comunque sintetico e di rapida lettura, il frequente rimando a questioni citate in precedenza, i numerosi esempi, teorici e pratici, illustrati anche graficamente, la spiegazione “passo passo” dei meccanismi più complessi per l'illustrazione dei quali è stato sfruttato Excel, e le note agli esercizi risolti in classe ne fanno uno strumento utile per una preparazione rapida e non dispersiva, soprattutto considerando l'assenza di una vera e propria bibliografia di riferimento.

Indice analitico della dispensa

• Il rischio di mercato
  • Approccio varianze/covarianze (parametrico)
    • La deviazione standard (s.q.m.) come misura di volatilità
    • Dalla deviazione standard al VAR
    • Il VAR su indici e titoli azionari
    • Il VAR su obbligazioni in valuta domestica
    • Il VAR su obbligazioni in valuta estera
    • Il VAR su posizioni in valuta a pronti
    • Il VAR su posizioni in valuta a termine
  • Approccio delle simulazioni storiche
  • Approccio delle simulazioni Monte Carlo
• Il rischio di credito
  • Il default
    • Perdita attesa e perdita inattesa
    • PD – Probability of default
  • Modelli basati sul mercato
  • Modelli di rating
  • Il modello Credit Metrics
• Note
  • Calcolo del VAR su azioni e Beta (β)
  • Esempio pratico di calcolo del VAR su posizione in valuta
  • L'uso della normale nelle simulazioni Monte Carlo
  • Esempio pratico di esercizio d'esame sulle simulazioni Monte Carlo
  • Esempio pratico di esercizio d'esame sulle PD marginali e cumulate
  • Dalle PD cumulate alle PD marginali
  • Dalle PD marginali alle PD cumulate
  • Esempio pratico di esercizio d'esame sulle matrici di transizione
  • Ripasso sul calcolo dei tassi forward
  • Esempio pratico di esercizio d'esame sul rischio di credito

Economia delle aziende di credito II (Risk management)

Il rischio di mercato

Il rischio di mercato è il rischio di conseguenze avverse per la banca derivanti da fluttuazioni inattese dei prezzi degli strumenti di mercato (obbligazioni, azioni e strumenti derivati) che la banca stessa compra e vende per conto proprio. [Come vedremo si tratta di un rischio declinato in diverse possibili altre sfaccettature, poiché, ad esempio, se una banca italiana compra azioni in dollari corre sì un rischio di mercato, ma anche un rischio di cambio].

La misura principe che quantifica tale rischio è il VAR (Value At Risk, o Valore A Rischio), indicatore calcolabile sia con riferimento alle attività finanziarie (su cui ci concentreremo), sia su commodities (es. petrolio, oro, grano, ecc.).

Si tratta di una misura introdotta a metà degli anni '90 da una grande banca americana (J.P.Morgan), il cui Amministratore Delegato si pose il problema di sapere, ogni giorno, alla chiusura, quanto la sua banca stesse rischiando, su tutti i mercati in tutto il mondo, in un'unica cifra. Egli affidò l'incarico di rispondere a tale quesito alla società RiskMetrics, che diede come risposta il VAR, definibile come la massima perdita potenziale realizzabile su una certa posizione in un dato orizzonte temporale e con un dato livello di confidenza.

Come evidenziato anche graficamente, il VAR non rappresenta la massima perdita possibile, che sarebbe il 100%* di quanto posseduto, o, in alcuni casi (ad esempio in caso di possesso di strumenti derivati quali i futures), anche più del 100% di quanto posseduto, poiché la conoscenza di tale dato di fatto non è di particolare utilità. Esso (VAR) rappresenta invece la massima perdita potenziale con un certo livello di confidenza, ossia, la massima perdita conseguibile con un certo livello di probabilità sulla propria posizione.

A seconda che due o più titoli siano comparativamente più o meno rischiosi, infatti, la probabilità di realizzare perdite risulta diversa per i diversi titoli, nonostante la massima perdita possibile sia per tutti il 100%, ed il VAR cerca dunque di catturare proprio tale differenza (nella probabilità di realizzare la perdita).

*[Il fatto che sulla maggior parte degli strumenti la massima perdita possibile sia limitata al 100% è conseguenza del principio giuridico, non finanziario, di responsabilità limitata].

Posto che nulla vieta (e lo faremo per esercizio) di calcolare il VAR su qualsiasi orizzonte temporale (orario, giornaliero, settimanale, mensile, ecc.), normalmente misureremo il VAR su orizzonti temporali giornalieri, poiché, per quanto le posizioni sul mercato cambino non solo giorno per giorno, ma addirittura ora per ora, una simile scansione porterebbe ad un eccesso di informazioni, e si ritiene dunque equilibrato il calcolo giornaliero.

Fatte tali premesse, va detto che esistono diversi approcci utilizzabili per calcolare il VAR.

Il primo di essi prende il nome di approccio varianze/covarianze, o approccio parametrico, ed è il più utilizzato, nonché il primo ad essere stato introdotto (è proprio quello proposto a J.P. Morgan da RiskMetrics). Esiste poi una seconda tipologia d'approccio, detta delle simulazioni, al cui interno è evidenziabile un'ulteriore bipartizione, tra simulazioni storiche e simulazioni Monte Carlo.

Posto che l'approccio delle simulazioni storiche è di gran lunga il più semplice sul piano metodologico, ma anche il meno utilizzato in assoluto, poiché per certi aspetti inaffidabile, e che l'approccio delle simulazioni Monte Carlo risulta invece relativamente più complesso e generalmente utilizzato quando, per qualche ragione che vedremo meglio in seguito, l'approccio variane/covarianze risulta inapplicabile, risulta il seguente schema:

• VAR
  • Approccio varianze/covarianze (parametrico)
  • Approccio delle simulazioni
    • Simulazioni storiche
    • Simulazioni Monte Carlo

[N.B.: Si noti: la definizione di VAR, così come la finalità dello stesso, rimane la medesima indipendentemente dall'approccio di calcolo!]

Approccio varianze/covarianze (parametrico)

La deviazione standard (s.q.m.) come misura di volatilità

Per calcolare il VAR con l'approccio varianze/covarianze risultano necessari alcuni input. Tra questi, quello di gran lunga più importante (non il solo, ma il principale) è la deviazione standard (o scarto quadratico medio, s.q.m. (σ)), intesa come misura ottima (ai nostri fini attuali) della rischiosità. Analizzeremo dunque di seguito le modalità di calcolo, i pregi, i difetti, e le varianti di tale indicatore, al fine di poterlo poi consapevolmente utilizzare nel calcolo del VAR con l'approccio varianze/covarianze.

Per capire perché la deviazione standard sia (per lo meno ai nostri fini attuali) la miglior misura possibile di volatilità, si ipotizzi ad esempio di star considerando la possibilità di investire in obbligazioni (titoli di Stato) venezuelane od in obbligazioni tedesche. Anche solo “a pelle”, quasi per “cultura generale”, si potrebbe affermare come le prime siano decisamente più rischiose delle seconde, ma ipotizziamo di non volerci fermare a tale dato, e di osservare dunque il grafico dei rispettivi rendimenti.

Posti il tempo sull'asse delle ascisse (X), ed i rendimenti (o meglio, le variazioni percentuali del prezzo di tali titoli, indicate in Inglese con return*, date dal rapporto (P – P ) / P , con P = oggi ieri ieri Prezzo dell'obbligazione ad un dato tempo) sull'asse delle ordinate (Y), si potrebbe osservare un quadro simile:

*[Per distinguerli da quelli che in Italiano sono anch'essi chiamati rendimenti, ma vengono tradotti in Inglese con yield, indicando il rendimento percentuale a scadenza di un determinato strumento finanziario].

Risulta effettivamente evidente come i due titoli abbiano un andamento molto differente; più stabile l'uno e più incostante l'altro; e come la banda di oscillazione sia molto più ampia per l'uno e molto più ristretta per l'altro.

