Lezioni parte 1, Matematica generale

PROPRIETA' DI MONOTONIA

1. funzioni monotone

strettamente crescenti e crescenti

se prendiamo x1 < x2 se prendiamo x1 < x2

in corrispondenza si verifica f(x1) < f(x2) in corrispondenza si verifica f(x1) ≤ f(x2)

[e così per ogni singola coppia] [e così per ogni singola coppia]

f(x5) - .

f (x2) - . f(x3); f(x4) - . .

f(x2) - .

f(x1) - . f(x1) - .

x1 x2 x1 x2 x3 x4 x5

2. funzioni monotone

strettamente decrescenti e decrescenti

se prendiamo x1 < x2 se prendiamo x1 < x2

in corrispondenza si verifica f(x1) > f(x2) in corrispondenza si verifica f(x1) ≥ f(x2)

[e così per ogni singola coppia] f(x1)- .

f(x1)- . f(x2); f(x3)- . .

f(x4)- .

f(x2)- . f(x5) - .

x1 x2 x1 x2 x3 x4 x5

la funzioni strettamente monotone sono invertibili perchè ogni retta parallella all'asse delle x

incontra la funzione in un solo punto; però non è vero che tutte le funzioni invertibili sono

strettamente monotone

es. dove o=non assunto; .=assunto

o questa funzione è invertibile

. . ma non è nè strettamente crescente

. nè strettamente decrescente

a b c

FUNZIONI ELEMENTARI

1. f(x) = ax + b definita sul punto r a=coefficente angolare della retta (da la pendenza)

il grafico è una retta b= da l'intercetta della retta con asse ordinate b=0

a > 0 a < 0 a = 0

.

.

. C(x) = Cf + Cx

FUNZIONE DEI COSTI C = costo per produrre x

Cf = costi fissi

x = quantità del bene da produrre

C = costo unitario

Cx = costi variabili

R(x) = px

FUNZIONE DEI RICAVI R = ricavo ottenuto

x = quantità del bene venduto

p = prezzo unitario

px = prezzo di vendita

P(x) = R(x) – C(x)

FUNZIONE DEL PROFITTO P(x) = px – Cf + Cx = (p-C)x – Cf

y = px trovando la soluzione a questo sistema

y = Cf + Cx trovo il punto di incontro tra retta dei costi e retta dei ricavi, cioè il punto di pareggio

2. f(x) = ax² + bx + c equazione di secondo grado → grafico è una parabola con

concavità verso l'alto se a>0 e verso il basso se a<0; invece è una retta

ovviamente se a=0 perchè rimarrebbe una funzione lineare (di 1°grado)

∆ < 0 a=1

∆ = 0 b=0 f(x)=x²

a>0 c=0

∆ > 0 1 .

a<0 1

hanno questo grafico tutte le x elevate

a un numero pari, però aumentando il

grado si allarga sotto e schiaccia sopra

3. f(x) = 1/x iperbole equilatera che ha come asintoti gli assi cartesiani

nel caso di f(x) = ax + b / cx + d

si tratta sempre di un'iperbole equilatera,

quindi l'andamento è lo stesso,

ma gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani

ma sono ad essi paralleli

4. f(x) = x³ → y = x³ → x= ³√ y la funzione inversa f(x)= ³√ x [f (y) = ³√ y]

inversa SURIETTIVA Im è tutto R e coincide con il codominio

1 . INIETTIVA ad ogni y corrisponde una sola x

perciò BIETTIVA e INVERTIBILE

-1 1

. -1

5.f(x)=x² → y= x² → x=√y y=√x funzione inversa

f: R → R

insieme immagine = insieme di tutti i valori

che f assume: Im di questa funzione è x > 0

perchè essa assume solo valori postivi infatti

[0;+∞)

come dominio ho R

come codominio ho R

dal momento che questa funzione inversa

non sarebbe invertibile perchè

ad ogni punto y corrispondono

più punti di x; per trovare la funzione

inversa considero solo una metà

f^-1: [0;+∞) → R

6.f(x) = a^x a è una costante: il grafico varia a seconda che a>1 o 0<a<1

y=a^x

a>1 0<a<1

. .

(0;1) (0;1)

y=log a^x

.

(1;0)

questa funzione è invertibile perchè iniettiva f^-1= (0;+∞)

l'immagine della funzione diretta corrisponde al dominio della funzione inversa

Im(f) = (0;+∞) Im lo vedo dal grafico: devo vedere dove sono le ordinate e

quindi dove la y incontra la funzione es.se tiro una linea

parallela a x, partendo da y=3, vedo che questa incontra la

curva e perciò il valore 3 farà sicuramente parte del dominio;

viceversa se considero il valore y=-4 vedo che la linea

corrispondente non incontra la curva e perciò posso dedurre

che il relativo valore non sarà assunto

NB uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più incognite

EQUAZIONE =

di 1° grado o lineare = il grado massimo delle incognite è uno ax + b = 0

a

di 2° grado o quadratica = il grado massimo dell'incognita è due x² + bx + c = 0

di 3° grado o cubiche = il grado massimo dell'incognita è tre ax³ + bx² + cx + d = 0

di 4° grado, di 5° grado

di un polinomio quantità che dà informazioni sulle sue radici

DISCRIMINANTE =

(nell'equazione di secondo grado è il ∆)

retta a cui si avvicina indefinitivamente una funzione data

ASINTOTO =

y = e^x

e=numero irrazionale compreso tra 2 e 3

la funzione inversa è y = logx (logaritmo naturale, anche 'logx')

dal momento che la base non è specificata si intende e

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

f:R→ R

f(x)=senx f(x)=arc senx

f(x)=cosx f(x)=arc cosx

f(x)=tgx f(x)=arc tgx

ᴨ

f(x) = senx (periodica di ampiezza ) D:R definita per ogni x appartenente a R

Im(f)= [-1;1] dal momento che

+1 valori >1 e <-1 non sono mai assunti

da questa funzione

ᴨ

- /2 f(x): R → [-1;1]

ᴨ ᴨ ᴨ ᴨ ᴨ

- 2 - /2 2

-1 questa funzione non è iniettiva e perciò neppure invertibile,

ma posso considerarne solo una parte

y=senx ᴨ ᴨ

f(x): [- /2; /2] → [-1;1]

+1 ᴨ ᴨ

f^-1(x): [-1;1] → [- /2; /2]

ᴨ

- /2 y=arc senx

ᴨ

/2

-1

f(x)= cosx ᴨ

(periodica di ampiezza 2 ) inversa

+1 +1

ᴨ ᴨ ᴨ ᴨ ᴨ ᴨ ᴨ

- 3/2 - /2 /2 3/2 - /2 /2

-1 -1 f:[o; ᴨ

f(x): R → [-1;1] ]→[-1;+1]

f^ : [o; ᴨ

inversa [-1;+1]→ ]

-1

f(x)= tgx ᴨ

(periodica di intervallo ) ᴨ ᴨ

f(x): (- /2; /2) → R

ᴨ ᴨ

f^-1(x): R → ( - /2; /2)

y = arc tgx

ᴨ ᴨ

- /2 /2 ᴨ

(0; /2)

ᴨ

(0;- /2)

FUNZIONI COMPOSTE

date due funzioni f e g la funzione composta h(x) = f(g(x)), che si indica h = f o g

è la funzione il cui dominio è costituito dagli elementi del dominio di g la cui

immagine appartiene al dominio di f

f: A → R g: B → R

f o g = f(g(x)): x C B → f(g(x)) C R

Im(g) C dom f contenuto = l'insieme immagine g è contenuto nel dominio di f (è suo

sottoinsieme) e i due potrebbero anche coincidere

es. f(x) = √x+2 x+2 ≥ 0 = x ≥ -2 f: [-2;+∞) → R

g(x) = x²+1 x²+1 ≥ 0 = x² ≥ -1 g: R → R

I g o f? Imf deve appartenere al dominio di g.

I f o g? Img deve appartenere al dominio di f.

