Lezioni, Matematica generale

Limite finito per x che tende a un valore finito

Lim f(x) = L se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x appartiene a A e x → x* e 0 < |x-x*| < δ, allora |f(x) - L| < ε.

Definizione

Se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se x appartiene a A e x* è un valore compreso tra x*-δ e x*+δ, allora la funzione assume valori compresi tra L-ε e L+ε.

x* - δ < x < x* + δ 0 < |x-x*| < δ = =x = x* x* - δ x* x* + δ |f(x)-L| < ε = L - ε < f(x) < L + ε ε = numero positivo arbitrariamente piccolo!

Lim f(x) = L 'quando considero punti vicini a x*, i valori di f(x) sono vicini a L'. x → x* non considero x* non mi interessa.

Dovendo considerare x*-δ < x* < x*+δ, considero un intorno di x* x*-δ ;x*+δ L+ε . L . L-ε . x*-δ x* x*+δ

Lim = L perché per ogni intorno di x*, la funzione assume valori compresi tra L+ε e L-ε.

Esempio

f(x) = x² + 4 verificare lim x² + 4 = 4 x→0 x² x²+4 4+ε .4 .4-ε.

In corrispondenza dei punti di x vicini ma diversi da 0, la funzione assume valori vicino a 4, perciò è vero che lim x² + 4 = 4 x→0.

Prendo ε > 4 e ε < 4 quindi controllo in corrispondenza di quali y è verificato che |x² + 4 – 4| < ε. Perché la regola impone |f(x)-L| < ε.

Se tale condizione si verifica nell'intorno di 0 (il punto che stiamo considerando), allora è vero |x² + 4 – 4| < ε = |x²| < ε = -ε < x² < ε x < √ε ; x > -√ε, cioè -√ε < x < √ε.

Questo intervallo è un intorno di 0 di raggio -√ε √ε. Cerchiamo fissato ε > 0 esiste un intorno di x* = 0 di raggio δ = √ε tale che per tutti i punti di A che cadono nell'intorno si ha |x² + 4 – 4| < ε, cioè: 4 – ε < f(x) < 4 + ε.

Dov'è soddisfatta? 4 + ε .4 . f(x) 4 – ε .

Lim (x-2)/x = -1 x→1 funzione del tipo ax+b / cx+d limite per x che tende a 1 è uguale a (x-2)/x = -1, vuol dire che quando x si avvicina a 1, f(x) assume valori vicini a 1.

|f(x) – L| < ε = |(x-2)/x +1|< ε. Se risolvendola trovo che è soddisfatta per qualsiasi x per un intorno di 1, allora lim = -1.

|(2x-2)/x| < ε (2x-2- εx)/x < 0 (2-ε)x -2 < 0 |(x-2)/x +1| < ε = |(x-2+x)/x| < ε = = = x |(2x-2)/x| > -ε (2x-2+εx)/x > 0 (2+ε)x -2 > 0x.

I disequazione (2-ε)x -2 > 0 = x > 2/(2-ε)x x > 0 0 2/(2-ε). Segno numeratore ------------------------------------------o++++++++++++ Segno denominatore ----------------o+++++++++++++++++++++++++++ ND - ND +. Cerco < perciò → 0 < x < 2/(2-ε).

II disequazione (2+ε)x -2 > 0 = x > 2/(2+ε)x x > 0 0 2/(2+ε). Segno numeratore---------------------------------------------o++++++++++++ Segno numeratore--------------------o++++++++++++++++++++++++++++ ND - ND +. Cerco > perciò → x < 0; x > 2/(2+ε) → (-∞; 0) U (2/2+ε;∞).

Soluzioni finali 0 2/(2+ε) 2/(2-ε) 2/(2+ε) < x < 2/(2-ε). La nostra disequazione è soddisfatta in questo intervallo dal momento che questo intervallo contiene il punto 1, il limite di (x-2)/x per x che tende a 1 è uguale a -1.

Limite infinito per x che tende a un valore finito

Limite +∞ per x che tende a un valore finito

Lim f(x)= + ∞ se per ogni M > 0 esiste δ > 0: se x ∈ A e 0 <|x-x*|< δ x→x*, allora f(x) > M.

Definizione

Se per ogni M > 0 esiste un δ > 0 tale che se x appartiene a A e x* è un valore compreso tra x*- δ e x*+ δ, allora f(x) > M. Asintoto verticale M quando x si avvicina a x*, f assume valori molto grandi.

(ẟ ẟ x*- x* x*+1/|x| per x = 0 f(x)= 0 per x = 0 1/|x| lim 1/|x|=+∞. M x→0. . Fissato M > 0 per quali x appartenenti a R -1/M 1/M 1/|x| > M ? 1/|x| > M = |x| < 1/M = -1/M < x < 1/M.

Fissato M > 0 esiste un intorno di x*=0 di raggio 1/M tale che per tutti i punti dell'intorno, a esclusione di x*, la mia f risulta > 0. Quindi noi vogliamo vedere dove la nostra f è > M; cioè dove 1/|x| > M.

Limite -∞ per x che tende a un valore finito

Lim f(x)= - ∞ se per ogni M > 0 esiste δ > 0: se x ∈ A e 0 <|x-x*|< δ x→x*, allora f(x) < -M.

Definizione

Se per ogni M < 0 esiste un δ > 0 tale che se x appartiene a A e x* è un valore compreso tra x*- δ e x*+ δ, allora f(x) < M. Asintoto verticale. Quando x è vicina a x*, f assume valori molto piccoli M.

NB quando il limite di f(x) è +/-∞, x* è un asintoto verticale. Se f(x)=1/x, lim f(x)=? x→0 quando con x siamo vicini a 0: che valori assume la nostra f? Non 0 che corrisponde a x* che noi invece non consideriamo. Non +∞ perché f assume tale valore solo a destra. Non -∞ perché f assume tale valore solo a sinistra. Perciò esiste il limite destro, esiste il limite sinistro, ma non esiste il limite della funzione.

