Lezioni, Matematica generale

Prodotto cartesiano

Si definisce prodotto cartesiano l'insieme di tutte le coppie ordinate A, B tali che a appartiene ad A e b appartiene a B.

A: {1,3,7,2,0}   B: {0,1}

Prodotto cartesiano: {(1,0), (1,1), (3,0), (3,1), (7,0), (7,1), (2,0), (2,1), (0,0), (0,1)}

Numeri razionali

Rapporto tra due numeri relativi con P ∈ Q ≠ 0. I numeri razionali si possono contare. Detti numeri razionali: sono ben definiti sulla retta, ma esistono comunque punti sulla retta che non corrispondono ad alcun razionale.

Numeri irrazionali

Non si possono esprimere come rapporto tra due numeri relativi. I numeri irrazionali sono caratterizzati dall'avere un allineamento infinito di numeri dopo la virgola. I buchi che sulla retta vengono lasciati dai numeri razionali vengono coperti dai numeri irrazionali.

Numeri reali

Sono l'insieme dei numeri razionali e irrazionali. Si indicano con ℝ. I numeri reali sono un allineamento di numeri ordinati non propri. Questi numeri sono densi e non si possono contare. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca coi punti della retta perché ad ogni numero reale corrisponde un unico punto sulla retta e viceversa. Sono un insieme di numeri razionali e irrazionali. Il fatto di poter essere sempre messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, che differenzia i numeri reali dai razionali, si chiama completezza. La completezza permette l'estrazione di radice.

Modulo

Distanza di qualunque punto dall'origine |x|: { x > e 0, x > e

Insieme

• Aperto: se tutti i suoi punti sono interni.
• Chiuso: se il suo complementare è aperto.

[1,2] : {x: 1 ≤ x ≤ 2} → complementare (-∞,1) ∪ (2,∞)

Punto

Esterno: se è interno al complementare rispetto ad ℝ. Frontiera: se è né interno né esterno. Accumulazione: se ogni intorno X₀ contiene infiniti punti di A (è un punto in cui è definita la funzione).

Prodotto cartesiano

Si definisce prodotto cartesiano l'insieme di tutte le coppie ordinate A, B tali che a appartenente ad A e b appartenente a B. (importante rispettare l'ordine)

Esempio: A: {4, 3, 1, 2}_a Esemplare: A³₈B: {0, 1}

Prodotto cartesiano: {(4,0), (4,1), (3,0), (3,1), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1)} _{0,2,3}

Numeri razionali

Rapporto tra due numeri relativi con P e Q ≠ 0. I numeri razionali si possono contare. Denotate numeri razionali: sono ben definiti sulla retta, ma esistono comunque punti sulla retta che non corrispondono ad alcun razionale. ^(7/3)√2

Numeri irrazionali

Non si possono esprimere come rapporto tra due numeri relativi. I numeri irrazionali sono caratterizzati dall'essere un allineamento infinito di numeri dopo la virgola. I buchi che sulla retta vengono lasciati dai numeri razionali vengono coperti dai numeri irrazionali.

Numeri reali

Sono l'insieme dei numeri razionali e irrazionali. Si indicano con IR. I numeri reali sono un allineamento di numeri ordinati non però. Questi numeri sono densi e non si possono contare. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta perché ad ogni numero reale corrisponde un unico punto sulla retta e viceversa, essendo un insieme di numeri razionali e irrazionali. Il fatto di poter essere sempre messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta che differenzia i numeri reali dai razionali si chiama completezza. La completezza permette l'estrazione di radice.

Modulo

Distanza di qualunque punto dall'origine |x|: { x > e x > 0−x

Insieme

• Aperto: se tutti i suoi punti sono interni.
• Chiuso: se il suo complementare è aperto.

[1,2] := {x:1 ≤ x ≤ 2} -> complementare (-∞, 1) ∪ (2, ∞)

Punto

• (rispetto ad A) Esterno: se è interno al complementare rispetto ad IR
• Frontiera: se è né interno né esterno
• Accumularsono: se ogni intorno X_o contiene infiniti punti di A (c'è un punto in cui è definita la funzione)

Dato un insieme

K∈R è detto maggiorante di A se e solo se per ogni a appartenente a A ⇒ a≤k

K∈R è detto minorante di A ⇔ ∀a ∈ A ⇒ a≥k

Estremo superiore: min {k: k è maggiorante}

Estremo inferiore: max {k: k è minorante}

Completezza

Se A è limitato superiormente ammette estremo superiore.

Se A è limitato inferiormente ammette estremo inferiore.

Proprietà delle potenze

a^m · b^m = a · b^m

a^m : aⁿ = a^m-n

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

a · b^m = a^m · b