Lezioni, Matematica generale

Prodotto cartesiano:

Si definisce prodotto cartesiano l'insieme di tutte le coppie ordinate A, B tali che a appartiene ad A e b appartiene a B.

A: {1, 3}_ℚ^xℂ, B: {0, 1}

Prodotto cartesiano:

{(1,0), (1,1), (3,0), (3,1), (4,0), (4,1) (1,2), (0,2), (0,6)³

Numeri razionali:

Il rapporto tra due numeri relativi con P e Q ≠ 0.

I numeri razionali si possono contare.

Denotare numeri razionali: Sono ben definiti sulla retta ma esistono comunque punti sulla retta che non corrispondono ad alcun razionale.

Numeri irrazionali:

Non si possono esprimere come rapporto tra due numeri relativi.

I numeri irrazionali sono caratterizzati dall'evitare una allineamento infinito di numeri dopo la virgola.

I buchi che sulla retta vengono lasciati dai numeri razionali vengono coperti dai numeri irrazionali.

Numeri reali:

Sono l'insieme di numeri razionali e irrazionali. Si indicano con IR.

I numeri reali sono un allineamento di numeri ordinati non proprio. Questi numeri sono densi e non si possono contare.

I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca coi punti della retta perché ad ogni numero reale corrisponde un unico punto sulla retta e viceversa, essendo un'unione di numeri razionali e irrazionali.

Il fatto di poter essere sempre messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta che differenzia i numeri reali dai razionali si chiama completezza. La completezza permette l'estrazione di radice.

Modulo:

Distanza di qualunque punto dall'origine |x|:

• x > 0 e x > 0
• x < 0 e x < 0

Insieme:

Aperto: se tutti i suoi punti sono interni.

Chiuso: se il suo complementare è aperto.

[1,2] = { x: 1 ≤ x ≤ 2 } complemento: (-∞,1) ∪ (2,∞)

Punto:

(rispetto ad A)

Esterno: se è interno al complementare rispetto ad IR

Frontiera: se è né interno né esterno

Accumulazione: se ogni intorno x₀ contiene infiniti punti di A

(è un punto in cui è definita la funzione)

Dato un insieme:

K∈R è detto maggiore di A se e solo se per ogni a appartenente A ⇒ a≤k

K∈R è detto minore di A se e solo se per ogni a appartenente A ⇒ a≥k

Estremo superiore: min{k: k è maggiore}

Estremo inferiore: max{k: k è minore}

Completezza

Se A è limitato superiormente ammette superiore.

Se A è limitato inferiormente ammette inferiore.

Massimo Rel. Locale:

∃ y_ε (x_ε) t.c. f(x₀) ≥ f(x)

se x₀ > x si dice max rel. locale forte

Minimo Rel. Locale:

∃ y_ε (x_ε) t.c. f(x₀) ≤ f(x)

se x₀ < x si dice min rel. locale forte

Funzione Monotona Crescente:

se per ogni coppia di punti X₁ e X₂ di A

X₁ < X₂ ⇒ f(X₁) ≤ f(X₂)

solo < forte crescente

Funzione Monot. Decrescente:

se per ogni coppia di punti X₁ e X₂ di A

X₁ > X₂ ⇒ f(X₁) ≥ f(X₂)

solo < forte decrescente

Pendenza:

P(X₁, X₂) = (f(X₁) - f(X₂)) / (X₁-X₂)

Se ∀ X₁, X₂ ∈ dom

P(X₁, X₂) > 0 ⇒ crescente

P(X₁, X₂) ≤ 0 ⇒ decrescente

Teorema Unicità del Limite

(dimostrazione per assurdo)

lim f(x) = l

x → x₀

l₁ ≠ l₂

∀ε₁ ε₂ > 0 ∃δ₁ δ₂ > 0 ∀x |x - x₀| < δ₁ ⇒ |f(x) - l₁| < ε₁

(anche per l₂)

|x - x₀| < {δ₁, δ₂}

|l₂ - l₁| > ε₁ + ε₂ sono intorni disgiunti; assurdo perchè la f non può avere immagini distinte.

Teorema Esistenza del Limite

f(x) monotona in (a, b)

∀c ∈ (a, b) lim f(x) = esiste ed è finito

x → c

Teorema del Confronto

sìa f(x) una funzione t.c per un intorno di x₀ verifica g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

lim g(x) = lim h(x) = l

x → x₀ x → x₀

⇒ lim f(x) = l

x → x₀

Teorema Camb. di Variabile

g(x) t.c.

x → y

lim g(x) = k

lim f(y) = l

x → y

⇒ lim f(g(x)) = lim f(y)

x → c y → k

lim_{x → 0} sin(x)/x = 1

lim_{x → 0} (sin(x)/x - 1)/(x/a) = 0

Operazioni con i Limiti

lim f(x) = l₁

x → x₀

lim g(x) = l₂

x → x₀

lim (f(x) + g(x)) = l₁ + l₂

x → x₀

lim (f(x) ⋅ g(x)) = l₁ ⋅ l₂

x → x₀

Landau

lim f(x) ≈ 0 ⇒ Θ(1)

x → x₀

sen(x) = x + θ(x)

cos(x) = 1 - ¹/₂ x² + o(x²)

tg(x) = x + θ(x)

ln(1+x) = x + θ(x)

e^x = 1 + x + θ(x)

(1+x)⁴ = 4x + θ(x)

arc tgx = x + θ(x)

Derivate Note

f(x) = kx

lim_x→x₀ ^{kx - kx₀}/_{x - x₀} = lim_x→x₀ ^{k (x - x₀)}/_{x - x₀} = k

f(x) = k: lim_x→x₀ ^{k - k}/_{x - x₀} = 0

f(x) = x²

lim_x→x₀ ^{x2 - (x₀)2}/_{x - x₀} = lim_x→x₀ ^{(x - x₀) (x + x₀)}/_{x - x₀} = x₀ + x₀ = 2x₀

f(x) = e^x

lim_h→x₀ ^{l_{x₀ + h} - l_x₀}/_h = lim_h→x₀ ^{ex₀ + eh- e₀}/_h = e^x₀ ( ^{eh - 1}/_h ) = e^x̅₀

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione C⁰ in [a,b] ma C¹ in (a,b) allora ∃ f(a) = f(b) ∃ almeno un punto x₀ ∈ (a,b) t.c f'(x₀)=0

Se la funzione ε C⁰ in [a,b] allora per il teorema di Weierstrass ammette max e min.

1. il max ≡ f(a) = f(b) e quindi f≡ identicamente costante f'(x₀)=0
2. il max ∃ può essere ≥ f(a) oppure il min ∃≤f(b)

Se la funzione ammette max o min nell'intervallo, per il di Fermat ∃ almeno un punto in cui la derivata è zero

Teorema de l'Hôpital

f(x) e g(x) supponiamo che il lim x → x₀ f(x)/g(x) = ∞/∞ o 0/0

se f(x) e g(x) sono C¹ in x = x₀ e se g'(x) ≠ 0 per x ≠ x₀ alloraposso risolvere il lim. con lim x→x₀ f'(x)/g'(x)

Integrazione per Parti

∫_a^b f·g' dx = [f·g]_a^b - ∫_a^b f'·g dx

Sostituzione

∫ f(dx)      da x → t      derivata di x rispetto a t

Scomposizione

∫_a^b dx / (ax²+bx+c)

1. Se le radici del polinomio di 2^o grado sono reali → si decompone in fratti semplici
2. Se le radici sono complesse → si riconduce a arc tg