Teorema

Ipotesi: sia f: A→R e sia x* un punto di accumulazione. Se esistono limite destro e limite sinistro entrambi = L; +∞; -∞.

Teoria: allora esiste limite della funzione = L; +∞; -∞.

Teorema di unicità del limite

Ipotesi: se una funzione f: A→R è dotata di limite in un punto di accumulazione x* (o è dotata di limite per x→+/- ∞).

Tesi: allora tale limite è unico.

Dimostrazione per assurdo: si nega la tesi per verificarla. Supponiamo per assurdo che la tesi non è vera, cioè che esistano lim f(x)=l' con l'=l (cioè un altro limite, diverso da l). x→x* l'+ε . l' . La funzione sta qui, in quest'intorno l'-ε; l+ε . e se sta qui non può stare nell'intorno di l l . non può stare da nessun'altra parte l-ε . . . . ε ≤ alla metà della distanza tra l e l' x*-δ x* x*+δ.

Teorema della permanenza del segno

Ipotesi: sia f: A→R e x* un punto di accumulazione. Se lim f(x)= L > 0 (o < 0) x→x*.

Tesi: esiste un punto di un intorno di x* con x*=x in cui f(x) > 0 se lim > 0 (o < 0), cioè in cui la funzione assume lo stesso segno del limite.

Fissato ε < L → 0 < L-ε < L+ε L+ε . ε . L-ε . ( x* ).

Teorema del confronto o dei due carabinieri

Ipotesi: siano 3 funzioni f g h: A→R e sia x* punto di accumulazione. Sia f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) in un intorno di x* a esclusione di x*. Se lim f(x) = lim h(x) = l (limite finito) x→x* x→x*.

Tesi: allora lim g(x) = l x→x* h(x) g(x) f(x) x*.

Limite finito per x che tende a +∞

Lim f(x) = L se per ogni ε > 0 esiste x: se x ∈ A e x > x x→+∞, allora si ha |f(x)-L| < ε.

Definizione

Se per ogni ε > 0 esiste un x tale che se x appartiene a A (al dominio) e x > x, allora la funzione assume valori compresi tra L-ε e L+ε.

L+ε . L. quando la x diventa molto grande L-ε . f(x) assume valori sempre più vicini a l x.

Limite +∞ per x che tende a +∞

Lim f(x) = +∞ se per ogni k > 0 esiste x: se x ∈ A e x > x x→+∞, allora si ha f(x) > k.

Definizione

Se per ogni k > 0 esiste un x tale che se x appartiene a A (al dominio) e x > x, allora f(x) > k. k . quando la x diventa molto grande, f(x) assume valori sempre più vicini a +∞x.

Limite -∞ per x che tende a +∞

Lim f(x) = -∞ se per ogni k > 0 esiste x: se x ∈ A e x > x x→+∞, allora si ha f(x) < -k.

Definizione

Se per ogni k < 0 esiste un x tale che se x appartiene a A (al dominio) e x > x, allora f(x) < k. Quando x diventa molto grande, f(x) assume valori sempre più vicini a -∞x.

k . lim f(x) = I x→+∞ 1NB in lim analizzo il comportamento di f(x) quando la x è molto vicina a x* x→x* in lim analizzo il comportamento di f(x) quando la x è molto grande x→+∞.

Esempi

Esempio 1: f non ha limite per x→x*, allora f non è limitata. 3 . x→x* + = 1 x→x* - = 2. 2 limite non esiste ma f è limitata. Im(1;3) 1.x*.

Esempio 2: lim e = 0 ? vero^-x x→+∞ 1. Vado a vedere per quali x è soddisfatta la disequazione L-ε < f(x) < L+ε, cioè 0-ε < f(x) < 0+ε = -ε < f(x) < +ε = -ε < e < +ε^-x e^-x > -ε log e > - logε -x > -logε x < logε^-x e^-x < ε log e < logε -x < logε x > -logε^-x.

Esempio 3: f(x)=cc x* lim c ? a che valore è vicina f(x) x→x* quando x è vicina a x*? a c lim c ? a che valore è vicina f(x) x→+∞ quando x è molto grande? a c lim c ? a che valore è vicina f(x) x→-∞ quando x è molto negativa? a c verifichiamo le prime: lim c = c x→x* verifichiamo quindi |f(x)-c| < ε = |c-c| < ε = 0 < ε per ogni x.

Esempio 4: f(x) = senx lim senx = sen2 x→2 2 f(x) = arctgx2 lim arctgx = arctg2 x→2 2x+2.

Esempio 5: lim x→3 √x-4 + logx lim x = 3 x→3 3 3 lim 2 = 2 x→3 2 3 lim 3+2= 5 x→3 lim √x-4 x→3 4 siccome qui 3 non è punto di accumulazione prendiamo 5 cioè lim x→5 per tutta la funzione: lim x = 5 lim 2 = 2 = lim 5+2=7 x→5 x→5 x→5 poi lim √x-4= 5-4=1 x→5 5 5 lim logx = log5 x→5 5 57 perciò lim x→5 1+log5.

Proprietà dei limiti

• +/-∞ +-L = +/-∞ es. lim logx + e +3 = +∞ + 3 = +∞^-x x→+∞
• +∞ +∞ = +∞ ; -∞ -∞ = -∞
• +/-∞ . L = +/-∞ se L > 0 -+∞ se L < 0
• +/-∞ . +∞ = +/-∞ ; +/-∞ . -∞ = -+∞
• 1/+/-∞ = 0. Lo stesso risultato si ha per ogni l, perché sarebbe