Metodi matematici - Appunti

UGUAGLIANZA TRA INSIEMI

Due insiemi A e B sono uguali (A=B) quando hanno gli stessi elementi ∀X X∈A ⇔ X∈B

Due insiemi A e B sono diversi (A≠B) quando esiste un elemento che appartiene ad uno solo dei due insiemi

∃X ⇒ X∈A e X∉B o X∈B e X∉A

• Non conta la ripetizione di un elemento
• Non conta l'ordine con cui gli elementi vengono elencati

Esempio:

A={5;2;4;6} B={3;6;2;5} C={5;1;6;4;2} D={5;4;1;6;2}

A=B B⊂C A⊈D perché 1∈D ∧ 1∉A

INCLUSIONE E SOTTOINSIEME

B è incluso in A o B è un sottoinsieme di A (B⊂A), quando ogni elemento di B è anche elemento di A

∀X X∈B ⇒ X∈A

Osservazione 1

Ogni insieme A ha sempre due insiemi "impropri": ∅ e A stesso

Osservazione 2

A=B ⇔ A⊂B e B⊂A (l'uno sottoinsieme dell'altro)

L'uguaglianza tra insiemi si verifica attraverso la doppia inclusione: c e c²

INSIEME DELLE PARTI DI A (P(A))

Dato un insieme A, l'insieme delle parti di A, P(A), è l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A:

P(A)={B:B⊂A}

Osservazione

In P(A) troviamo sempre A e ∅

Esempio: Scrivere l'insieme delle parti dell'insieme, formato dalle vocali della parola "QUATTRO"

A={u, a, o}

P(A)={[∅],[u,a,o],[u],[a],[o],[u,a],[u,o],[a,o]}

Osservazione

In generale, se A è formato da n elementi, allora l'insieme delle parti (P(a)) sarà formato da 2ⁿ elementi

UGUAGLIANZA TRA INSIEMI

Due insiemi A e B sono uguali (A=B) quando hanno gli stessi elementi. ∀x x∈A ⇔ x∈B

Due insiemi A e B sono diversi (A≠B) quando esiste un elemento che appartiene ad uno solo dei due insiemi.

∃x ⇒ x∈A e x∉B

o x∈B e x∉A

- Non conta la ripetizione di un elemento.

- Non conta l'ordine con cui gli elementi vengono elencati.

esempio

A={3;2;4;6} B={3;2;6} C={3;6;4;2} D={2;4;1;6;2}

A=B B=C C=A

A≠D perché 1∈D ma 1∉A

INCLUSIONE E SOTTOINSIEME

B è incluso in A o B è un sottoinsieme di A (B⊆A) quando ogni elemento di B è anche elemento di A.

∀x x∈B ⇒ x∈A

Osservazione 1

Ogni insieme A ha sempre due insiemi "imposti": ∅ e A stesso.

Osservazione 2

A=B ⇒ A⊆B e B⊆A (l'uno sottoinsieme dell'altro)

L'uguaglianza tra insiemi si verifica attraverso la doppia inclusione: c.e. 2

INSIEME DELLE PARTI DI A P(A)

Dato un insieme A, l'insieme delle parti di A, P(A), è l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A.

P(A)={ B:B⊆A }

Osservazione:

in P(A) troviamo sempre A e ∅.

esempio:

Scrivere l'insieme delle parti dell'insieme formato dalle VOCALI della parola "QUATTRO".

A:{u;a;o}

P(A):{ {∅},{u},{a},{o},{u;a},{u;o},{a;o},{u;a;o} }

Osservazione:

In generale, se A è formato da n elementi, allora l'insieme delle parti P(A) sarà formato da 2ⁿ elementi.

INSIEMI IN GENERALE

Simbologia:

• ∀ quantificatore universale: [ PER OGNI o COMUNQUE PRESO ]
• → implicazione logica: [ SE ... ALLORA o IMPLICA CHE ]
• ↔ doppia implicazione logica: [ SE e SOLO SE o EQUIVALE A ]

Un insieme è un concetto primitivo [non esiste una definizione]

Un insieme è ben definito quando riusciamo ad identificare in maniera univoca gli elementi che ne fanno parte

Esempio - lettere dell'alfabeto (INSIEMI DEFINITI)numeri naturali compresi tra 5 e 500 (INSIEMI DEFINITI)le cose più belle che ti piacciono (INSIEMI INDEFINITI)

A, B, C = insiemi (lettere maiuscole)   a, b, c = elementi dell'insieme (lettere minuscole)

• ∈ Simbolo di appartenenza   a ∈ A [a appartiene all'insieme A ]
• ∉ Simbolo di non appartenenza   a ∉ A [a non appartiene all'insieme A]
• ∅ insieme vuoto (insieme caratterizzato dal fatto di non avere elementi)

Descrivere un insieme 3 modi

1. elencare tutti gli elementi di un insieme, A = {a, b, c}
2. mediante una proprietà caratteristica che accomuna i suoi elementi: A = {a : a soddisfa la prop