Lezioni parte 1, Matematica generale

1 prima parte

MATEMATICA GENERALE

FUNZIONE f legge che ad ogni elemento x di A dove A e B sono insiemi

f : A → B associa uno e un solo elemento y di B

insieme A = classe di studenti

1°esempio insieme B = mamme di tutto il mondo

f = legge che ad ogni studente dell'insieme A associa la propria mamma

dell'insieme B

A B

O O

O è una funzione perchè per ogni x di A

O O O

O O O O si ha uno ed uno solo y di B per ogni

O O O O studente c'è una e una sola mamma

O O O

se ci sono

due fratelli

insieme A = classe di studenti

2° esempio insieme B = persone 0-50 anni

f = legge che ad ogni studente dell'insieme A associa il proprio fratello

dell'insieme B

A B non è una funzione perchè:

O O

ha 1 fratello

O 1. per ogni x di A non c'è un y di B

O O O es.

non hanno

O O O O figlio unico

nessun fratello

O O O O 2. per ogni x di A ci sono più di una

O O O sola y di B es. uno studente ha due fratelli

ha 2 fratelli

A = dominio di f (tutti i valori che x può assumere)

B = codominio di f (tutti i valori che y può assumere)

A B

O

O y= f(x)

x

y variabile dipendente = immagine di x Im x

x variabile indipendente = controimmagine di y Im y

A B Im(f) = f(A) = {y B : x A tc f(x)=y}

∈ ∃ ∈

O O l'immagine di f cioè f di A corrisponde

O O O

O all'insieme degli y appartenenti a B

O Im (f) per i quali esiste un x appartenente ad

O O O

O O A tale che f (x) = y

O L'INSIEME IMMAGINE E' DATO

DALL'INSIEME DI TUTTI I VALORI DI B

EFFETTIVAMENTE RICONDUCIBILI AD A

FUNZIONE INIETTIVA = ad elementi distinti del dominio associa elementi

distinti del codominio

f(x') = f(x'') → x' = x''

se per ogni x1, x2 appartenenti al dominio f(x1) = f(x2) implica che x1 = x2

A B la funzione del primo esempio non è

O

O f(A) iniettiva perchè se ci sono due studenti tra di

O

O loro fratelli, a loro si associa una sola mamma

O O

O (a 2 x corrisponde 1 solo y)

O O

O O y= f(x) è equivalente a x= f ¹ (y)

x;y y;x

se la funzione è iniettiva si può inoltre considerare

FUNZIONE INVERSA = ha come codominio l'insieme immagine e da questo

permette di tornare indietro fino alla controimmagine

f ¹(y)=x → y= f(x)

perciò y = f ¹(x)

il grafico è il simmetrico del grafico di f(x) rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante

NB si può considerare la funzione inversa solo sulla base di una iniettiva perchè ad ogni

elemento di B deve corrisponderne uno e uno soltanto di A (nel primo esempio non si ha una

funzione iniettiva perchè a 1 y sono associate 2 x)

FUNZIONE SURIETTIVA = l'insieme immagine corrisponde al codominio della

funzione ogni elemento di B è immagine

Im(f) = B ;

di almeno un elemento di A

A B la funzione del primo esempio non è suriettiva

O

O perchè ci sono alcune mamme che non sono

O

O mamme degli studenti della classe, cioè alcune

O

O y di B non si associano alle x di A

O

O O

FUNZIONE BIIETTIVA = se la funzione è contemporaneamente iniettiva e

suriettiva; ogni elemento di B è immagine di uno e un

solo elemento di A e l'insieme immagine corrisponde

al codominio

A B

O O

O O

O O

O O

d'ora in poi prenderemo in considerazione solamente

insieme di numeri reali al codominio

sottoinsieme di numeri reali al dominio

f : A → R A R

⊆

f = funzione di variabile reale a valori reali

quindi bisogna considerare che:

1. le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre possibili

2. la divisione è possibile solo se il denominatore è diverso da 0: D di una funzione

razionale fratta è l'insieme R dei numeri reali per i quali non si annulla il

denominatore

3. un radicale di indice dispari è definito purchè esista il radicando

4. un radicale di indice pari è definito purchè il radicando esista e sia ≥ 0

5. il logaritmo ha significato se l'argomento è positivo e la base è un numero positivo

diverso da 1

6. la funzione esponenziale con base (costante) positiva esiste purchè esista l'esponente

