Metodi Matematici - Appunti del Corso (2/6)

Le funzioni

Nozione di relazione

Una relazione è un concetto fondamentale in matematica che descrive come due insiemi di elementi sono collegati tra loro.

Definizione di funzione

Una funzione è un tipo particolare di relazione dove a ogni elemento del primo insieme è associato un solo elemento del secondo insieme.

Grafico di una funzione

Il grafico di una funzione rappresenta visivamente la relazione tra i valori di input e output della funzione.

• Esercizio di riepilogo

Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l'insieme di tutti i valori di input per i quali la funzione è definita.

• Esercizio di riepilogo

Funzione logaritmo

La funzione logaritmo è una funzione inversa che permette di trovare l'esponente a cui elevare una base per ottenere un determinato numero.

Funzione pari

Una funzione è definita pari se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse y.

Funzione dispari

Una funzione è definita dispari se il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

• Esercizio di riepilogo

Grafici di funzioni elementari

Funzione lineare / lineare affine

La funzione lineare è descritta da una retta nel piano cartesiano. La funzione lineare affine include anche un termine costante.

Funzione potenza (pari), (dispari)

La funzione potenza è una funzione della forma f(x) = xⁿ, dove n è un numero intero.

• Funzione pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.
• Funzione dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

√√ (pari), (dispari) funzione potenza

Lo studio delle radici di funzioni potenza, sia pari che dispari, è importante per capire meglio le loro proprietà e il loro comportamento grafico.

Funzione esponenziale

La funzione esponenziale è caratterizzata dalla crescita rapida ed è definita come f(x) = a^x, dove a è una base positiva diversa da 1.

Funzione logaritmo

Vedi sopra per la definizione di funzione logaritmo.

Tabella dei domini e codomini delle funzioni elementari

Una tabella riassume i domini e i codomini delle principali funzioni elementari, fornendo un quadro immediato delle loro caratteristiche.

Trasformazione di grafici elementari

Le trasformazioni dei grafici includono traslazioni, dilatazioni e riflessioni, che permettono di modificare il grafico di una funzione mantenendo le sue proprietà fondamentali.

Iniettività e invertibilità

Funzioni iniettive

Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio è mappato da al massimo un elemento del dominio.

Stabilire l'iniettività di una funzione (grafico/analitico)

Per determinare se una funzione è iniettiva, si può utilizzare sia il criterio grafico che quello analitico.

Invertibilità di una funzione

Una funzione è invertibile se esiste una funzione inversa che inverte l'associazione degli elementi nel dominio e nel codominio.

Funzione inversa

La funzione inversa di una funzione f è denotata come f^-1 e inverte il ruolo di input e output.

Stabilire l'invertibilità di una funzione (grafico / analitico)

L'invertibilità può essere stabilita utilizzando metodi grafici o analitici per verificare le proprietà di una funzione.

Osservazioni sull'invertibilità di una funzione

Le osservazioni sull'invertibilità di una funzione aiutano a comprendere meglio le condizioni necessarie per l'esistenza di una funzione inversa.

Operazioni fra funzioni

Somma di funzioni

La somma di due funzioni è una nuova funzione ottenuta sommando i valori corrispondenti delle funzioni originarie.

Differenza di funzioni e "opposto di una funzione"

La differenza tra due funzioni si ottiene sottraendo i valori delle funzioni. L'opposto di una funzione si ottiene moltiplicando per -1 tutti i valori della funzione.

Prodotto di due funzioni

Il prodotto di due funzioni è una funzione che si ottiene moltiplicando i valori delle funzioni punto per punto.

Divisione di due funzioni

La divisione di due funzioni si ottiene dividendo i valori della funzione numeratore per i valori della funzione denominatore, esclusi i punti in cui il denominatore è zero.

Somma di una funzione per uno scalare

La somma di una funzione per uno scalare implica l'addizione di un valore costante a tutti i valori della funzione.

Prodotto di una funzione per uno scalare

Moltiplicare una funzione per uno scalare comporta il moltiplicare ogni valore della funzione per un numero fisso.

Modulo di una funzione

Il modulo di una funzione è una funzione che restituisce il valore assoluto dei valori della funzione originaria.

Funzioni composte (ragionamento)

Le funzioni composte sono funzioni ottenute applicando una funzione su un'altra funzione, creando una catena di trasformazioni.

• Esercizio di riepilogo

Monotonia e limitatezza di una funzione

Funzioni monotone e strettamente monotone

Le funzioni monotone sono quelle che non cambiano mai direzione; le strettamente monotone sono quelle che cambiano sempre nella stessa direzione.

• Esercizio di riepilogo

"Ogni funzione strettamente monotona è invertibile" Teorema:

Funzione limitata

Una funzione è limitata se esiste un numero reale che rappresenta il limite superiore e inferiore per tutti i valori della funzione.

Punto di massimo / minimo assoluto

Il punto di massimo assoluto è il punto in cui la funzione assume il valore più alto su tutto il dominio. Il punto di minimo assoluto è il punto in cui la funzione assume il valore più basso.

Intorno di un numero

Un intorno di un numero è un intervallo che contiene quel numero, utilizzato per studiare il comportamento locale delle funzioni.

Punto di massimo / minimo relativo

I punti di massimo e minimo relativi sono i punti di massimo e minimo all'interno di un intorno piuttosto che su tutto il dominio.

• Esercizio di riepilogo