Volendo fornire una misura di tale differente rischiosità, volendo in altre parole quantificare l'ampiezza della banda di oscillazione di ciascun titolo, si potrebbe scegliere tra indicatori differenti. Tra questi il più adeguato risulta la deviazione standard. Vediamo perché:

• Un punto di riferimento centrale rispetto alla banda di oscillazione è, per costruzione, la media.
  • [Nel grafico sopra riportato è indicata come retta parallela all'asse delle ascisse la media dei rendimenti dei titoli venezuelani]
• In ogni punto del grafico risulta dunque possibile calcolare lo scarto dalla media (es. +3%; -7%, ecc.), ossia la differenza tra il rendimento di un dato giorno (ipotizzando rendimenti giornalieri) e la media, su tutto l'arco temporale considerato.
• Volendo sintetizzare* tali valori potrebbe apparire intuitivo farne la media. La media degli scarti dalla media, tuttavia, è nulla per costruzione, poiché alcuni scarti saranno positivi, ed altri negativi, annullandosi nel complesso, ed è quindi indispensabile trovare una soluzione che permetta di ovviare a tale problema.
  • Una prima soluzione potrebbe essere quella di considerare gli scarti dalla media in valore assoluto, eliminando dunque il segno, e farne la media. Quanto ottenuto prenderebbe il nome di scarto assoluto medio, che di per sé risulterebbe essere un indicatore già abbastanza vicino alle nostre necessità, poiché in effetti ai nostri fini non è rilevante la direzione della banda di oscillazione (sopra o sotto la media), ma solo la sua entità. La quantificazione della banda di oscillazione, tuttavia, non è il nostro scopo ultimo, ma soltanto un input del più complesso modello del VAR, e risulta quindi necessaria una misura di rischiosità differente.
• Una soluzione alternativa al valore assoluto per eliminare il problema dei segni (degli scarti dalla media, che rende nulla la media degli stessi) potrebbe essere l'elevamento a potenza, e nello specifico l'elevamento al quadrato.
  • Il calcolo della media degli scarti al quadrato darebbe come risultato la varianza (dei rendimenti), ma anche tale misura risulterebbe inappropriata poiché “non ha” unità di misura, essendo la stessa stata modificata dall'elevamento al quadrato.
  • Per risolvere tale problema è possibile calcolare la radice quadrata della varianza che, essendo l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, ripristina l'originaria unità di misura. La radice quadrata della varianza è proprio la deviazione standard (o s.q.m.), e come detto ha la stessa unità di misura della variabile su cui è calcolata (nel nostro caso, percentuale del rendimento).

*[Il grafico sopra riportato contempla, per ragioni di praticità, solo 4 periodi, ma considerando rendimenti giornalieri, se si volesse osservare il rendimento di un dato titolo nell'ultimo anno si avrebbero 252 osservazioni (tanti sono infatti i giorni all'anno di apertura della Borsa); risulta dunque evidente la necessità di sintesi, chiaramente meno pressante al decrescere del numero di osservazioni].

Comprese l'origine e la motivazione della scelta di considerare la deviazione standard come misura di volatilità, ancora alcune considerazioni sono necessarie riguardo la stessa. In primo luogo va portato all'attenzione il fatto che calcolando la deviazione standard nell'ultimo anno usando 252 rendimenti giornalieri, quanto si ottiene è la deviazione standard giornaliera, poiché a tal riguardo rileva unicamente la frequenza delle osservazioni, non il periodo d'osservazione. Per calcolare la deviazione standard settimanale si farà quindi riferimento a rendimenti settimanali; per calcolarla annuale si considereranno rendimenti annuali, ecc..

[N.B.: Su uno stesso titolo la deviazione standard giornaliera risulterà più bassa di quella settimanale a parità di periodo d'osservazione poiché, intuitivamente, variazioni maggiori sono più ragionevoli su periodi più lunghi piuttosto che su periodi più brevi (es. una variazione giornaliera del 4% nei rendimenti dell'indice di Borsa di Milano sarebbe uno shock notevole; al contrario una variazione del 4% mensile risulterebbe assolutamente normale)].

In secondo luogo va detto che la scelta di periodi di osservazioni differenti non è del tutto ininfluente (a differenza di quanto poteva apparire nell'ambito dell'osservazione precedente), poiché porta al calcolo di deviazioni standard differenti (infatti, anche solo intuitivamente, pare ovvio che il calcolo della deviazione standard giornaliera degli ultimi 6 mesi o degli ultimi 5 anni porti a risultati diversi). Il problema che si pone in tal senso è dunque quello di identificare il miglior periodo d'osservazione possibile.

Se infatti da un lato periodi più brevi (es. ultimi 6 mesi) offrono informazioni più aggiornate, più attuali, mentre periodi più lunghi (es. ultimi 5 anni) portano con sé quantità di dati eccessive, statisticamente significative (perché si hanno a disposizione moltissime osservazioni), ma finanziariamente inutili, anzi, distorsive, poiché riportano dati che riflettono un mondo completamente cambiato; è anche vero dall'altro lato che considerare periodi troppo brevi potrebbe costituire una miopia rispetto a determinate anomalie (es. gli ultimi 6 mesi non riflettono adeguatamente i rendimenti di un dato titolo, influenzato in tale periodo da certi fattori quali una particolare crisi del settore).

Come identificare dunque l'arco temporale migliore? L'arco temporale perfetto per antonomasia non esiste; esistono tuttavia alcuni escamotage che permettono di superare i limiti evidenziati.

Un primo stratagemma è quello di aggirare il problema non scegliendo un unico orizzonte temporale su cui calcolare la deviazione standard, ma calcolando tale indicatore su più orizzonti differenti. Si ipotizzi ad esempio che dal calcolo della deviazione standard (di seguito SD, o DS, a seconda che si utilizzi la sigla inglese o italiana) giornaliera dei rendimenti di un titolo su diversi orizzonti temporali emergano i seguenti dati:

• 1 Year: 8.00%
• 2 Year: 5.00%
• 3 Year: 6.00%
• 5 Year: 4.00%

Avere a disposizione tutti questi dati permette di fare osservazioni che il calcolo di un unico valore di deviazione standard non consentirebbe. Si può notare ad esempio che, se la SD dell'ultimo anno è 8%, e quella dell'ultimo biennio (che in quanto tale include la SD dell'ultimo anno) è 5%, evidentemente la deviazione standard di due anni fa (ossia dell'anno del biennio più lontano dal presente) era inferiore al 5%. Allo stesso modo, se la volatilità dell'ultimo triennio risulta essere del 6% includendo l'8% dell'ultimo anno, evidentemente tre anni fa la deviazione standard era inferiore a tale valore. Se ne ricava dunque come la volatilità del titolo considerato sia storicamente vicina al 4% / 5%, e si sia impennata solamente nell'ultimo anno (a causa di fattori che possono essere i più vari; ad esempio la fibrillazione del mercato attorno alle incertezze nelle politiche monetarie internazionali); tutte considerazioni che non si sarebbero potute fare calcolando la deviazione standard su uno soltanto di tali orizzonti temporali, qualsiasi esso fosse.

Un secondo stratagemma potrebbe poi essere quello di monitorare la deviazione standard utilizzando la cosiddetta media mobile, ossia calcolando ogni giorno la volatilità sugli ultimi 30 / 60 / 90 giorni (o qualsiasi altro intervallo, a piacere, anche se quelli riportati sono i più utilizzati), aggiornando quotidianamente le osservazioni includendo la più recente ed eliminando la più lontana (da qui l'aggettivo “mobile”, poiché la finestra temporale considerata si sposta in avanti coerentemente con il trascorrere del tempo).

[Es. Domani verrà inclusa nella media l'osservazione sulla variazione percentuale del prezzo di oggi, e verrà esclusa quella di 30 giorni fa; dopodomani verrà inclusa l'osservazione sui “rendimenti” di domani, e verrà esclusa l'osservazione che oggi si riferisce a 29 giorni fa, e così via].

Una metodologia simile pare ragionevole, ma non è priva di potenziali pericoli. In un simile contesto di calcolo della deviazione standard tramite media mobile, si ipotizzi ad esempio il verificarsi di una variazione “mostruosa” del prezzo dell'attività considerata, dovuta ad un fatto esogeno imprevisto che sul momento si ritiene* eccezionale.

*[Al momento del verificarsi di tale evento, causa della variazione, è ragionevole ritenere che lo stesso non si ripeterà; allo stesso tempo, essendo impossibile predire il futuro, non lo si può affermare con certezza].