Lezioni, Matematica generale

DALLE PROPRIETA' DEI LIMITI SI DEDUCE CHE:

1. la di funzioni continue in x è una funzione continua in x

SOMMA o o

2. il di funzioni continue in x è una funzione continua in x

PRODOTTO o o

3. il di funzioni continue in x è una funzione continua in x se f al

RAPPORTO o o

denominatore è = 0 in x o

ESEMPIO

e^ + x^ in e^x la funzione è continua, in x^3 anche e pure in 3x + 1

x 3

f(x)= peraltro il denominatore è = 0: perciò la funzione è continua in ogni

3x + 1 punto di D = R - -1/3

TEOREMA DELLA FUNZIONE COMPOSTA

se g è continua in x e f è continua in g(x)

allora f o g è contnua in x

TEOREMA DELLA FUNZIONE INVERSA

la funzione inversa di una funzione continua, è anch'essa inversa

ESEMPIO senx+x +kcos√x x ≥ 0

^2

stabilire se esiste un k appartenente a R tale che f(x) = logx x < 0

^2

se prendiamo un qualsiasi punto in cui x < 0, la funzione è continua perchè log e x sono

^2

continue e perciò anche la loro funzione composta

se prendiamo un qualsiasi punto in cui x > 0, il risultato è lo stesso perchè abbiamo la somma

di tre funzioni continue

ma in x = 0?

lim log x = -∞ perchè x tende a 0 e log(0) a -∞

^2 ^2

x→x o-

lim senx+x +kcos√x possiamo già dire che non esiste un k per cui la funzione

^2

x→x è continua in tutto R perchè di sicuro in 0 non lo è

o+ visto che il limite sinistro tende a -∞

ESEMPIO

2x

^2

x -2x-3 se x<0, x=-1, x=-2

^2

f(x) 3 se x=0, x=-1, x=-2

√x +9 se x>0

^2

√x +9 è continua, perciò per x > 0 non abbiamo punti di discontinuità

^2

per x < 0 invece: per x < -2 la funzione è continua, ma invece prima? cioè in x=-1, x=-2 e x=0?

2x

^2

in caso di x = 0 → lim √x +9 = 3 e lim x -2x-3 = 0

^2 ^2 0 è punto di discontinuità

x→x x→x

o+ o- perchè i due limiti sono diversi

2x 2x

^2 ^2

in caso di x = -1 → lim x -2x-3 = 2/0, cioè +∞ lim x -2x-3 = 2/0, cioè -∞

^2 ^2

x→x x→x

-1- -1 +

x -2x-3 = -1; 3

^2

anche -1 è punto di discontinuità - 1 3

2x 2x

^2 ^2

in caso di x = -2 → lim x -2x-3 = 8/5 lim x -2x-3 = 8/5

^2 ^2

x→x x→x

-2- -2 +

questo non significa comunque che la funzione sia continua perchè il limite esiste ma la

funzione in quel punto non assume il valore 8/5, ma 3; è comunque una discontinuità

eliminabile TEOREMA DI WEIERSTRASS

se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato

allora è dotata di minimo e massimo assoluti nell'intervallo

TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI

sia f:[a,b] → R continua nell'intervallo

sia f(a)-f(b) < 0 cioè la f assume valori di segno opposto agli estremi dell'intervallo

allora esiste un punto nell'intervallo in cui la funzione si annulla

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

sia f:[a,b] → R continua

se f(x1)=y1 e f(x2)=y2

allora la funzione assume tutti i valori compresi fra y1 e y2 per x compreso tra x1 e x2

ESEMPI (e) ^1/x

1. f(x)= 1-x

è una funzione composta da e e 1/x: sono entrambe funzioni continue, laddove

NUMERATORE

definite, perciò anche la relativa funzione composta laddove definita è continua, ad esclusione

del punto x = 0: infatti x non appartiene al dominio visto che a x al denominatore di 1/x deve

essere posto = 0 per trovare il dominio dobbiamo anhe porre 1-x=0 e perciò otteniamo che la

