Lezioni, Risk Management (Primo parziale)

BID ASK

2 mesi 5.40% 5.42%

5 mesi 5.60% 5.62%

[N.B.: Il tasso BID è il tasso a cui le banche sono disposte a prendere ricevere soldi, mentre il tasso

ASK è il tasso a cui le banche sono disposte a concedere a prestito (es. il LIBOR, di cui si è

ampiamente già parlato, è il London InterBank Offer Rate, ed è dunque un tasso ASK; il LIBID è

invece il tasso a cui le medesime banche londinesi sono disposte a recepire liquidità)]

Si ipotizzi, date tali condizioni, di voler realizzare un arbitraggio, e di analizzare dunque le possibili

opzioni a riguardo:

Si potrebbe indebitarsi a 5 mesi, pagando il 5,62%, e con la somma ottenuta a prestito investire per

5 mesi, ottenendo il 5,60%

Un'operazione del genere non sarebbe certo un arbitraggio, ma un'operazione in sicura perdita, ed è

dunque un'ipotesi da scartare.

Si potrebbe prendere a prestito a 2 mesi, pagando il 5,42%, ed investire la somma ottenuta per

altrettanti due mesi, prendendo il 5,40%.

Anche in questo caso l'operazione sarebbe in sicura perdita, e non rappresenterebbe dunque un

arbitraggio.

Ipotizziamo allora di prendere una certa somma a debito per 2 mesi, pagando il 5,42%, e di investire

per 5 mesi, sapendo di ricevere 5,60% (annuo, si ricordi!).

Un'operazione simile non evidenzia di per sé impossibilità d'arbitraggio; procediamo dunque nella

sua analisi.

Poichè l'investimento ha scadenza maggiore del debito, e poiché per definizione di arbitraggio il

soggetto agente non ha soldi, alla scadenza del debito (2 mesi) lo stesso dev'essere rimborsato

contraendo un altro debito (si parla di rolling over, ossia di portare avanti una posizione). Tale

secondo debito dovrà avere scadenza trimestrale (per giungere a 5, quando rientrerà l'investimento

maggiorato degli interessi con cui sarà possibile estinguerlo), ma è impossibile in 0 conoscerne il

tasso.

Come visto, tuttavia, la stipula di un FRA in posizione d'acquisto consente di bloccare un futuro

tasso di indebitamento, ed è dunque possibile in 0 acquistare un FRA(2x5).

In un quadro come quello descritto, fare arbitraggio risulta o meno possibile a seconda del rapporto

tra la strategia di indebitamento e quella di investimento: qualora la strategia di indebitamento sia

più costosa di quella di investimento risulta impossibile fare arbitraggio (l'operazione porterebbe

infatti ad un perdita, anzi che ad un profitto), ed è questa l'ipotesi che vogliamo analizzare, avendo

detto che il pricing dei FRA fa leva sull'ipotesi di non arbitraggio.

Ipotizziamo per semplicità di calcolo che il capitale nozionale sia di 1€.

L'operazione in analisi prevede di indebitarsi per 1€, dunque dopo 2 mesi si dovrà pagare

(1+5,42%*2/12)(1 + tasso FRA * 3/12), che rappresenta il costo della strategia di indebitamento.

Come detto, affinché l'arbitraggio non sia possibile, tale valore deve risultare maggiore del

guadagno derivante dall'investimento, pari a (1 + 5,60% * 5/12).

Si ottiene dunque: (1 + 5,42%*2/12)(1 + tasso FRA*3/12) ≥ (1 + 5,60%*5/12)

tasso FRA ≥ [[(1 + 5,60%*5/12) / (1 + 5,42%*2/12)] – 1] * 12/3

tasso FRA ≥ 5,67%

5,67% risulta dunque essere il tasso annuo minimo affinché risulti impossibile fare arbitraggio.

Consideriamo ora un'operazione alternativa, sempre finalizzata al tentativo di arbitraggio.

