Appunti lezioni Matematica generale

DELL’ALTRA

10. Funzione polinomiale

SI OTTIENE DA SOMME E PRODOTTI DI FUNZIONI COSTANTI E FUNZIONE IDENTICA

Funzione costante: y= g (x) =k Ag=R

Funzione identica: y= (x)=x Ai=R

y=(x) =n alla n + n-1 alla n-1+⋯+1+0 f=g ∩ i = R

n è il grado del polinomio, ( = 1, ... , sono i coefficienti del polinomio

i )

Due polinomi sono uguali se e solo se hanno stessi coefficienti e stesso grado

funzione costante

Se n=0⟹ y= =, funzione lineare

Se n=1⟹ y= x =1+0,

Scomposizione di polinomi

è una radice (o soluzione) del polinomio: = 0

è una radice (o soluzione) del polinomio se e soltanto se il polinomio è divisibile

per −

DIVISIONE TRA POLINOMI : (−) =() -> x

(x) (x)=(−) ()

Se il polinomio f ha grado n -> il polinomio Q ha grado n-1

11. Funzione parte intera

() =[]

R la funzione associas il più grande numero intero, non superiore a

∀ ∈

Esempio:

= ->() = [] =3

=5,1-> (5,1) = [5,1] = 5

=−2,2 -> (−2,2) = [−2,2] = −3

Grafico Funzioni quasi elementari

(x)

Trasformazioni di funzioni elementari

Valore assoluto della funzione = |()|

{

= |()| = ()≥0

− ()<0

Esempio:

= () = |ln()| (||)

Valore assoluto della variabile indipendente =

Funzione pari

Esempio:

y = () = |x|

Traslazione verticale = +

Traslazione verso l’alto > 0

Traslazione verso il basso < 0

Esempio:

=()=7 +2 e = =7 −1

Traslazione orizzontale = +

Traslazione verso sinitra > 0

Traslazione verso destra < 0

Esempio:

=()=ln(+1)

Moltiplicazione per costante = (x)

⋅

Esempio:

= () = − alla x

1

Funzione composta = (2 ())

Ę

Se è crescente ()) è crescente cresce

1 1(2 2

()) è decrescente decresce

1(2 2

Se è decrescente ()) è crescente decresce

2 1(2 2

()) è decrescente crescente

1(2 2

Esempio f(x) = in ( 3x ) Esempio f(x) = e alla -x2

x-2

Funzioni a tratti

Già vista con il valore assoluto

Esempio:

{ alla x, ≤0

()= 1−2, 0<≤1

ln (), > 1

Esempio economico: funzione di apprendimento

=− ,

() alla -kx ,,>0

la variabile indica il tempo

Limiti

Generalità sui limiti: calcolo intuitivo

Limite per x che tende a 3 da sinistra

()= 2 → =R∖{3}

-

3-X

lim 2 = +∞

x→3- 3-x

Limite per x che tende a 3 da destra

lim 2 = -∞

x→3+ 3-x x2-1>0

Y= log(x2-1) → (x+1)x(x-1) > 0

E= (-∞, -1) U (+1, +∞)

Ci possiamo avvicinare a -1 da sinistra oppure a +1 da destra.

Limite per x che tende a -1 da sinistra

lim log(x2-1) = -∞

x→-1-

Limite per x che tende a +1 da destra

lim log(x2-1) = +∞

x→1+

Limite per x che tende a + infinito

lim log(x2-1) = +∞

x→+∞

Limite per x che tende a - infinito

lim log(x2-1) = +∞

x→-∞

Graficamente:

Limite per x che tende a + infinito =

Y = x

x+1

A={-1}

lim x =1

x→+∞ x+1

Definizione informale

Siano R (eventualmente infiniti). Diremo che il limite della funzione è

,

∈

uguale a per tendente a scrivendo:

, ,

lim () =

x →P

Ogniqualvolta i valori assunti da sono vicini quanto si vuole a in corrispondenza

,

di tutti i punti sufficientemente vicini a

(con eventuale esclusione del punto = in cui può non essere definita)

,

Definizione unitaria

Sia : ⊆ R → R e siano , ∈ R.

lim () =

x→P

Se e solo se

∀(), ∃() :() ∈ (), ∀ ∈ (), ∈

Dal generale al particolare

Limiti di una funzione nei vari casi:

Caso : (0) = (0 − , 0 + )

Anziché affermare diremo e

∀(0) e ∃(0), ∀ > 0 ∃ > 0

Caso ±∞: (+∞) = (, +∞)

(−∞) = (−∞, −)

Anziché affermare diremo e

∀(+∞) , ∃(+∞) o ∀ (−∞) , ∃(−∞) ∀ > 0 ∃ > 0

0,

Definizione caso = =

Sia punto di accumulazione per l’insieme si ha:

R → R con

: 0 ,

⊆ lim () =

x→x0

⇔∀ > 0, ∃ > 0:|() −| < ,

∀ ∈ :0 < |−0| <

Fissato un intorno V di l, è possibile determinare in corrispondenza, un intorno U di %

tale che tutti gli elementi di U abbiano immagine contenuta in V.

