Metodi matematici - Appunti

UGUAGLIANZA TRA INSIEMI

Due insiemi A e B sono uguali (A=B) quando hanno gli stessi elementi. ∀x x ∈ A ⇔ x ∈ B

Due insiemi A e B sono diversi (A≠B) quando hanno un elemento che appartiene ad uno solo dei due insiemi.

∃x ⇒ x ∈ A e x ∉ Boppure x ∈ B e x ∉ A

Non conta la ripetizione di un elemento

Non conta l'ordine con cui gli elementi vengono elencati

A={5; 2; 1; 4} B={1; 5; 3} C= {1; 6; 2; 4} D= {5; 1; 1; 6; 2}

A=B B≠C C≠A N.B. perchè 1∈D O β ∈ O γ

INCLUSIONE E SOTTOINSIEME

B è incluso in A o B è un sottoinsieme di A (B⊆A), quando ogni elemento di B è anche elemento di A

∀x x ∈ B ⇒ x ∈ A

OSSERVAZIONE 1

Ogni insieme A ha sempre due insiemi "impropri": ∅ e A stesso

OSSERVAZIONE 2

A=B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A L'uno sottoinsieme dell'altro

L'uguaglianza tra insiemi si verifica attraverso la doppia inclusione: ⊆ e ⊇

INSIEME DELLE PARTI DI A ((A))

Dato un insieme A, l'insieme delle parti di A, (A), è l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A:

(A)= {B:B⊆A}

OSSERVAZIONE

In (A) troviamo sempre A e ∅

ESERCIZIO

Scrivere l'insieme delle parti dell'insieme formato dalle VOCALI della parola "QUATTRO"

A= {U; a; o}

(A)= {∅; {U}; {a}; {o}; {U; a}; {U; o}; {a; o}; {U; a; o}}

OSSERVAZIONE

In generale, se A è formato da n elementi, allora l'insieme delle parti (A) sarà formato da 2ⁿ elementi

INSIEMI IN GENERALE

Simbologia

∀ quantificatore universale (PER OGNI o COMUNQUE PRESO)

→ implicazione logica [SE ... allora o implica che]

↔ doppia implicazione logica [Se e solo se o equivale a]

l’insieme è un concetto primitivo (non esiste una definizione)

Un insieme è ben definito quando riusciamo ad identificare in maniera univoca gli elementi che ne fanno parte

Esempio: - lettere dell’alfabeto (INSIEME DEFINITO) - numeri naturali compresi tra 5 e 500 (INSIEME DEFINITO) - frasi più belle che troviamo (INSIEME INDEFINITO)

A,B,C = insiemi (lettere maiuscole) a,b,c = elementi dell’insieme (lettere minuscole)

∈ simbolo di appartenenza a ∈ A (a appartiene all’insieme A)

∉ simbolo di non appartenenza a ∉ A (a non appartiene all’insieme A)

∅ insieme vuoto (insieme caratterizzato dal fatto di non avere elementi)

Esempio: parole italiane che iniziano con _qz

DESCRIVERE UN INSIEME (3 modi)

1. elencare tutti gli elementi di un insieme A = {a,b,c}
2. mediante una proprietà caratteristica che accomuna i soli elementi A = {a : a soddisfa la proprietà}
3. modello grafico (diagramma di Venn)

(-6,5)

Insiemi disgiunti

• Esempio: N = { 1, 2, 3, 4 }
• Le 3 modalità non si escludono
• Esempio: A = {5, 9, 11, 13}
• A = { numeri dispari compresi tra 4 e 14}
• J ∈ _N

OPERAZIONI TRA INSIEMI

Dati due insiemi A e B:

• L'unione di A e B (A∪B) è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

  A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

• L'intersezione di A e B (A∩B) è l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi:

  A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

• La differenza di A e B (A\B) è l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad A ma non a B:

  A\B = {x ∈ A, x ∉ B}

• Il complementare di A rispetto ad un insieme di riferimento U (A^C) è l'insieme formato da tutti gli elementi di U che non appartengono ad A:

  A^C = {x ∈ U : x ∉ A}

Massimo e minimo di un insieme

Dato A⊆ℝ, il massimo di A (max A) è un numero reale M tale che:

• 1. M∈A
• 2. M ≥ x, ∀ x ∈ A

Dato A⊆ℝ, il minimo di A (min A) è un numero reale m tale che:

• 1. m∈A
• 2. m ≤ x, ∀ x ∈ A

Due osservazioni:

1. I numeri qui insieme ammettono un massimo

Esempio

• a. A=[-1,1⟩

A non ammette max

• b. B=[-1,5]

B ammette max 5

2. Se un insieme A ammette massimo, il massimo è unico

Dimostrazione

Supponiamo che A ammette due massimi: M₁ e M₂

• M₁∈A
• M₁ ≥ x, ∀ x ∈ A
• M₂∈A
• M₂ ≥ x, ∀ x ∈ A

• Da ① con x=M₂ ottengo M₁ ≥ M₂
• Da ② con x=M₁ ottengo M₂ ≥ M₁

⇒ M₁=M₂

Estremo superiore di un insieme

Def Sia A un sottoinsieme di ℝ non vuoto e limitato superiormente, l’estremo superiore di A (sup A) è il minimo dei maggioranti di A:

Sup A=min {m∈ℝ: m ≥ x, ∀ x ∈ A}

Se invece A è illimitato superiormente, per convenzione poniamo sup A=+∞

Osservazione

L’estremo sup A, il minimo degli insiemi dei maggioranti di A, sup A deve essere esso stesso un maggiorante di A: sup A ≥ x, ∀ x ∈ A

Osservazione

Se sup A∈A, allora sup A coincide con il massimo di A

Esempio

1. A=[3,5⟩

Sup A=5, Insieme dei maggioranti di A=[5,+∞[

Sup A=lim [5,+∞]=5

2. B=[3,5]

Sup B=min [5,+∞]=5 ∈ B ⇒ sup B=max B

3. Funzioni Potenza

A. Esponente naturale pari

esempio: f(x) = x²

• dom(f) = ℝ
• cod(f) = [0; +∞[
• f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ dom(f)
• f(1) = 1

B. Esponente naturale dispari

esempio: f(x) = x³

• dom(f) = ℝ
• cod(f) = ℝ
• f(1) = 1
• f(x) ≥ 0 se x ≥ 0 , f(x) ≤ 0 se x ≤ 0

C. Esponente negativo -a con a naturale pari

esempi: f(x) = x^-2, f(x) = x^-4, ...

• dom(f) = ℝ \ {0}
• cod(f) = ]0; +∞[
• f(1) = 1
• f(x) > 0 ∀ x ∈ dom(f)

D. Esponente negativo -a con a naturale dispari

esempi: f(x) = x^-1, f(x) = x^-3, ...

• dom(f) = ℝ \ {0}
• cod(f) = ℝ \ {0}
• f(1) = 1
• f(x) > 0 se x > 0 , f(x) < 0 se x < 0

Operazioni tra funzioni

Date due funzioni f,g: X→ℝ, X⊂ℝ, definiamo:

• f+g la funzione somma di f e g: f+g: X→ℝ

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

• fg il prodotto di f e g: fg: X→ℝ

(fg)(x) = f(x)g(x)

• f/g il quoziente di f e g

f/g: X\{x∈X: g(x)=0} → ℝ

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

1. Domanda: La somma di due funzioni crescenti è una funzione crescente?
2. Domanda: Il prodotto di due funzioni crescenti è una funzione crescente?

Risposte

f,g: X→ℝ crescenti

(se x₁,x₂ ∈ X, allora x₁ ≤ x₂, allora f(x₁) ≤ f(x₂))

Prendiamo x₁,x₂ ∈ X con x₁ ≤ x₂

Vogliamo verificare che f(x₁)+g(x₁) ≤ f(x₂)+g(x₂)

x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) ⇒ f(x₁)+g(x₁) ≤ f(x₂)+g(x₁) ≤ f(x₂)+g(x₂)

Quindi, f+g è crescente

Nota: se invece f è crescente e g è decrescente, non possiamo dire nulla su f+g

f(x) = {0, se x ≤ 0; x, se x > 0}

g(x) = {-x, se x ≤ 0; 0, se x > 0}