Lezioni di Teoria dei segnali - Teoria ed esercizi svolti

S OMMARIO

Introduzione 1

CAPITOLO - 1 7

Richiami di Matematica 7

Premessa.

1.1 - .......................................................................... 7

L’integrazione alla Lebesgue.

1.2 - .......................................... 7

Misura associata a una classe di insiemi.

1.3 - ..................... 10

di Borel

1.4 - -Algebra .......................................................... 11

La misura di Lebesgue su

1.5 - ℝ .......................................... 11

La misura di Lebesgue su

1.6 - ℝ ....................................... 12

Funzioni integrabili alla Lebesgue e relative proprietà.13

1.7 - Funzioni a quadrato sommabile

1.8 - .................................... 16

II Teorema di Lebesgue: ............................................................... 18

Spazi metrici.

1.9 - .................................................................. 18

Spazi vettoriali.

1.10 - ............................................................. 20

Spazi normati.

1.11 - ............................................................... 20

Forme bilineari, quadratiche, hermitiane.

1.12 - .................. 21

Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica.23

1.13 - Forme hermitiane semidefinite positive.

1.14 - .................... 26

Prodotto scalare.

1.15 - ........................................................... 27

Vettori linearmente indipendenti.

1.16 - ............................... 29

CAPITOLO - 2 31

Rappresentazione Vettoriale dei Segnali 31

Premessa.

2.1 - ........................................................................ 31

Lo spazio dei segnali a energia finita.

2.2 - ........................... 32

Prodotto scalare ....................................................................... 33

Distanza .................................................................................... 33

Norma ....................................................................................... 34

Segnali linearmente indipendenti.

2.3 - ................................. 35

Teorema 2.1 (di Gram) ................................................................. 35

Rappresentazione geometrica di un segnale.

2.4 - ............... 38

Angolo tra due segnali.

2.5 - ................................................... 42

2 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Approssimazione dei segnali nel sottospazio S. Teorema

2.6 -

della proiezione. ....................................................................... 44

Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

2.7 -

................................................................................................... 48

Sviluppo di un segnale in serie di funzioni ortogonali.

2.8 - 50

CAPITOLO - 3 53

Segnali Periodici 53

Generalità.

3.1 - ....................................................................... 53

Serie di Fourier in forma esponenziale.

3.2 - ........................ 54

Forma trigonometrica della serie di Fourier.

3.3 - ................ 57

Segnali reali.

3.4 - .................................................................... 58

Proprietà della serie di Fourier.

3.5 - ..................................... 63

Linearità ....................................................................................... 63

Inversione nel dominio del tempo ................................................ 64

Segnale coniugato ......................................................................... 64

Coefficienti coniugati .................................................................... 64

Traslazione nel dominio del tempo ............................................... 65

Traslazione nel dominio della frequenza ....................................... 65

Convoluzione nel dominio del tempo ........................................... 65

Convoluzione nel dominio della frequenza ................................... 66

Segnali bidimensionali.

3.6 - .................................................. 68

CAPITOLO - 4 71

Segnali a Energia Finita 71

Deduzione elementare della trasformata di Fourier.

4.1 - ... 71

La trasformata di Fourier di segnali ad energia finita.

4.2 - 72

La trasformata in (ℝ). ........................................................... 73

La trasformata in (ℝ) ∩ (ℝ). ........................................... 73

La trasformata in (ℝ). ........................................................ 76

Conclusioni .............................................................................. 79

Principali proprietà della trasformata di Fourier di un

4.3 -

segnale ...................................................................................... 80

Trasformata di Fourier di segnali reali. ................................. 81

Proprietà della trasformata di Fourier.

4.4 - .......................... 84

Linearità ................................................................................... 84

Simmetria ................................................................................. 85

Segnale coniugato .................................................................... 85

Trasformata coniugata ............................................................ 86

3

Introduzione

Traslazione nel dominio del tempo ........................................ 86

Traslazione nel dominio della frequenza ............................... 86

Cambiamento di scala ............................................................. 87

Derivazione nel dominio del tempo ....................................... 88

Derivazione nel dominio della frequenza .............................. 88

Convoluzione nel dominio del tempo .................................... 89

Convoluzione nel dominio della frequenza ........................... 92

Limitazioni dello spettro di ampiezza di un segnale.

4.5 - .. 96

Segnali bidimensionali.

4.6 - .................................................. 98

Linearità ................................................................................... 99

Traslazione nel dominio dello spazio e della frequenza ....... 99

Cambiamento di scala. ............................................................ 99

Convoluzione nel dominio dello spazio e della frequenza.. 100

Trasformazioni di variabili .................................................... 101

CAPITOLO - 5 105

Segnali a Potenza Finita 105

Cenni di teoria delle distribuzioni.

5.1 - .............................. 105

Esempi di distribuzioni.

5.2 - ............................................... 107

Distribuzioni regolari ............................................................ 107

Gradino unitario ..................................................................... 107

Delta di Dirac ......................................................................... 107

Pseudo funzione t -1 ................................................................ 108

Calcolo delle distribuzioni.

5.3 - .......................................... 109

Uguaglianza ........................................................................... 109

Somma .................................................................................... 109

Traslazione ............................................................................. 109

Derivata di una distribuzione ............................................... 110

Prodotto di una funzione per una distribuzione .................. 113

Distribuzioni a supporto limitato ......................................... 113

Convoluzione tra distribuzioni.

5.4 - ................................... 114

Formula di Poisson.......................................................

5.5 - 118

Trasformata di Fourier di una distribuzione.

5.6 - ............. 120

Teorema 5.1 ............................................................................... 121

Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto

5.7 -

limitato.................................................................................... 122

Trasformate di Fourier di distribuzioni notevoli.

5.8 - ....... 122

Trasformata di una costante ................................................. 122

Trasformata della delta di Dirac ........................................... 123

4 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Trasformata della delta di Dirac traslata .............................. 123

Antitrasformata della delta di Dirac traslata ........................ 123

Trasformate delle funzioni seno e coseno ............................ 123

Trasformata di un segnale periodico .................................... 123

Trasformata della funzione segno ........................................ 124

Trasformata del gradino unitario .......................................... 125

Proprietà delle trasformate delle distribuzioni.

5.9 - .......... 125

Linearità ................................................................................. 125

Trasformata della convoluzione ........................................... 125

Derivazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 126

Traslazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 127

CAPITOLO - 6 131

Trasformazioni Lineari dei Segnali 131

Definizioni. Proprietà generali.

6.1 - ................................... 131

Studio nel dominio del tempo......................................

6.2 - 133

Stabilità di un sistema lineare

6.3 - ...................................... 135

Risposta impulsiva di trasformazioni lineari prive di

6.4 -

memoria .................................................................................. 136

Studio nel dominio della frequenza.

6.5 - ............................ 136

Determinazione della risposta in frequenza di una

6.6 -

trasformazione LTI. ............................................................... 137

Trasmissione senza distorsione. Filtri ideali.

6.7 - ............. 141

CAPITOLO - 7 143

Caratterizzazione Energetica dei Segnali 143

Segnali a energia finita................................................................. 143

Densità spettrale di energia.

7.1 - ........................................ 143

Funzione di autocorrelazione.

7.2 - ..................................... 147

Teorema di Wiener-Khinchine.

7.3 - ................................... 150

Funzioni di mutua correlazione.

7.4 - ................................. 151

Segnali a potenza finita ............................................................... 153

Densità spettrale di potenza.

7.5 - ....................................... 153

Funzioni di correlazione.

7.6 - ............................................. 156

CAPITOLO - 8 161

Caratteristiche e Proprietà dei Segnali 161

Segnale analitico. Trasformata di Hilbert...................

8.1 - 161

5

Introduzione

Componenti del segnale a frequenze positive e negative.

8.2 -

................................................................................................. 165

Segnali a banda e durata rigorosamente limitata.

8.3 - ...... 166

Proprietà dei segnali a banda rigorosamente limitata.167

8.4 -

Segnali passabasso................................................................. 167

Segnali passabanda ................................................................ 168

Banda e durata convenzionali......................................

8.5 - 171

Banda e durata quadratica o efficace ........................................... 171

Banda e durata sulla base dell’energia .......................................... 172

CAPITOLO - 9 175

Il Campionamento dei Segnali 175

Il teorema del campionamento.

9.1 - ................................... 175

Il sottospazio dei segnali passabasso.

9.2 - ......................... 177

Campionamento naturale.............................................

9.3 - 180

Campionamento istantaneo.

9.4 - ........................................ 183

Errori di ricoprimento spettrale (aliasing).

9.5 - ................. 185

Campionamento ideale dei segnali passabanda.

