Matematica Generale I - Appunti completi lezioni

FUNZIONI ELEMENTARI

POTENZE

y = x^m   m ∈ ℕ

con m ≥ 2

m DISPARI - INIETTIVA

con m dispari ƒ(x) strettamente crescente e monotona

m PARI - NON INIETTIVA

con m pari ƒ(x) non è monotona

RADICE DI x

m PARI

m DISPARI

Funzioni Pari e Dispari

Data una funzione f: R → R di variabile reale,

• f si dice pari se f(-x) = f(x)
• f si dice dispari se f(-x) = -f(x)

f pari: risulta simmetrica rispetto all'asse delle ascisse (y)

f dispari: risulta simmetrica rispetto all'origine degli assi

• f(x) = x^2/3 = (x⁵)^1/3

  Definito su tutto R.

• f(x) = x^3/5 = 5√x³

  Definito su tutto R.

• f(x) = x^-5/2

  Non esiste.

f(-x) = f(x) ⇒ Funzione pari

2/3 < 1

Se l'esponente è > 0La concavità è verso l'alto

3/5 < 1

f(-x) = -f(x) ⇒ Funzione dispari

f(x) = x^5/3√x x > 0

5/2 L = 1/2 L = 2/5 L = 1/2 L = 2/5

Non è definito su tutto R

Traslazione Asse delle X

k = -2

Se k negativo il grafico f(x+k) si sposta verso destra

es.

• y = ^3x-4/_x+2
• y = ^3(x-2)-4/_(x-2)+2
• y = ^3x-4/_x-2

f(x) → f(x-2)

f(x) → f(x)+2

• ^x'= x + k ^y'= y
• ^x'= x - k ^y'= y

k = +2

Se k positivo il grafico f(x+k) si sposta verso sinistra

LIMITI

DEFINIZIONE FORMALE DI

DEFINIZIONE:

SIA f: D⊆ℝ→ℝ E SIA +∞ DI ACCUMULAZIONE PER D.

SI DICE CHE f(x) TENDE A L ∈ ℝ QUANDO x TENDE A +∞, E SI SCRIVE

lim_x→+∞ f(x)=L

SE ∀ε>0 ESISTE H∈ℝ TALE CHE SE x>H E x∈D ⇒ |f(x)−L|<ε

es: y=1/x

O È IL MIO LIMITE,

SCELGO IL MIO RAGGIO CHE È ε

TRACCIO LE DUE RETTE - y=ε e y=-ε

TROVO CHE LA FUNZIONE STA IN QUESTO INTORNO SE x>H

L=0

REGOLA

|f(x)|<ε

SEMPRE ε>0

-ε<f(x)<ε

VERIFICARE CHE: lim_x→+∞ 1/x = 0⁺

BISOGNA VERIFICARE CHE ESISTA UN ε

FISSO UN H>0 X∈ℝ[H,+∞)

∃ ε T.C. |f(x)−L|<ε

|1/x|<ε

1/x < ε

1/x > -ε

= ε < 1/x → x > ε

SE PONGO H=1/ε

ALLORA x>H

1) DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE (SALTO)

se _{lim x→x₀⁻ f(x) = L₁ ∈ ℝ} e

_{lim x→x₀⁺ f(x) = L₂ ∈ ℝ}

con L₁ ≠ L₂

es. ^{{x+1, x>0}}

^{{2x, x0}}

^{{2x+1, x≤0}}

_{lim x→0⁻ lnx = ln∞ = ±∞}

_{lim x→0⁺ 2x+1 = ±1}

3) DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE (ELIMINABILE)

SE _{lim x→x₀ f(x) = L ∈ ℝ}

e f(x) ≠ L

LIMITI NOTEVOLI

1. lim_x→0 (sin x / x) = 1

2. lim_x→0 (tan x / x) = 1

   Dimostrazione: lim_x→0 (tan x / x) = (sin x / x) * (1 / cos x) = 1

3. lim_x→0 ((1 - cos x) / x²) = 1/2

   Dimostrazione: lim_x→0 ((1 - cos x)(1+cos x) / x²(1+cos x)) = lim_x→0 ((1 - cos²x) / x²(1+cos x))

   Ricordiamo che cos²x + sin²x = 1

   lim_x→0 ((1 - cos²x) / x²(1+cos x)) = lim_x→0 ((sin²x / x²) * (1 / (1+cos x)))

   (1/2) = 1/2

4. lim_x→0 ( (1+x)^1/x ) = e

5. lim_x→0 (ln(1+x) / x) = 1

   Dimostrazione: lim_x→0 (ln(1+x) / x) = (1/x) ln(1+x) = ln( (1+x)^1/x ) = ln(e) = 1

6. lim_x→0 (log_a(1+x) / x) = (1/ln a)

   [a>0, a≠1]

   Dimostrazione: (Ricordiamo la formula di cambio base)

   log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)

   lim_x→0 (log_a(1+x) / x) = lim_x→0 (ln(1+x) / (ln a * x)) * (1 / ln a)

Poiché a ≤ b => ∞

CONFRONTO TRA INFINITI

_x→+∞ x^a / x^b = 0 ∀ a > 0 ∀ b ≥ 1

_x→+∞ ln^a / x^b = 0 ∀ a > 0 ∀ b ≥ 1

LOGARITMO → POLINOMIO → ESPONENZIALE

ESEMPIO:

_x→+∞ e^x x^-2 =[∞-∞]

_x→+∞ e^x = +∞

_x→+∞ 5^... / (1/4)^... = - (...) = -∞

Derivabilità: e il limite (esiste e finito) del rapporto incrementale.

1. Sia f una funzione continua in x_o ed se

   lim h → f ( x + h ) − − ,

   ↔

   ∞

2. Sia f una funzione continua in x_o ed se

   lim h → f &plus13;

   e

   lim h → f ,

   ←
3. con L₁ ≠ L₂ ed almeno uno dei due limiti è finito, si dice che in x_o c'è un punto angoloso

   [Facendo il valore assoluto troveremo sempre un punto angoloso]

4. Sia f una funzione continua in x_o ed se

   lim h → f ₊

   = ±∞ (oppure −∞)

   Si dice che x_o è un punto a tangente verticale.