Matematica Generale I - Appunti completi lezioni

Funzioni elementari

Potenzey = x^m

m ∈ N con m ≥ 2
m dispari - iniettiva
Con m dispari, f(x) è strettamente crescente, ovvero è monotona.
m pari - non iniettiva
Con m pari, f(x) non è monotona.

Radice di x

m pari
m dispari

Funzioni pari e dispari

Data una funzione f: ℝ → ℝ di variabile reale, f si dice pari se f(-x) = f(x).
f si dice dispari se f(-x) = -f(x).
f pari: risulta simmetrica rispetto all'asse delle ascisse (y).
f dispari: risulta simmetrica rispetto all'origine degli assi.
f(x) = x^3/5 = ⁵√_x³
Definito su tutto ℝ.
f(-x) = f(x) ⇒ funzione pari.
Se l'esponente è >, la concavità è verso l'alto.
f(-x) = -f(x) ⇒ funzione dispari.
f(x) = ^3/5√(x)
Definito su tutto ℝ.
Non esiste.
f(x) = x^{-3/5 √₅}x x>0^1/2 - ² = ¹/₂.
Non è definito su tutto ℝ.

Funzioni esponenziali

f(x) = a^x con a ∈ ℝ
Dominio = ℝ
Tutte le rette esponenziali passano per il punto (0;1).
f(x) è iniettiva, monotona crescente/decrescente.
La funzione inversa dell’esponenziale è il logaritmo.

Funzioni logaritmiche

g(x) = log_ax con a ∈ ℝ⁺, a ≠ 1
Tutte le logaritmiche passano per il punto (1;0).
Tra di loro non hanno alcun tipo di simmetria.

Funzioni trigonometriche

f(x) = sin x
f(x) = cos x
Funzione dispari: simmetria rispetto all'origine.
Funzione pari: simmetria rispetto all'asse y.
f(x) = ^sin(x)/_cos(x) = tan(x)
y = |x|
Dominio = ℝ
Codominio = ℝ⁺
Iniettivo = no
Suriettivo = no
Monotona
Sup f(x) = +∞
Inf f(x) = 0 [0, +∞)

Trasformazioni elementari - in particolare per grafici derivabili

Data f, disegnare:
f(x) + k
f(x+k) ↦ Traslazione
f(-x) ↦ f(x), |f(x)|, f(|x|), f(c₁ x)
1) Traslazione asse delle y
Se k è positivo, il grafico [f(x) + k] sale verso l'alto.
Se k è negativo, il grafico [f(x) + k] scende verso il basso.

Traslazione asse delle x

k = -2
Se k è negativo, il grafico f(x+k) si sposta verso destra.
Esempi:
y = ^{3x - 4}/_{x² + 4}
y = ^{3(x - 2) - 4}/_{(x - 2)² + 4}
y = ^{3x - 4}/_{x² + 4} - 2
f(x) → f(x-2)
f(x) → f(x)-2
x' = x + k
y' = y'
x' = x - k
y' = y'
k = +2
Se k è positivo, il grafico f(x+k) si sposta verso sinistra.

Simmetria rispetto asse x

Cambiare segno alle y.
La funzione viene totalmente ribaltata: quello che era sopra va sotto, quello che era sotto va sopra.

Simmetria rispetto asse y

f(x) = f(-x)
Funzioni pari
La funzione viene totalmente ribaltata: quello che era a sinistra va a destra, quello che era a destra va a sinistra.
Esempio: f(x) = ln(x)
f(-x) = ln(-x)

Modulo applicato alla funzione

Tutti i punti con y positiva rimangono come sono.
Tutto ciò che sta sotto all’asse delle x viene ribaltato sopra.

Insiemi limitati e illimitati

• Se è illimitato superiormente → non ammette estremo superiore in ℝ
• Se è illimitato inferiormente → non ammette estremo inferiore in ℝ
• Non tutti gli insiemi ammettono massimo e/o minimo
• Non tutti gli insiemi limitati ammettono massimo e minimo
• Ogni insieme con numero finito di punti ammette massimo e minimo

Esempio: Esponenziale → esponenziale sempre >0
Non è limitata superiormente.
È illimitata superiormente, non ammette maggioranti.
e^x > 0
Il minimo dell'esponenziale è zero? No.
Non esiste alcun valore di x, dovrei trovare un x₀ t.c. e^x₀ = 0.
↓ Funzione di minimo

Intorno

Si chiama intorno completo di x₀, con x, r ∈ ℝ, e si indica con U(x₀), un qualsiasi intervallo del tipo: