Metodi Matematici - Appunti del Corso (1/6)

the Math-Easy project

Volume I

Salve Colleghi,

Lasciatemi presentare, mi chiamo Alessio e studio Economia delle Imprese Finanziarie presso la Facoltà Federico II di Napoli.

Sebbene appassionato di economia e finanza (...chi mai lo direbbe?!), ho sempre trovato molte difficoltà nello studiare Matematica, sopratutto quando si trattava di “imparare” e non “capire”.

Fu seguendo il corso di Metodi Matematici e superando a pieni voti l’esame (30/30) che potei “dare un senso” alla Matematica cominciando a muovere i primi passi nel grande mondo dell’Economia.

mi dissi subito:

“Se io ero riuscito a capirla, poteva farlo chiunque!”

Da qui il progetto «Math-Easy»

Obiettivi?

Dimostrare che anche la Matematica può essere spiegata in maniera semplice, chiara e alla portata di tutti!

Gli appunti di seguito riportati sono gli stessi con i quali io preparai l’esame. Errori e Disattenzioni sono umani e ringrazio in anticipo chi ne facesse nota inviando una mail all'indirizzo: shark44@hotmail.it

p.1 – 10

Gli insiemi

Descrizione di un insieme / Sottoinsieme

Uguaglianza, Insieme delle parti.

Unione, Intersezione, Differenza, Complementazione

Prodotto Cartesiano

• p.10-14

Esercizio di Riepilogo

p.14-19

Insiemi Numerici

• Dimostrazione: Principio di induzione
• Dimostrazione per assurdo di √2 ∈ ℚ
• Alinamenti Limitati / Illimitati
• Proprietà dell'insieme ℝ

• p.20-22

Esercizio di Riepilogo

p.23-24

Valori Assoluti di un numero reale

p.25

Logaritmi e Proprietà dei Logaritmi

p.26

Rappresentazione dei numeri reali su una retta

p.27-28

Intervalli

p.29

Equazioni di 2^o grado

• p.30

Esercizio di Riepilogo

p.31-32

Massimo di un Insieme + Dimostrazione

p.33

Minimo di un Insieme

p.34

Maggiore o Minore di un insieme

• p.35-37

Esercizio di Riepilogo

p.38

Estremo Superiore di un Insieme

p.39

Estremo Inferiore di un Insieme

p.40-41

Piano Cartesiano

p..42

Distanza fra due punti del piano + Dimostrazione

p.43

Punto Medio di un Segmento

p.44-45

Retta nel Piano (Implicita, Esplicita)

p.46

Coefficiente Angolare + Dimostrazione

p.47

Rappresentazione Grafica dell'equazione di una retta

p.48

Determinare l'equazione di una retta noti due suoi punti

p.49

Rette Parallele e Perpendicolari

p.49

Distanza di un punti da una retta

p.50

Circonferenza

p.51

Parabola

p.52

I Vettori

p.53

Uguaglianza fra Vettori

Somma di due Vettori

p.54

Prodotto fra Scalare e Vettore

Prodotto Scalare fra due Vettori

• p.55

Esercizio di Riepilogo

p.56-57

Retta in ℝⁿ

Equazione Parametrica della Retta

p.58

Disequazioni Lineari in 2 Variabili

Insieme Convesso

p.59-61

• Dimostrazione – L'insieme delle soluzioni è un insieme convesso.

p.62-63

• Dimostrazione – L'insieme delle soluzioni è un semipiano.

p.64-66

Esercizio di Riepilogo

IMPORTANTE:

I due metodi non si escludono a vicenda

Esempio:

1. X = {1, 3, 5, 7, 9}
2. X = {numeri dispari maggiori di 0 e minori di 10}

Sono due scritture identiche

Uguaglianza tra insiemi

due insiemi si dicono "uguali" quando contengono gli stessi elementi. (A = B)

∀x: x ∈ A <=> x ∈ B

sono diversi quando ∃ un elemento che differisce fra i due insiemi tale che A ≠ B

e) DIFFERENZA

=> Dati due insiemi A e B, si definisce DIFFERENZA di A e B (A \ B), l'insieme di tutti gli elementi che è ad A ma non a B

A \ B = { x : x ∈ A e x ∉ B }

Esempio:

• A ▢
• B ◯
• A \ B ▢ \ ◯

d) COMPLEMENTAZIONE

=> Dati due insiemi A e B, si definisce COMPLEMENTAZIONE (o "complementare di A") rispetto all'insieme U (detto "insieme universo"), l'insieme di tutti gli elementi di U che non è ad A

A^c = { x ∈ U : x ∉ A }

Esempio:

• U ▢
• A ∘
• A^c ▢ \ ∘

(3,6) ≠ (6,3)

La coppia 3,6 è uguale alla coppia 6,3 ed appartengono al prodotto cartesiano di A con se stesso

(3,6) ≠ (6,3) => perchè il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa

=>

SE _√2 m² E' PARI, per definizione di numero pari possiamo affermare che:

• m = 2k

e quindi sostituendo:

• 2 n² = 4k² => n² = 2k²

da questo risulta che

1. 2 k² e' pari
2. n² e' pari
3. n e' pari

=>_√2

_√2m e' pari e _√2n e' pari.

=>

Se m ed n sono numeri pari significa che entrambi hanno 2 tra i loro divisori

=>

_√2 ∉ Q

IMPORTANTE: _√2 e' un allineamento illimitato, con infiniti numeri dopo la virgola

5) Se a ≥ b

(moltiplichiamo per "-2" e cambiamo il senso dellla diseq.)

=> -2a ≤ -2b e quindi FALSO

6) Esempio: a = -3 , b = -5

(RISPETTANO LA CONDIZIONE a > b)

a² > b² => 9 > 25 e quindi falso

(Sarebbe stato vero se invece "a² > b²" solo se

a , b ∈₊)

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI SU UNA RETA

Preso una retta e dato un orientamento (generalmente da sx → dx) fissati due punti 0 ed U, dove 0U corrisponde al n. naturale "1", 0U é detto "UNITÀ DI MISURA" della retta orientata. (Segmento di riferimento)

• Per rappresentare n=2 basta riportare 2 volte a dx il seg. 0U
• Per rappresentare z=-1 basta riportare 1 volta a sx il seg. 0U
• Per rappresentare q=^m/_n basta dividere 0U in n parti e prenderne m parti
• Anche una volta rappresentati ℕ, ℤ, ℚ rimangono degli spazi vuoti riempiti dall'insieme ℝ tale che: "PER OGNI NUMERO REALE ESISTE SULLA RETTA UNO E SOLO UN SOLO PUNTO E PER OGNI PUNTO DELLA RETTA ESISTE UNO E UN SOLO VALORE UNIVOCO DELL'INSIEME ℝ"

PROPRIETÀ DI COMPLETEZZA DELL'INSIEME ℝ

Massimo di un insieme

=> Dato un insieme X ⊆ ℝ, si definisce "massimo di X" e si indica con "maxX", il numero reale M tale che:

1. M ∈ X
2. M ≥ x, ∀ x ∈ X

Osservazione: "Non tutti i sottoinsiemi di ℝ ammettono massimo"

Esempio: A = [1, 5[ B = [2, +∞[

                                                      1_____________◯------------→

                                                        (A)

                                                           2____________=◯------------→

                                                           (B)

=> A non ammette massimo perché 5 ∉ A B non ammette massimo perché non si riesce a trovare un elemento ≥ x, ∀ x ∈ B

Osservazione: "Se un insieme ammette massimo, questo è unico"