Ipotizziamo in questo caso di prendere un capitale a debito per 5 mesi al tasso del 5,62% annuo, e di

investirlo per 2 mesi a 5,40%, al termine dei quali si farà roll over della posizione tramite un

FRA(2x5) stipulato in data al tempo 0 in posizione di vendita.

Volendo scrivere anche per questo tipo di operazione la condizione di non arbitraggio, la strategia di

investimento deve risultare meno produttiva di quanto costi la strategia di indebitamento; si avrà

dunue: (1 + 5,40%*2/12)(1 + tasso FRA*3/12) ≤ (1 + 5,62%*5/12)

tasso FRA ≤ [[(1 + 5,62%*5/12) / (1 + 5,40%*2/12)] – 1] * 12/3

tasso FRA ≤ 5,72%

5,72% risulta dunque essere il tasso annuo massimo affinché risulti impossibile fare arbitraggio.

Se ne ricava l'esistenza di un “corridoio” compreso tra 5,67% e 5,72% in cui il tasso FRA non può

che stare, perchè se così non fosse ci sarebbero possibilità di arbitraggio (e nel caso, tutti gli

investitori utilizzerebbero le medesime strategie per sfruttare tale possibilità, creando pressioni sul

mercato tali da riportare le cose in equilibrio, eliminando la possibilità di arbitraggio).

Posto ciò, quale dev'essere il tasso teorico preciso?

Per rispondere a questa domanda consideriamo un'ulteriore possibile strategia, simile all'ultima

descritta, ma che preveda, anzi che un indebitamento per 5 mesi, di indebitarsi a 2 mesi, poi poi fare

roll over della posizione bloccando oggi la posizione al tasso fisso del FRA.

In un mercato efficiente le due strategie (quella di indebitamento a 5 mesi, e questa appena

descritta) devono essere equivalenti, poiché se così non fosse tutti punterebbero sulla più

conveniente, e le forze del mercato ripianerebbero le posizioni. In equilibrio vale dunque che:

(1 + 5,42 * 2/12)(1 + tasso FRA * 3/12) = (1 + 5,62% * 5/12)

tasso FRA = [[(1 + 5,62% * 5/12) / (1 + 5,42 * 2/12)] – 1] * 12/3

tasso FRA = 5,70%

5,70% è dunque il tasso teorico a cui si dovrebbe poter acquistare un FRA sul mercato.

[E, effettivamente, rientra nel “corridoio” tra 5,67% e 5,72%].

Il mercato dei FRA è un mercato di market maker, esattamente come il mercato interbancario, in

quanto un'istituzione si dichiara disposta ad acquistare e vendere FRA a certe quotazioni, e la

differenza (tra tasso BID e tasso ASK) rappresenta il suo (dell'istituzione) profitto.

Osservando la quotazione di un FRA (es. un FRA(2x5)), si osserverà dunque sempre sia una

quotazione BID (es. 5,65%) che una quotazione ASK (es. 5,70%).

Se dunque sinora abbiamo sempre risolto casi d'esempio assumendo come “dato” il tasso del FRA,

siano ora giunti a capire da dove esso deriva.

Prima di passare all'analisi del secondo strumento derivato oggetto di questo corso, facciamo ancora

un passaggio in relazione ai FRA.

Ipotizziamo di aver acquistato un FRA(6x9) (ricordiamo, anche chiamato “in 6 per 3”) al tasso del

4,23%, tale per cui tra 6 mesi verrà osservato il LIBOR a 3 mesi e qualora lo stesso sia più alto del

4,23%, guadagneremo la differenza tra i due tassi applicata al nozionale per tre mesi, scontata di 3

mesi.

Da un punto di vista grafico/schematico, la struttura del nostro strumento al momento dell'acquisto

è la seguente: |------------------------------|---------------|

0 6 9

Ipotizziamo, una volta trascorso un mese, di voler cedere il FRA acquistato. A quale prezzo lo si

potrà vendere?

