Appunti Metodi Matematici, prof. Claudia Meo

Insieme

CONCETTO PRIMITIVO (non esiste una definizione formale) un concetto non definibile con altri strumenti:

• definibile in maniera INEQUIVOCABILE quando: puoi stabilire in modo UNIVOCO quali elementi ne fanno parte lasciano per tutti gli elementi
• Descrizione di un insieme:
  • per elencazione dei suoi elementi (tra parentesi graffe e separati da virgole)
  • mediante una proprietà caratteristica (NON SI ESCLUDONO)
• Insieme vuoto: ∅ = {∅} insieme il cui numero di elementi è pari a 0
• Due insiemi sono (uguali) quando hanno esattamente gli stessi elementi: ∀ x x ∈ A ⇔ x ∈ B Es:
  • A = { 2, 4, 6 } B = { 9, 4, 6, 2 } C = { 2, 5, 6 }
  • A = B non importa l'ordine o le ripetizioni di uno stesso elemento
  • A ⊂ C e B ≠ C
• Un insieme A è incluso in B (o A è SOTTOINSIEME di B) quando ogni elemento di A è comune in B: ∀ x x ∈ A ⇒ x ∈ B
• A ⊂ B (A incluso in B) ∅ ⊂ B {insieme vuoto ed B sono sempre
• Sottoinsiemi di A} L'insieme delle parti di X P(X) è l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X: P(X) = { A | A ⊂ X }
  • Es: insieme delle parti delle vocali di questo V = {a, e, i, o, u}
  • P(x) = { ∅, { a }, { e }, { i }, { o }, { u }, { a, e }, { a, i }, { a, o }, { a, u }, { e, i }, { e, o }, { e, u }, { i, o }, { i, u }, { o, u }, { a, e, i }, { a, e, o }, { a, e, u }, { a, i, o }, { a, i, u }, { a, o, u }, { e, i, o }, { e, i, u }, { e, o, u }, { i, o, u }, { a, e, i, o }, { a, e, i, u }, { a, e, o, u }, { a, i, o, u }, { e, i, o, u }, { a, e, i, o, u } }

Insiemi

Insieme → CONCETTO PRIMITIVO (non esiste una definizione formale)

definibile in maniera INEQUIVOCABILE quando: posso stabilire in modo UNIVOCO quali elementi ne fanno parte

Descrizione di un insieme:

• per elencazione dei suoi elementi
• mediante una proprietà caratteristica

Insieme vuoto → {}: insieme il cui numero di elementi è pari a 0

Due insiemi sono (uguali) quando hanno esattamente gli stessi elementi:

∀x x ∈ A ⇔ x ∈ B

Esempio:

A = {2, 4, 6}

B = {2, 4, 6, 6, 2}

C = {2, 5, 6}

A = B

A ⊆ C    e    B ≠ C

non importa l'ordine o le ripetizioni di uno stesso elemento

Un insieme A è incluso in B (o A è SOTTOINSIEME di B) quando ogni elemento di A è comune in B: ∀x x ∈ A ⇒ x ∈ B

A ⊂ B (A incluso in B)

L'insieme vuoto ed A sono sempre sottoinsiemi di A

L'insieme delle parti di X, P(X) è l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X

P(X) = {A | A ⊆ X}

Esempio: insieme delle parti delle vocali di questo

Sottinsiemi:

• {}
• {a}
• {e}
• {i}
• {o}
• {u}
• {a, e}
• {a, i}
• {a, o}
• {a, u}
• {e, i}
• {e, o}
• {e, u}
• {i, o}
• {i, u}
• {o, u}
• {a, e, i}
• {a, e, o}
• {a, e, u}
• {a, i, o}
• {a, i, u}
• {a, o, u}
• {e, i, o}
• {e, i, u}
• {e, o, u}
• {i, o, u}
• {a, e, i, o}
• {a, e, i, u}
• {a, e, o, u}
• {a, i, o, u}
• {e, i, o, u}
• {a, e, i, o, u}

OPERAZIONI TRA INSIEMI

• UNIONE di A e B (A ∪ B) → elementi appartenenti ad A e B

• A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

• INTERSEZIONE di A e B (A ∩ B) → elementi comuni ad A e B

• A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Quando A ∩ B = { } ⇔ A è DISGIUNTO da B

• DIFFERENZA TRA INSIEMI A e B (A ∖ B) → elementi che appartengono ad A ma non B

• A ∖ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}

A ∖ B ≠ B ∖ A

• COMPLEMENTARE DI A RISPETTO AD INSIEME DI RIFERIMENTO U (A^C)

elementi di U che non appartengono ad A ⇒ A^C = {x ∈ U : x ∉ A}

(anche definito come U ∖ A)

• PRODOTTO CARTESIANO tra insiemi (tra infiniti insiemi)

Dato due insiemi A, B, si definisce prodotto cartesiano (A x B) l’insieme

della coppie (a,b) in cui il primo elemento varia in A e il secondo in B:

• A x B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B}

Es: A = {1,2}

B = {3,4,5}

A x A = A² = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

B x B = B² = {(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5)}

A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}{ B x A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)}

INSIEMI NUMERICI (insiemi composti da numeri)

• Insieme dei numeri naturali, N = {1, 2, 3, ...}
• + somma
• . prodotto