(variabile) es. 2^ x

7. la potenza con base variabile e esponente costante irrazionale positivo è definita solo

per i valori della base ≥ 0 x^ e

8. la potenza con base ed esponente variabili si considera solo quando la base è ≥ 0 x^ x

GRAFICO DELLA FUNZIONE l'insieme delle coppie ordinate (x e f(x)) dove x

G(f)= {(x, f(x)) x A } appartiene a A, essendo A il dominio di f

∈

COPPIE ORDINATE = coppie in cui è importante l'ordine (1;2) è diverso da (2;1); mentre in un insieme

sarebbe irrilevante: ad ogni punto sul piano del grafico posso associare una coppia ordinata e viceversa

NB il grafico della funzione è sottoinsieme di R

A= {1,2,3}

ESEMPIO f(x)= 2x + 1

y

7 1°coppia f(1) = (1;3)

5 2°coppia f(2) = (2;5)

3°coppia f(3) = (3;7)

3 il grafico di f è dato dall'insieme di queste coppie

x

1 2 3

NB y3 questo non è il grafico di una funzione

perchè all'unico punto

y2 di x (x1)

y1 corrispondono ben tre diversi

punti di y (y1, y2, y3)

x1

y questo è il grafico di una funzione

y1 perchè ad ogni punto di x (x1, x2, x3)

corrisponde

uno e un solo punto di y (y1)

x NB però non è il grafico di una funzione iniettiva

x1 x2 x3

GRAFICO FUNZIONE INVERSA

f y= f(x) x= f ¹ (y)

x;y y;x

punti simmetrici

2 . f ¹ rispetto a bisettrice

1 . del 1° e 3° quadrante

1 2

grafico della f inversa = simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del 1° e 3°quadrante

FUNZIONE PARI se per ogni x del suo dominio si ha f(-x) = f(x)

il grafico è simmetrico rispetto all'asse y

es. f(x) = x è pari? f(-x)=-x -x = x = f(x) quindi si è pari

y

. . x

-x +x

FUNZIONE DISPARI se per ogni x del suo dominio f(-x) = -f(x)

il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi

es. f(x) = x³ è dispari? f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x) .

- x +x

.

una funzione è assegnata quando sono assegnate:

la legge f, il dominio A e il codominio B

se f(x)=x³+2 manca il dominio e perciò si considererà il dominio naurale della funzione (= il più grande

insieme sul quale la funzione ha senso)

ESEMPIO 1

f(x)=√(x+5) (x-3) (-x+2)

condizione: (x+5) (x-3) (-x+2) ≥ 0

x+5 ≥ 0 = x ≥ -5 -5 +2 +3

x-3 ≥ 0 = x ≥ 3 ---------------------o++++++++++++++++++++++++++++++++

-x+2 ≥ 0 = -x ≥ -2 = x ≤ 2 +++++++++++++++++++++++++++++o-------------------------

---------------------------------------------------------o+++++++++++

+ 0 - 0 + 0 -

x ≤ -5 2 ≤ x ≤ 3

D= (- ∞, -5] U [2;3]

ESEMPIO 2

f(x)=√3x²+x+1

condizioni: 3x²+x+1 ≥ 0

NB se il primo coefficiente è positivo, la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, viceversa verso il basso

la parabola presenterà 1 intersezione con x se ∆ = 0

2 intersezioni con x se ∆ > 0

nessuna intersezione con x se ∆ < 0

∆ = b² – 4ac

1-4(3) = 1-12 = -11 < 0 perciò non ci sarà nessuna intersezione con l'asse delle ascisse

ESEMPIO 3

f(x) = √ 3x+2 1

+

2x² -2x -4 x-2

condizioni: 3x+2 ≥ 0

2x² -2x -4

x-2 ≠ 0

(2x² -2x -4 ≠ 0)

3x+2 ≥ 0 = 3x ≥ -2 = x ≥ - 2/3

2x² -2x - 4 ≥ 0 le equazioni di secondo grado (x²) si risolvono con

x = -b +- √ b² – 4 ac

1/2 2a

2x² - 2x - 4 = 0 2+6 = 2

4

x = + 2 + - √4 – 4(-8) = 2 + - √36

1/2 4 4 2-6 = -1 -1 +2

4

a -1 e 2 si annulla

prima di -1 e dopo di 2 la x assume valori positivi

tra -1 e 2 la x assume valori negativi

la condizione x ≠ 2 è già soddisfatta -1 -2/3 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ o

o_ _ _ _ _ _o

- 0 + 0 - 0 +

D = [-1;-2/3] U