NB se esiste una, non è detto che esista anche l'altra e se esistono entrambe non è detto che

siano uguali

g(x) = x² + 1 Img [1;+∞] questo intervallo

non è contenuto nel dominio di f : [-2; +∞]

1

considerando g o f : [-2;+∞] → R

f g

(g o f)(x) x → √x+2 → √x²+2 +1= x+2+1= x+3

g f

(f o g)(x) x → x² + 1 → √ x+1+2 = √ x+3

i risultati sono diversi perciò g o f e f o g non sono uguali

f(x) = e^x I f o g ? f(x): R → R Im g C dom f

g(x)= x³ I g o f ? g(x): R → R Im f C dom g

sapendo che il dominio è sempre R, sappiamo che esiste sia f o g sia g o f!

tutti i valori che x può assumere perchè f sia soddisfatta

Y D= (0;+∞)

codominio R

6 Imf (-∞;4) U [5;+∞)

5 tutti i valori che f effettivamente assume

o si guarda sull'asse y

tutti i valori di y effettivamente riconducibili a x

no iniettiva perchè ci sono più punti di x che

incontrano y

x

1 4 no suriettiva no monotona perchè dovrebbe essere

crescente/decrescente per ogni x

non ha senso chiedersi se pari o dispari

y non è una funzione

x

y D= R - {1}

Imf=[-2;+∞)

non è assunto in 1, ma lo è in -1

non è pari perchè f(-1) non esiste

x

-1 +1

. o

-2

f(x)= √|x| + 2

Siccome c'è radice: |x|+2 ≥ 0 → |x| ≥ -2

|x| → se x ≥ 0 = x es. |2| → siccome > 0 = 2 valore assoluto di un numero reale

se x < 0 = -x es. |-2| → siccome < 0 =2 sempre positivo

perciò D = R

è pari o dispari? ha senso chiederselo perchè essendo D=R la funzione è

simmetrica rispetto all'origine degli assi

f(x) il segno della funzione è positivo

f(-x) f(-x)= √|-x|+2 = √|x|+2= f(x) per ogni x appartenente a R

-f(x) perchè è sotto radice

√3 - |x+2| / x

f(x) =

condizioni: 3 - |x+2| / x ≥ 0 → - |x+2| ≥ -3 → |x+2| ≤ 3

x = 0

|f(x)| ≤ k con k > 0 → f(x) ≤ k

f(x) ≥ - k

x+2 / x ≤ 3 = x+2 -3x / x ≤ 0 = -2x +2 / x ≤ 0

x+2/x ≥ -3 = x + 2 + 3x / x ≥ 0 = 4x + 2 ≥ 0

I disequazione -2x +2 / x ≤ 0 0 1

-2x+2 ≥ 0 = x ≤ 1 +++++++++++++++++o-------------

x > 0 -------------o++++++++++++++++++

- + 0 -

ND

(-∞;0) U [1;+∞)

II disequazione 4x+2 ≥ 0 -1/2 0

4x+2 ≥ 0 = x ≥ -1/2 -------------o++++++++++++++++

x > 0 -----------------------------o++++++++

+ 0 - +

ND

(-∞;-1/2] U (0;+∞)

soluzioni comuni -1/2 0 1

o .

. o

(-∞;-1/2] U [1;+∞)

f(x)= log |x-1| -x

x² – 1

grafico della funzione logaritmo argomento

sempre

strettamente > 0

quindi

(1;0) |x-1| -x > 0

x² – 1

per studiare il segno del numeratore: in questo caso la regola per cui se

prendiamo |x-1| -x > 0 allora possiamo considerare |f(x)|≥ k non si applica

perchè non c'è una k, cioè un numero costante, ma una x, cioè una variabile;

risolvo così:

|x-1| > x = x-1 > x se x-1 ≥ 0

-x+1 > x se x-1 < 0

perciò devo considerare

x-1-x > 0 (U) -x+1-x > 0

da un lato e dall'altro

x-1 ≥ 0 x-1 < 0

per il primo sistema non c'è mai soluzione perchè rimarrebbe -1 > 0; perciò considero solo il

secondo sistema:

-x+1-x > 0 -2x > -1 x < 1/2 1/2 1

x-1 < 0 x < 1 x < 1 +++++++o-------------------------------

+++++++++++++++++++++o------------

+ - +

ND ND

x < 1/2 = (-∞;1/2)

√x < x² per quali x appartenenti a R è soddisfatta?

condizi