Appunti Metodi Matematici, prof. Claudia Meo

Insieme -> CONCETTO PRIMITIVO (non esiste una definizione formale)

un concetto non definibile con altri strumenti.

definibile in maniera INEQUIVOCABILE quando: può stabilire in modo UNIVOCO quali elementi ne fanno parte

lotano per tutti gli elementi

Descrizione di un insieme:

• per elencazione dei suoi elementi (tra parentesi graffe e separati da virgole)
• mediante una proprietà caratteristica

NON SI ESCLUDONO

Insieme vuoto => { }

insieme il cui numero di elementi è pari a 0

Due insiemi sono (uguali) quando hanno esattamente gli stessi elementi:

∀x x ∈A ⇔ x ∈B

Ex: A = {2, 4, 6} B = {6, 4, 2} C = {2, 5, 6}

A = B

&Ai; C ≠ B ≠ C

non importa l'ordine

o le ripetizioni di uno stesso elemento

Un insieme A è incluso in B (o A è SOTTOINSIEME di B) quando ogni elemento di A è comune in B:

∀x x ∈A → x ∈B

A ⊆ B (A incluso in B)

L’insieme vuoto ed A sono sempre sottoinsiemi di A

L’insieme delle parti di X, P(X) é l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X:

P(X) ⊆ A ⊆ X

Ex: insieme delle parti delle vocali di questo:

• X = {e, u, a, o}
• P(X) = { }, {a}, {e}, {u}, {o}, {e, a}, {e, u}, {e, o}, {a, u}, {a, o}, {u, o}, {e, a, u}, {e, a, o}, {e, u, o}, {a, u, o}, {e, a, u, o}

Operazioni tra insiemi

• Unione di A e B (A ∪ B) = elementi appartenenti ad A e B

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

• Intersezione di A e B (A ∩ B) = elementi comuni ad A e B

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Quando A ∩ B = {} A è disgiunto da B

• Differenza tra insiemi A e B (A \ B) = elementi che appartengono ad A ma non a B

A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}

A \ B ≠ B \ A

• Complementare di A rispetto ad insieme di riferimento U (A^C)

Elementi di U che non appartengono ad A = A^C: {x ∈ U : x ∉ A}

(anche definito come U \ A)

• Prodotto cartesiano tra insiemi (tra infiniti insiemi)

Dato due insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano (A × B) l'insieme delle coppie (a, b) in cui il primo elemento varia in A e il secondo in B:

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

Es: A = {1, 2} B = {3, 4, 5}

A × A = A² = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

B × B = B² = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

A × B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}

B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}

→ Gli insiemi sono diversi, perché non hanno tutti gli elementi in comune

Esiste un elemento che appartiene ad un insieme ma non all'altro

Logaritmo

Dati due numeri reali a e b (con a>0, a≠1 e b>0), il logaritmo in base a di b (log_a b) è l'esponente che devo dare ad "a" per ottenere b.

log_a b = c base del logaritmo argomento del logaritmo

Esi: log₂ 8 = 3

log_{2 1}/₈ = -3

1. Proprietà dei logaritmi
2. log_a a = 1
3. log_a 1 = 0
4. log_a (b ⋅ c) = log_a b + log_a c
5. log_a (^b/_c) = log_a b - log_a c
6. log_a b^c = c log_a b
7. log_a b = log_c b ^{log_c a} (formula del cambiamento di base)

INSIEMI LIMITATI

Un insieme X ⊆ ℝ è:

• Limitato superiormente se ha almeno un maggiorante, cioè M(x) &neq; ∅
• Limitato inferiormente se ha almeno un minorante, cioè m(x) &neq; ∅
• Limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente

ESTREMO SUPERIORE

Dato X ⊆ ℝ con X limitato superiormente e diverso dell'insieme vuoto:

• L'estremo superiore di X (supX) è il più piccolo dei maggioranti di X, cioè:

Sup X = min M(x)

(minimo di maggioranti di X)

• Se X è illimitato superiormente, si pone sup X = ∞

PROPRIETÀ DELL'ESTREMO SUPERIORE

1. L'estremo superiore di X, essendo definito come minimo, è unico
2. Se X ammette massimo, allora il massimo di X e il sup X coincidono
3. Da definizione di estremo superiore:
   • supX = min M(x) ⇒ supX maggiore o uguale a un maggiorante di X, cioè supX ≥ x ∀ x∈X
   • supX è il più piccolo tra maggioranti di X, cioè ∀ ϵ > 0, ∃ x ∈X: supX - ϵ < a (valore scelto a caso)

₃ = ℝ x ℝ x ℝ = { (x, y, z), x, y, z ∈ ℝ }

ℝⁿ = ℝ x ℝ x ... x ℝ = { (x₁, x₂, x₃, ... x_n), x₁, x₂, x₃, ... x_n ∈ ℝ }

Gli elementi di ℝⁿ si chiamano VETTORI e i numeri reali: x₁, x₂, ... x_n si chiamano COMPONENTI del VETTORE

- Anche gli elementi di ℝ sono vettori ad una sola componente, ma vengono più spesso indicati come SCALARI.

RAPPRESENTAZIONE DI ℝ³

P(1, 2, z)₂ ℝ³

UGUAGLIANZA TRA VETTORI

x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ ℝⁿ

y = (y₁, y₂, ..., y_n) ∈ ℝⁿ

x = y ⇔ x₁ = y₁, x₂ = y₂, ... , x_n = y_n

Due vettori sono uguali quando le componenti sono ordinatamente uguali tra loro.

SOMMA TRA VETTORI

x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n) ⇒ Sommare ordinatamente le loro componenti

- Impossibile sommare vettori appartenenti ad insiemi ℝ di diverso ordine

PRODOTTO CON UNO SCALARE

x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ ℝⁿ

k ∈ ℝ

kx = (k x₁, k x₂, ..., k x_n) ∈ ℝⁿ ) è un vettore

Se A è una matrice m×n, la matrice trasposta di A (A^T) è la matrice n×m ottenuta da A scambiando le righe con le colonne.

Una matrice riga (o "vettore riga") è una matrice avente una sola riga (m=1).

Una matrice colonna (o "vettore colonna") è una matrice avente una sola colonna (n=1).

Operazioni tra matrici

1. Somma (e differenza) tra matrici:

   • Possono essere sommate solo matrici con la stessa dimensione.
   • Il risultato lo ottengo sommando gli elementi corrispondenti delle due matrici:

   A(a_ij)   B(b_ij)   A+B=(a_ij+b_ij)

2. Prodotto tra una matrice e uno scalare

   A(a_ij)

   e ∈ ℝ

   eA = (ea_ij) ⇒ Si moltiplica ogni elemento per lo scalare

3. Prodotto tra una matrice riga e una matrice colonna

   • Il prodotto si può effettuare se le due matrici hanno lo stesso numero di elementi.
   • Il risultato lo ottengo moltiplicando gli elementi della matrice riga (verso destra) per i corrispondenti della matrice colonna (verso il basso) e sommando tutti gli elementi.

4. Prodotto tra matrici

   • Le matrici A e B possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

   A: m×n   B: n×p   C: m×p

   L'elemento c_ij della matrice C lo ottengo facendo il prodotto tra la riga i di A e la colonna j di B.