Lezioni, Manutenzione dei sistemi di produzione M

A C D B

A, B, D C R R R (1 – R ) = 0,002 0,9 0,0018

A B D C

A, B, C D R R R (1 – R ) = 0,097 1 0,097

A B C D

A, B C, D R R (1 – R ) (1 – R ) = 0,00029 0,7 0,000203

A B C D

A, C B, D R R (1 – R ) (1 – R ) = 0,0083 0,7 0,00581

A C B D

A, D B, C R R (1 – R ) (1 – R ) = 0,0002 0,6 0,00012 IS

A D B C

B, C A, D R R (1 – R ) (1 – R ) = 0,001 0,6 0,0006

B C A D

B, D A, C R R (1 – R ) (1 – R ) = 0,000027 0,5 0,0000135

B D A C

C, D A, B R R (1 – R ) (1 – R ) = 0,00077 0,5 0,000385

C D A B

A B, C, D R (1 – R ) (1 – R ) (1 – R ) = 0,000025 0,4 0,00001

A B C D

B A, C, D R (1 – R ) (1 – R ) (1 – R ) = 0,0000032 0,3 0,00000096

B A C D

C A, B, D R (1 – R ) (1 – R ) (1 – R ) = 0,000092 0,3 0,0000276

C A B D

D A, B, C R (1 – R ) (1 – R ) (1 – R ) = 0,0000023 0,2 0,00000046

D A B C

- A, B, C, D (1 – R ) (1 – R ) (1 – R ) (1 – R ) = 0,00000027 0 0

A B C D

* omesso (t) E = 0,98527052

S

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 59

∑

E = P (t) Q = (0,81 x 1) + (0,009 x 0,8) + … = 0,98527052

S Sj Sj

j

L’efficienza è quindi una grandezza non affidabilistica, utilizzata quando si ipotizza la presenza di

stati degeneri/degradati: vedremo in seguito come può essere confrontata con l’affidabilità.

dei sistemi di produzione”

Esercizio (pag. 115 del testo “Manutenzione Regattieri, Manzini):

Si consideri il sistema delle quattro pompe identiche schematizzato in figura.

-1

Si conosce il rateo di guasto λ pari a 0,8 anno (ciò significa λ costante, vita utile).

La portata di ciascuna pompa è pari a 50 Kg/sec.

Si richiede di calcolare l’affidabilità del sistema, con riferimento ad un tempo di missione T pari a

2500 h quando l’utenza a valle richiede una portata esattamente pari a :

1. 50 Kg/sec;

2. 100 Kg/sec;

3. 150 Kg/sec;

4. 200 Kg/sec.

Si ipotizzi di considerare 200 gg lavorativi l’anno ed un funzionamento pari a 16 h/gg.

P 1

P 2 UTENZA

P 3

P 4

Per prima cosa è necessario uniformare le unità di misura (T ≠ λ, h ≠ anni):

gg h

200 16 = 3200 h/a

a gg 0,8 0,8 0,8 anno

-1 = = = = 0,00025 a/h

λ = 0,8 anno anno h 3200 h

3200 anno

Successivamente è possibile calcolare l’affidabilità di una pompa nell’orizzonte temporale

specificato: – 0,00025 x 2500 – 0,625

– λt

R (2500 h) = e = 2,718 = 2,718 = 0,535

1POMPA

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 60

1) L’utenza richiede 50 Kg/sec.

Si tratta di una configurazione parallelo completamente ridondante.

n n

∏ ∏

R (t) = 1 – F (t) = 1 – [1 – R (t)] = R (t)

S S i i

i=1 i=1 4 = 0,953 = 95,3%

= 1 – (1 – 0,535) (1 – 0,535) (1 – 0,535) (1 – 0,535) = 1 – (1 – 0,535)

2) L’utenza richiede 100 Kg/sec.

Si tratta di una configurazione parallelo a logica maggioritaria k/n, con k = 2 e n = 4.

n n

∑ i n – i

R = R (1 – R)

S k/n i

i = k

4 n 4 4 4

∑ i n – i 2 4 – 2 3 4 – 3 4 4 – 4

R = R (1 – R) = R (1 – R) + R (1 – R) + R (1 – R) =

S 2/4 i 2 3 4

i = 2 4! 4! 4!

2 4 – 2 3 4 – 3 4 4 – 4

(1 – R) + R (1 – R) + R (1 – R) =

= R

2! (4 – 2)! 3! (4 – 3)! 4! (4 – 4)!

2 2 3 4

(1 – R) + 4R (1 – R) + R = 6 (0,535) (1 – 0,535) + 4 (0,535) (1 – 0,535) + (0,535) =

= 6R 2 2 3 4

= 1,71 x 0,2162 + 0,6125 x 0,465 + 0,0819 = 0,369 + 0,2848 + 0,0819 = 0,7357 = 73,57%

3) L’utenza richiede 150 Kg/sec.

Si tratta di una configurazione parallelo a logica maggioritaria k/n, con k = 3 e n = 4.

n n

∑ i n – i

= R (1 – R)

R

S k/n i

i = k

4 n 4 4

∑ i n – i 3 4 – 3 4 4 – 4

R = R (1 – R) = R (1 – R) + R (1 – R) =

S 2/4 i 3 4

i = 3 4! 4!

3 4 – 3 4 4 – 4

(1 – R) + R (1 – R) =

= R

3! (4 – 3)! 4! (4 – 4)!

3 4

= 4R (1 – R) + R = 4 (0,535) (1 – 0,535) + (0,535) =

3 4

= 0,6125 x 0,465 + 0,0819 = 0,2848 + 0,0819 = 0,366 = 36,6%

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 61

4) L’utenza richiede 200 Kg/sec.

Si tratta di una configurazione serie.

n

∏

. . .

R (t) = R (t) R (t) … R (t) = R (t) =

S 1 2 n i

i=1 4 = 0,082 = 8,2%

= (0,535) (0,535) (0,535) (0,535) = (0,535)

Questo valore dimostra come l’evento “funzionano tutte e quattro le pompe” è rarissimo.

N.B.: nei casi 1, 2 e 3 è possibile calcolare esattamente la probabilità di funzionamento

rispettivamente di uno, due, tre componenti su quattro e non di tutte le combinazioni di

configurazioni che soddisfano l’utenza, come fatto nel caso precedente.

1.B) L’utenza richiede 50 Kg/sec.

n 4 4!

i n – i 1 4 – 1 1 3

R = R (1 – R) = R (1 – R) = (0,535) (1 – 0,535) =

S 1/4 i 1 1! (4 – 1)!

= 4 x 0,535 x 0,1 = 0,214 = 21,4%

2.B) L’utenza richiede 100 Kg/sec.

n 4 4!

i n – i 2 4 – 2 2 2

= R (1 – R) = R (1 – R) = (0,535) (1 – 0,535) =

R S 2/4 i 2 2! (4 – 2)!

= 6 x 0,286 x 0,2162 = 0,371 = 37,1%

3.B) L’utenza richiede 150 Kg/sec.

n 4 4!

i n – i 3 4 – 3 3 1

R = R (1 – R) = R (1 – R) = (0,535) (1 – 0,535) =

S 3/4 i 3 3! (4 – 3)!

= 4 x 0,153 x 0,465 = 0,214 = 0,284 = 28,4

Il sistema inizialmente lavorava con tre pompe:

(con riferimento alla richiesta dell’utenza di 50 Kg/sec)

n n

∏ ∏

R (t) = 1 – F (t) = 1 – [1 – R (t)] = R (t)

S S i i

i=1 i=1 3

= 1 – (1 – 0,535) (1 – 0,535) (1 – 0,535) = 1 – (1 – 0,535) = 0,899 = 89,9%

Quindi: R (t) = 89,9% < R (t) = 95,3%

S 3POMPE S 4POMPE

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 62

Valutiamo quindi la convenienza a inserire un’ulteriore pompa:

ore guadagnate

Δh = 2500 h (0,953 – 0,899) = 135h/2500h à

Supponendo un ricavo orario della linea pari a 5000 €/h si ha:

ricavo guadagnato

ΔR = 135 h/2500 h x 5000 €/h = 675000 €/2500 h à

u = 8% = 0,08 margine

à utile guadagnato

ΔU = 0,08 x 675000 €/2500 h = 54000 €/2500 h à

Considerando un costo unitario della pompa pari a 1000 €, si può definire l’arco temporale in cui la

quarta pompa aggiuntiva “ripaga” l’investimento realizzato:

54000 € = 21,6 €/h

2500 h

1000 € / 21,6 €/h = 46,2962 h

46,2962 h / 16 h/gg = 2,89 gg in circa 3 giorni la quarta pompa aggiuntiva si “ripaga”!