DENOMINATORE

x deve essere = 1

D = R – 0,1 nel suo dominio questa funzione è perciò continua

(e)^1/x x=0,1

se invece f(x) = 1-x

0 x=0,1

il problema che si pone è diverso perchè qui D = R: se infatti ci chiediamo se la funzione è

continua nel suo dominio, la risposta è che lo è in tutti i punti in cui x=0,1, ma invece nei punti

in cui x=0,1? (e)^1/x

x=0 lim = +∞/1 = +∞ perchè quando x tende a 0 da destra, 1/x tende a +∞

x→o+ 1-x e un numero che ha come esponente +∞ tende a +∞,

mentre 1-x tende a 1

(e)^1/x

lim = 0/1 = 0 perchè quando x tende a 0 da sinistra, 1/x tende a -∞

x→o- 1-x e un numero che ha come esponente -∞ tende a 0, mentre

1-x tende a 1

PERCIO' 0 E' PUNTO DI DISCONTINUITA' DI 2° SPECIE

(e)^1/x

x=1 lim = e/0 = ∞ perchè quando x tende a 1, 1/x tende a 1 e un numero che

x→1 1-x ha come esponente 1 è uguale a se stesso, perciò tende a e,

mentre 1-x tende a 0

ma qual'è il segno dell'infinito? 1

per trovare il dominio, devo porre 1-x > 0 perciò x < 1 +++++++-------------------------

quindi a destra è -∞, a sinistra + ∞

PERCIO' 1 E' PUNTO DI DISCONTINUITA' DI 2° SPECIE

x^2+x-2

2. f(x)= x-1 x=1 qual'è il valore che deve assumere k

k x=1 affinchè f sia continua nel suo D?

D=R perchè dobbiamo solo porre che x-1=0 cioè x=1 e questa condizione già è posta

quindi sappiamo che la funzione è continua nel suo dominio, che è tutto R: e invece quando x=1?

x +x-2

^2

x=1 lim = 0/0 forma indeterminata quindi eliminiamo la causa dell'indeterminazione

x→1 x-1 metodo ruffini

P(1)=1+1-2=0 1 +1 -2

1 1 2

1 2 0

(x-1)(x+2)

(x-1)(x+2)

perciò (x-1)

lim x+2 = 3 3 è anche il valore di k

x→1 ᴨ

hx+1 x ≤ /2

3. f(x)= che valori devono avere h e k

ᴨ

senx+k x > /2 affinchè la funzione sia continua?

ᴨ

D = R sono tutte continue ma in x= /2

ᴨ ᴨ

lim hx+1 = h /2 +1 lim senx+k = sen /2 + k = 1 + k

ᴨ ᴨ

x→ /2- x→ /2+

quindi mi devo chiedere quando il limite destro e sinistro sono uguali?

ᴨ ᴨ ᴨ

h /2 +1 = 1 + k k=h /2 cioè per tutti i valori di h e k in cui k=h /2

4. logx+x-2 = 0 la funzione è definita per x > 0 cioè nell'intervallo (0;+∞)

lim f(x) = - ∞

x→0

lim f(x) = + ∞

x→+∞

f(x1) < 0 f(x2) > 0

f(c)=0 sicuramente la funzione assume il valore 0 almeno per una volta: ma solo per una

volta?

per scoprirlo possiamo vedere se la funzione è strettamente crescente perchè in quel caso allora

la funzione assumerebbe il valore 0 solo per una volta.

definizione di funzione crescente:

per ogni x1, x2 appartenenti a R x1 < x2 e perciò f(x1) < f(x2)

f(x2) – f(x1) = logx2+x2-2 – logx1-x1+2= logx2–logx1 + x2-x1

> 0 > 0

perchè stiamo supponendo x1 < x2

sono quindi due quantità strettamente

maggiori di zero > 0 perciò anche la loro somma

sarà strettamente maggiore di zero, cioè

logx2–logx1 + x2-x1 > 0

cioè f(x2) – f(x1) > 0 = f(x2) > f(x1)