Esempio:

La al tendere di x a 2 tende a 5:

y=x+3 lim. (x + 3) = 5

x→2

In altri termini man mano che la x si avvicina a 2 la y si avvicina a 5.

Definizione caso = +∞, =

Limite per x che tende ad infinito: lim f(x)=l

x→+∞

Sia con A insieme illimitato superiormente, si ha:

: ⊆ R → R lim f(x)=l

x→+∞

⇔ ∀ > 0, ∃ > 0: | () −| < , ∀ ∈ : >

In altri termini, man mano che la x assume valori crescenti la y si avvicina al numero l.

Esempio:

lim 1 =0

x→+∞ 2

|() − | < diventa | 1 − 0 | < da cui 1 < ⇒ 2 > 1

-

-

x2 x2

Ossia: |x| > 1

√

Quindi per il limite è verificato!

x > 1

√

Cioè: I(+∞) = (1 , +∞)

√

Se poniamo: = 0,01 → = 1 =10

√0,01

avremo: | 1 -0 | < = 0,01 ⇒ 1 <

x2 x2

Per esempio: x=11

1 = 0,00826 < 0,01

Definizione caso = −∞, =

Sia con A insieme illimitato inferiormente, si ha:

: ⊆ R → R lim f(x)=l

x→-∞

⇔ ∀ > 0, ∃ > 0: |(x) −| < , ∀ ∈ : < −

Graficamente

Esempio:

lim 1 = 0

x→-∞ x2

|()−| < diventa | 1 - 0| < da cui 1 < ⇒2 > 1

Ossia: || > 1

√

Quindi per x < 1 il limite è verificato!

− √

Cioè I(−∞) = (−∞,− 1 )

√

0,

Definizioni casi = = ±∞

Sia con punto di accumulazione per l’insieme si ha:

: ⊆ R → R 0 ,

lim () =+∞ ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0: () >,

x→x0 ∀ ∈ : 0 < | − 0 | <

lim () =−∞ ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 : () <−,

x→x0 ∀ ∈ : 0 < | − 0| <

Asintoto verticale

Esempio:

Definizioni casi = ±∞, = ±∞

→

Sia R R con A insieme illimitato superiormente,

: ⊆

lim () = +∞ ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 : () > , ∀ ∈ : >

x→+∞

lim () =−∞ ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 : () < −, ∀ ∈ : >

x→+∞

Sia con A insieme illimitato inferiormente,

: ⊆ R → R

lim () =+∞ ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 : () > , ∀ ∈ : < −

x→-∞

lim = −∞ ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0 : () < −, ∀ ∈ : < −

x→-∞

Esempio

Quando la tende a (finito) si usa dire che a

f(x) l CONVERGE l;

+∞;

Se tende a si usa dire che

{ -∞; DIVERGE

∞

Caso particolare: limite destro

Definizione. Limite destro

Se è definita in allora potrò avvicinarmi a solo per valori ad esso

f(x) (x0,b) x0

superiori; eseguo il cosiddetto limite destro:

lim () = ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0: |() − | < ,

x→x+0 ∀ ∈ : 0 < x < 0 +

Caso particolare: limite sinistro

Definizione. Limite sinistro

Identico al precedente è il discorso sul limite sinistro: se è definita in

f(x) (a,x0)

lim () = ⇔ ∀ > 0, ∃ > 0: () − l< ,

x→x0- ∀ ∈ : 0 − < < 0

Esempio Esempio

Esempio

Limiti notevoli Teoremi sui limiti

Teorema 1. Unicità del limite

Se esiste lim f(x)=l

x→x0

allora tale limite è unico.

Ipotesi: lim f(x)=l

x→x0

Tesi: Non esiste nessun tale che:

l’≠l lim f(x)=l’

x→x0

Dimostrazione

Si suppone per assurdo che esistono due limiti diversi:

e con ≠

lim ()= lim ()= ‘ ’

x→x0 x→x0

Allora, dalla definizione di limite risulta:

∀ ∈ R+ ∃ (0) : − < () < + ,

∀ ∈ (0) ∩ − {0}

ma anche:

∀ ∈ R+ ∃(0) ∶ ’ − < () < ’ + ,

∀ ∈ U (0) ∩ − {0}

Di conseguenza, nell’intersezione dei due intorni (0) devono valere

I(0)

∩

entrambe.

Tuttavia scegliendo piccolo abbastanza (affinché l + < risulta:

−

’ )

.