Posto che ogni giorno che trascorre dalla trading date è in un certo senso “un nuovo 0”, la struttura

del nostro strumento, trascorso un mese, potrà essere indicata come segue:

|-----|-------------------------|---------------|

0 6 9

0 5 8

Il tasso 4,23% cui abbiamo acquistato il FRA in 0 (nero) altro non è che l'aspettativa che il mercato

aveva alla trading date circa il LIBOR 3 mesi tra 6 mesi.

Ciò che interessa scoprire, al fine di ricavare il prezzo a cui è possibile vendere il FRA, è dunque

quale sia la nuova aspettativa circa quel tasso, ossia il tasso fisso di un FRA che si riferisca allo

stesso periodo contrattuale, ma che oggi, essendo passato un mese, si qualifica come FRA(5x8).

Ipotizziamo che la quotazione di un tale strumento sia 4,45%, ossia che ad oggi (0 rosso, trascorso

un mese dalla trading date) l'aspettativa del mercato circa il LIBOR 3 mesi tra 5 mesi sia 4,45%.

Se così fosse, il FRA che si sta cercando di vendere sarebbe un “biglietto vincente”, poiché

l'aspettativa attuale del tasso variabile è superiore al tasso fisso cui lo strumento fa riferimento

(4,23%), ed esiste dunque una buona probabilità di ottenere dal FRA un cash flow positivo.

Per tradurre in moneta il valore di una situazione simile occorre ipotizzare che il settlement avvenga

alla vendita: se così fosse riceveremmo

[(4,45% - 4,23%)*1'000'000*3/12] / (1 + 4,30%*8/12) = 534,67€

dove 4,30% è il tasso quotato in 0 (rosso) per le operazioni a 8 mesi (LIBOR a 8 mesi).

534,67€ è dunque il valore cui è possibile vendere il FRA in 0 (rosso), ossia trascorso un mese dalla

trading date. IRS – Interest Rate Swap

Il secondo strumento derivato che analizziamo nell'ambito di questo corso è l'Interest Rate Swap,

appartenente alla più ampia famiglia dei contratti Swap.

L'Interest Rate Swap è indubbiamente il più diffuso ed il più utilizzato* dei contratti della sua

categoria, tanto è vero che spesso si parla genericamente di Swap volendo indicare proprio un

Interest Rate Swap; va tuttavia tenuto presente che esistono anche altre tipologie di contratti Swap,

quali ad esempio l'Equity Swap (diverso dall'IRS sia in termini di valutazione, che di finalità d'uso,

ecc.), di cui però non è interesse di questo corso occuparsi.

*[L'IRS è senza dubbio anche il più abusato dei contratti Swap, tanto è vero che i tribunali di mezzo

mondo sono intasati di cause sia civili che penali riguardanti l'abuso di tali strumenti (IRS). Ciò

accade poiché, come vedremo, c'è qualcosa nell'ambito degli Interest Rate Swap che può generare

equivoci, e così è stato fino a poco tempo fa, quando la relativa normativa è stata rivista e chiarita al

fine di eliminare gli utilizzi non fisiologici degli IRS che sono invece ottimi strumenti quando

utilizzati a dovere].

Il termine “swap” in inglese comune significa “scambio”, ed il motivo per cui tale famiglia di

strumenti prende il nome di Swap risiede proprio nel fatto che con ciascuno di tali strumenti due

controparti si scambiano qualcosa.

Nell'ambito dell'Interest Rate Swap, l'oggetto dello scambio è facilmente desumibile dalla

denominazione dello strumento, che può essere dunque definito come un contratto nell'ambito del

quale due controparti si accordano di scambiarsi dei flussi di interessi in più date future.

[N.B.: Un flusso di interessi è un importo di denaro misurato sulla base di un tasso di interesse].

Definito lo strumento, procederemo di seguito come fatto per il FRA, ossia descrivendo innanzitutto

la meccanica del contratto, successivamente il suo scopo, in seguito come si prezza (pricing), ed

infine la valutazione dello strumento dopo la stipula del contratto.

Volendo innanzitutto descrivere, come detto, la meccanica dello strumenti, facciamo