Lezioni: Appunti di Geometria e Algebra

INSIEMI

ϵ

a A appartiene

N => Numeri naturali (Interi Positivi escluso lo 0)

N => Numeri naturali (Interi Positivi incluso lo 0)

0

Z => Numeri Interi

Q => Numeri Razionali

R => Numeri Reali

C => Numeri Complessi

!

Definizione

Siano A e B insiemi. Si dice che A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche

elemento di B.

ᴄ ᴄ

A B A B

! sottoinsieme non è sottoinsieme o incluso

o

! incluso

Esempi:

! ᴄ ᴄ ᴄ ᴄ

{1,2,3} N {1,2,3} {1,2,3} N Z N N 0

ᴄ ᴄ

{2,4} {2,5} N N

0

!

Definizione

Siano A e B insiemi. Si dice che A è uguale a B se A ha esattamente gli stessi elementi di

B.

A=B, A=B

ᴄ ᴄ

A B <==> A B, A=B

! inclusione stretta

Osservazione ᴄ ᴄ

Siano A e B insiemi. L’affermazione “A=B” è equivalente ad “A B” e “B A”.

!

Esempi:

{2,3}={x|xϵZ, x -5x+6=0}

2

! tale che

{1,2,3}={1,3,2}={1,3,3,2}

!

!

!

!

Definizione A B

Siano A e B insiemi. Definiamo gli insiemi:

∩

1) A B={x|x∈A x∈B} intersezione di A e B

∧

! intersezione

unione

∪

2) A B={x|x∈A x∈B} unione di A e B A B

∨

!

!

!

! meno

3) A\B={x|x∈A x∉B} differenza di B in A A B

∧

!

!

!

!

Se B è contenuto A, l’insieme A\B è detto complementare di B in A.

B

c

A

! B

!

!

!

Singoletto: Insieme con un solo elemento.

!

Esempi:

A={1,2,3} B={1,2,5}

A∩B={2} A∪B={2,1,3,5} A\B={3}

!

Definizione

L’unico insieme privo di elementi è detto insieme vuoto ed è denotato col simbolo “∅”.

Due insiemi A e B si dicono disgiunti se A∩B=∅.

!

Esempi:

{2,3}∩{1,5}=∅ N\Z=∅ {x|x∈R, x +1=0}

2

!

!

!

!

!

!

!

!

!

Definizione

Sia A un insieme. L’insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di A si dice insieme delle

parti di A e si denota col simbolo p(A).

!

p(A)={x|x⊆A}

!

Esempio:

A={1,2,3} p(A)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A}

|A|=n |p(A)|=2 n

!

! cardinalità=numero di elementi nell’insieme

Definizione

Siano A e B insiemi. Definiamo prodotto cartesiano di A e B l’insieme:

AxB={(a,b)|a∈A,b∈B}

!

Gli elementi di AxB si dicono coppie ordinate. Se (a,b)∈AxB a si dice prima coordinata e

b seconda coordinata.

!

Due coppie ordinate (a ,b ) e (a ,b ) si dicono UGUALI se e solo se a =a e b =b

1 1 2 2 1 2 1 2.

!

Esempio:

A={a,b} B={1,2,3}

AxB={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

!

Definizione

Siano A ,A ,…,A insiemi. Definiamo prodotto cartesiano di A ,A ,…,A l’insieme:

1 2 n 1 2 n

A xA x…xA ={(a ,a ,…,a )|a , a ,…,a }

∈A ∈A ∈A

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n

!

Gli elementi di A ,A ,…,A si dicono n-ple. Due n-ple (a ,a ,…,a ) e (b ,b ,…,b ) si dicono

1 2 n 1 2 n 1 2 n

uguali se a =b per ogni i=1,2,…,n.

i i

!

Se A è un insieme scriveremo

A =AxAx…xA

n

!

Definizione

Siano A e B insiemi. Una relazione R tra A e B è qualsiasi sottoinsieme di AxB.

A R B

!

!

!

a b

!

!

Se (a,b)∈R scriveremo anche che aRb e diremo che “a è in relazione R con B”.

!

!

!

!

Definizione

Siano A e B insiemi. Una relazione R tra A e B si dice una funzione se:

|

∀ a∈A b∈B

∃

! per ogni esiste un unico

In tal caso l’insieme di partenza (A) si dice dominio della funzione R, l’insieme di B

condominio di R e per ogni a∈A, l’unico b∈B tale che aRb si dice l’immagine di a tramite

R e si denota con R(a).

!

Esempi:

1) R={(a,b)|a,b∈Z, k=Z t.c. b=k } ZxZ non è una funzione

∃ ⊆

a a∈Z

2) R={(a,b)|a,b∈Z t.c. b=2a} ZxZ

⊆ aRb

aRb, aRb’=>b=2a=b’

!

R è una funzione

R: A→B

a⟼2a

!

Definizione

Siano A e B insiemi. Una funzione f:A→B si dice iniettavi se:

=> f(a)≠f(a’)

∀a,a’∈A:a≠a’

f è iniettiva <==> : f(a)=f(a’) => a=a’

∀a,a’∈A

Esempi: A B

f:Z→Z Iniettiva • •

a⟼2a • • •

• •

f:R→R Non Iniettiva

x⟼x

2

Definizione

Una funzione f:A→B si dice suriettiva se: A B

t.c. b=f(a)

∀b∈B∃a∈A • •

+∞ •

f: R→[0, [ • •

• •

x→x

2

!

Su una funzione f è sia iniettavi che suriettiva essa si dice biettiva.

Due insieme A e B si dicono equipollenti se esiste una una funzione obiettiva f: A→B

!

!

!

!

!

!

!

!

!

Definizione

Siano A e B insiemi. f:A→B una funzione e S⊆A.

Definiamo immagine di S tramite f

f(s)={b|b∈B, s∈S t.c. f(s)=b}

∃

! A f B

!

!

! S f(s)

!

!

!

!

Sia T⊆B. Definiamo anti-immagine di T tramite f

f (T)={a|a∈A,f(a)∈T}

−

! f B

A

!

! T

! f(T)

!

!

!

Definizione

Siano A,B e C insiemi. f:A→B e g:B→C funzioni. Definiamo funzione composta di g con f

la funzione

g◦f→C a⟼g(f(a))

! A B C

! •

! g(f(a))

! f(a)

!

!

!

Ora se f:A➞B è una funzione si può definire

f ={(f(a),a)|a∈A} BxA relazione inversa di f

− ⊆ B

Esempio: A

f:{1,2}→{1,3} f={(1,1),(2,1)}

1 1

• •

1⟼1 f ={(1,1),(1,2)}

−

3

2

2⟼1 •

•

!