Lezioni di Teoria dei segnali - Teoria ed esercizi svolti

S G

EGNALI AUSSIANI

Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane.

20.1 -

Sia dato un vettore di variabili aleatorie

= [ , , … , ]

1 2

definite su di uno stesso esperimento casuale. Le variabili

si dicono congiuntamente gaussiane se la loro densità di

, , … ,

1 2

probabilità congiunta è del tipo:

1

− ( − , − ,…, − )

( , , … ) = 1 1 2 2

2 (20.1.1)

1 2

dove è una forma quadratica definita positiva:

( )(

= ∑ ∑ − − ); =

(20.1.2)

=1 =1

un’opportuna costante di normalizzazione ed co-

, , …

1 2

stanti reali.

Ponendo:

[ … [ …

= ] ; = ]

1 2 1 2 (20.1.3)

e introducendo la matrice :

12

…

11 12 1

…

21 22 2

−1

=[ ]

… … … … (20.1.4)

…

1 2

la densità di probabilità (20.1.1) può ulteriormente scriversi:

1 −1

− (−) (−)

() = 2 (20.1.5)

Funzione caratteristica di variabili aleatorie con-

20.2 - giuntamente gaussiane.

La funzione caratteristica associata al vettore aleatorio

è definita come segue:

= − ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

(−)

() = = (20.2.1)

dove:

12 Si noti che la forma quadratica è definita positiva quindi la matrice dei coefficienti ad es-

sa associata è certamente non singolare.

338 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

−

1 1 1

−

2 2 2

= [ ]; =[ ]

… … (20.2.2)

−

Tenuto conto dell'espressione della densità di probabilità (20.1.5), la

(20.2.1) si può ancora scrivere:

()

1 1

−1 −1

(−)− (−) (−) − (20.2.3)

= ∫ = ∫

2 2

Sia una matrice ortonormale che diagonalizza la matrice ,

cioè tale che si abbia: ]

= , , … ,

diag[

1 2 (20.2.4)

essendo: 0 … 0

1

0 … 0

2

diag[ , , … , ] = [ ]

1 2 (20.2.5)

… … … …

0 0 …

i cui elementi, come è noto, sono gli autovalori della matrice .

Dalla (20.2.4) discende facilmente:

1 1 1

−1

= [ , ,…, ]

diag (20.2.6)

1 2

Se nell'integrale all'ultimo membro della (20.2.3) si effettua la seguen-

te trasformazione di variabili: −1

= = (20.2.7)

cui, in virtù della ortonormalità della matrice , corrisponde un de-

terminante Jacobiano di modulo unitario. Si ottiene:

1

−1

−

() = ∫

2

(20.2.8)

Ponendo inoltre: = (20.2.9)

Tramite la (20.2.4), si ottiene ancora:

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani - 339

1 1 1

1

, ,…,

diag

− ( )

1 2

() ∫ 2

=

2 (20.2.10)

2

∞

∑ ( − )

−

=1

2

∫

= = ∏ ∫

2

−∞

=1

L’integrale ad argomento della produttoria è riconducibile all’integra-

le noto: ∞ 2

2 −

β−α √

∫ = 4 (20.2.11)

−∞

Con anche complesso purché con parte reale strettamente positiva.

1

e

ponendo in ogni fattore della produttoria nella (20.2.10),

= β = α

2

otteniamo:

∞ 2

1

2

−

−

()

= ∏ ∫ = ∏

√2

2 2

(20.2.12)

−∞

=1 =1

Calcolando la produttoria all'ultimo membro della precedente

si ottiene per la funzione caratteristica associata alle variabili aleato-

rie l'espressione:

= − 2

1

−

() = () = ((2) ||) ∏

2 2

=1

1 1 (20.2.13)

2 , ,…,

[ ]

∑ diag

− −

1 2

= √(2) || = √(2) ||

=1

2 2

1 1

, ,…,

[ ]

diag

− −

1 2

= √(2) || = √(2) ||

2 2

dalla quale imponendo la condizione di normalizzazione , si

() = 1

ottiene per la costante il valore

1

= (20.2.14)

||

√(2)

che sostituito nella (20.2.13) consente finalmente di scrivere:

1

−

() = 2 (20.2.15)

Sostituendo il valore appena ottenuto per la costante nel-

l’espressione della densità di probabilità (20.1.5) di un vettore di va-

riabili aleatorie congiuntamente gaussiane si ottiene:

1 1 −1

− (−) (−)

() = 2

(20.2.16)

||

√(2)

340 Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che è univocamente determinata noti che siano la matrice e il vet-

tore .

Densità di probabilità di ordine inferiore.

20.3 -

Nota la funzione caratteristica associata ad variabili aleatorie

è in generale possibile dedurre le funzioni caratteristiche relative ad

un qualunque sottoinsieme di esse. A tal fine si consideri un vettore

in del tipo , cioé caratterizzato

̂

ℝ = [ , … , 0, , … , ]

1 −1 +1

dall'avere la -esima componente pari a zero. Un vettore del tipo an-

zidetto può essere ottenuto da un generico vettore appartenente a

−1 premoltiplicando quest'ultimo per una matrice d’ordine

ℝ

ottenuta inserendo nella matrice unitaria di ordine

× ( − 1) − 1

una riga nulla nella -esima posizione. Se si valuta la funzione caratte-

ristica in corrispondenza di si ottiene:

̂

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

( )

̂

( ) = ( ) = =

(20.3.1)

Si osservi che in virtù della definizione data per la matrice ,

è un vet-

= = [ = , … , = , = , … = ]

1 1 −1 −1 +1 −1

tore a dimensioni, ottenuto eliminando la componente -esima

− 1

di . In modo analogo s’individua il vettore di variabili aleatorie

In termini dei vettori appena definiti si ottiene:

= . ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅

̂

( ) = = = ∫ ()

ℝ

∞

(20.3.2)

= ∫ (∫ () ) = ∫ ()

−∞

−1 −1

ℝ ℝ

= ()

che rappresenta la funzione caratteristica delle variabili aleato-

− 1

rie .

, … , , , … ,

1 −1 +1

La (20.3.2) consente di affermare che, nota la funzione carat-

teristica associata a variabili aleatorie definite su di uno stesso espe-

rimento casuale, è possibile ottenere quella associata ad un qualun-

que sottoinsieme di esse. Essa si ottiene ponendo, nella funzione ori-

ginaria, uguali a zero le componenti del vettore corrispondenti alle

variabili che non appartengono al sottoinsieme di interesse.

Ponendo nella (20.2.15), tenuto conto della (20.3.2)si

=

ottiene: CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani - 341

1 1 1

̂

̂ ̂

− − −

̂

() = ( ) = = =

2 2 2 (20.3.3)

̂

dove è la matrice che si ottiene da cancellando la riga e

≜

̂

la colonna -esima. è pertanto una matrice definita positiva.

Ponendo nella (20.3.3) , e , si ot-

= = =

tiene la densità di probabilità:

1

1 −1

̂

− ( (−)) (−)

( ) =

2

|̂

−1

√(2) |

1 (20.3.4)

1 −1

̂

− (− ) −

= = ()

2

|