cioè x2 – x1 > 0 = x2 > x1 → la funzione è

strettamente

crescente

5. determinare per quali valori di a e b

x +x+1

^2

lim ax -b = 1

x→+∞ 2x-3

x +x+1 +2ax -2bx+3b-3ax x (1+2a)+ x(1-2b-3a) +1+3b

^2 ^2 ^2

= = 1

2x-3 2x-3

condizioni: 1+2a = 0 a=-1/2

(1-2b-3a)/2 = 1; 1-2b-3(-1/2)=2; -2b=-3/2+2-1; b=(-3/2-1)/-2; b=3

DERIVATA DI UNA FUNZIONE

sia f:A → R e x* C A punto di accumulazione in A

∆f f(x)-f(x*) RAPPORTO INCREMENTALE = coefficiente angolare della retta secante

∆x x-x*

f(x) se esiste ed è finito lim f(x)-f(x*)

x-x*

x→x*

∆f

f(x*) ∆x allora f è derivabile in x* e il valore finito si chiama

'derivata di f in x*' e si indica con f'(x*)

x* x

NB significato geometrico della derivata

t man mano che x si avvicina a x*

s la retta secante (la curva) tende a diventare tangente

e perciò

il coeff ang della secante ms

.

P* tende a diventare coeff ang della tangente mt

x* x←

la derivata di f in x* rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel

punto P*=(x*,f(x*))

se f è derivabile in x* la curva y=f(x) è dotata di retta tangente nel punto P* e l'equazione di

tale retta è y=f(x*)+f'(x*)(x-x*)

se f è derivabile in x* : f(x)-f(x*)/x-x* definisce la derivata prima perciò che è =f'(x*)

ma siccome definisce anche il coefficiente angolare della secante che in questo caso coincide

con il coefficiente angolare della tangente, allora f(x)f(x*)/x-x* sarà = ms che è = mt;quindi:

f(x)-f(x*) f'(x*) ms mt

x-x* al variare di m troviamo le rette passanti per questo punto x*,f(x*)

f(x*) f(x)-f(x*)=m(x-x*)

se si vuole usare proprio mt, basta sostituire m con f'(x*)

x*

se una funzione è derivabile in un punto, essa è dotata di retta tangente in quel punto, perchè

il limite è unico per tutti gli x<x* f è dotata di tangente

invece

in x* posso considerare 1 tangente a destra e 1 a sinistra

ma non nel punto

x*

sia f:A→R e sia x*C A punto di accumulazione

f è DIFFERENZIABILE in x* se esiste una costante a C R tale che

lim f(x)-f(x*)-a(x-x*) 0

x→x* x-x*

a(x-x*) si chiama DIFFERENZIALE di f in x*

lim f(x)-f(x*)-a(x-x*) = 0

x→x*

lim f(x)-f(x*) = lim a(x-x*) = 0

x→x* x→x*

lim f(x)-f(x*) = 0 cioè lim f(x) = f(x*)

x→x* x→x*

perciò una f differenziabile è una f continua

se f è differenziabile in x* → f è derivabile in x*

se f è differenziabile in x*, esiste a C R tale che lim f(x)-f(x*)-a(x-x*) = 0

x→x* x-x*

tale limite è uguale a lim f(x)-f(x*) - a = 0 che è uguale a lim f(x)-f(x*) = a

x→x* x-x* x→x* x-x*

f(x)-f(x*) = f'(x*) e quindi f'(x*) = a

x-x*

perciò: f è derivabile in x* e la sua derivata prima f'(x*) = a

se f è derivabile in x*→ f è differenziabile in x*

se f è derivabile in x* lim f(x)-f(x*) f'(x*)

x→x* x-x*

che è uguale a lim f(x)-f(x*) - f'(x*) = 0

x→x* x-x*

quindi lim f(x)-f(x*) - f'(x*) x-x* = 0 e m.c.m. lim f(x)-f(x*) - f'(x*)(x-x*) = 0

x→x* x-x* x-x* x-x*

→ = 1

quindi f è differenziabile in x* e a = f'(x*)

f è derivabile in x* se e solo se è differenziabile in x*

e se è differenziabile è continua in quel punto

perciò se f è derivabile è f continua

viceversa se f è continua non è detto nè che sia derivabile, nè differenziabile

al posto di a

se f