9.6 - ....... 187

Ricostruzione del segnale passabanda.

9.7 - ...................... 193

Campionamento del secondo ordine.

9.8 - ......................... 194

Segnali passabasso. ..................................................................... 194

Segnali passabanda. ..................................................................... 196

CAPITOLO - 10 199

Segnali a tempo discreto 199

Segnali a tempo discreto. Energia e potenza specifica.

10.1 -

................................................................................................. 199

Segnali periodici.

10.2 - ........................................................ 200

La trasformata discreta di Fourier

10.3 - ............................. 202

Segnali a potenza finita.

10.4 - ............................................. 207

Proprietà della trasformata di Fourier di un segnale a

10.5 -

tempo discreto. ...................................................................... 209

Funzioni di correlazione e densità spettrali.

10.6 - ............ 211

- Segnali periodici. ................................................................. 211

- Segnali ad energia finita. ..................................................... 213

- Segnali a potenza finita. ...................................................... 215

CAPITOLO - 11 217

Trasformazioni lineari discrete 217

6 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Studio nel dominio del tempo

11.1 - ................................... 217

Studio nel dominio della frequenza

11.2 - .......................... 221

CAPITOLO - 12 225

Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier 225

Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di

12.1 -

un Segnale a tempo continuo ................................................ 225

Troncamento del segnale. Finestre temporali.

12.2 - ......... 230

La trasformata discreta di Fourier.

12.3 - ............................ 233

CAPITOLO - 13 239

Richiami di Teoria della Probabilità 239

Lo spazio dei risultati. Gli eventi.

13.1 - .............................. 239

Lo spazio di probabilità.

13.2 - ............................................ 242

Probabilità condizionate - Formula di Bayes - Teorema

13.3 -

delle probabilità composte. ................................................... 245

CAPITOLO - 14 251

Variabili Aleatorie 251

Variabili aleatorie.

14.1 - ...................................................... 251

Funzione di distribuzione di probabilità.

14.2 - ................. 252

- intervallo semiaperto a sinistra ........................................... 252

- semiretta d’origine destra aperta ........................................ 253

- intervallo chiuso ................................................................... 253

- punto isolato ........................................................................ 253

- intervallo aperto ................................................................... 254

- intervallo semiaperto a destra ............................................. 254

Proprietà della distribuzione di probabilità.

14.3 - ............. 254

- valori limite .......................................................................... 254

- monotonia e limitatezza ...................................................... 255

- continuità a destra ............................................................... 255

- limiti da sinistra ................................................................... 256

- numero di discontinuità ...................................................... 256

Densità di probabilità di una variabile aleatoria

14.4 -

continua. ................................................................................. 258

Densità di probabilità di una variabile aleatoria discreta.

14.5 -

................................................................................................. 259

Variabili aleatorie bidimensionali. Funzioni di

14.6 -

probabilità congiunte. ........................................................... 260

7

Introduzione

Funzioni di probabilità condizionate.

14.7 - ....................... 264

Funzioni di probabilità d’ordine superiore.

14.8 - .............. 265

CAPITOLO - 15 267

Funzioni di variabili aleatorie 267

Funzioni di una variabile aleatoria.

15.1 - ........................... 267

CAPITOLO - 16 273

Medie Statistiche 273

Valore medio di funzioni di variabili aleatorie.

16.1 - ........ 273

Momenti.

16.2 - ..................................................................... 274

Teorema della media.

16.3 - ................................................. 280

Funzione caratteristica.

16.4 - .............................................. 281

CAPITOLO - 17 286

Variabili Aleatorie Notevoli 286

Premessa.

17.1 - .................................................................... 286

Distribuzione uniforme.

17.2 - ............................................. 286

Distribuzione esponenziale.

17.3 - ...................................... 287

Distribuzione di Laplace............................................

17.4 - 288

Distribuzione normale o gaussiana.

17.5 - .......................... 288

Distribuzione di Rayleigh.

17.6 - ......................................... 293

Distribuzione di Bernoulli.

17.7 - ........................................ 294

Distribuzione binomiale.

17.8 - ........................................... 294

Distribuzione di Poisson.

17.9 - ........................................... 296

Esempio 17.3 .......................................................................... 297

CAPITOLO - 18 300

Caratterizzazione Statistica dei Segnali 300

Segnale aleatorio. Funzioni di probabilità del primo

18.1 -

ordine. ..................................................................................... 300