à

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 63

Esercizio riepilogativo:

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 64

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 65

Come si può notare dallo schema in figura le potenzialità delle macchine sono tutte (o quasi)

diverse: ciò può essere spiegato dal fatto che ogni macchina effettua un’operazione differente ed è

quindi caratterizzata da tecnologie e vincoli differenti.

I dati di targa sono frutto di ottimizzazioni realizzate in diversi anni, inoltre nel mondo non esiste

una linea completa che possiede tutte le macchine di un unico fornitore.

Le macchine della linea sono successivamente regolate per fornire la potenzialità totale richiesta

dalla lavorazione (in questo esempio 1 t/h).

Hp fondamentale alla base dell’esercizio: vita utile.

1) IMPASTATRICE (2 macchine, potenzialità produttiva: 1 t/h a macchina)

-1 -1

λ (h ) = 1 / MTTF µ (h ) = 1 / MTTR

1 / 1500 = 0,00067 1 / 6 = 0,167

1 / 2100 = 0,00048 1 / 4 = 0,25

1 / 1850 = 0,00054 1 / 2,5 = 0,4

Considerando i componenti critici all’interno delle macchine posti in serie possiamo determinare:

n

∑ -1

λ = λ (t) = λ (t) = 0,00067 + 0,00048 + 0,00054 = 0,00169 h

S S i

i=1

µ è troppo complesso da calcolare, quindi prima si approssima il MTTR del sistema con la

à

S :

seguente formula, per poi calcolare µ

S

n

∑ .

MTTR λ

i i (6 x 0,00067) + (4 x 0,00048) + (2,5 x 0,00054)

i=1

=

MTTR = =

S n 0,00067 + 0,00048 + 0,00054

∑ λ

i

i=1 0,00729

= = 4,31 h

0,00169

Dove: n numero di componenti critici individuati nella macchina

à

Quindi: 1 1

-1

λ = 0,00169 h MTTF = = = 591,71 h

IMP IMP 0,00169

λ IMP

1 1 -1

MTTR = 4,31 h µ = = = 0,232 h

IMP IMP 4,31

MTTR

IMP

Manutenzione dei sistemi di produzione M – modulo 2 Teoria dell’affidabilità – Simone Benassi 66

– µt

– λt r

t (h) R (t) = e t (h) G (t) = 1 – e

IMP r IMP

8 0,986 0,5 0,109

24 0,96 1 0,207

120 0,816 2 0,371

480 0,444 3 0,501

2880 0,0076 10 0,901

5760 0,000059

È possibile notare come i valori di affidabilità calano rapidamente con il passare del tempo: proprio

per questo motivo sono presenti nella linea due macchine impastatrici.

µ

MTTF 0,232

= = = = 0,9927

A IMP λ + µ

MTTR + MTTF 0,00169 + 0,232

Abbiamo studiato finora la singola macchina impastatrice: studiamo ora la stazione di impastatura,

composta da due macchine impastatrici.

IMP 1

IMP 2

Si tratta di una configurazione parallelo completamente ridondante.

Per determinare la disponibilità di un sistema è possibile utilizzare le seguenti formule:

. .

Configurazione serie A = A A A

à S 1 2 n . .

Configurazione parallelo A = 1 – (1 – A ) (1 – A ) (1 – A )

à S 1 2 n

In questo caso: 2

.

A = 1 – (1 – 0,9927) (1 – 0,9927) = 1 – (1 – 0,9927) = 0,9999

STAZ IMP

Manutenzione dei sistemi di produzione