Lezioni: Appunti di Geometria e Algebra

Appunti di geometria e algebra

Prof. Salvatore Siciliano - Università del Salento - A.A. 2014/2015

Insiemi

A appartiene: N => Numeri naturali (Interi Positivi escluso lo 0) N₀ => Numeri naturali (Interi Positivi incluso lo 0) Z => Numeri Interi Q => Numeri Razionali R => Numeri Reali C => Numeri Complessi

Definizione di sottoinsieme

Siano A e B insiemi. Si dice che A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche elemento di B.

A ⊆ B (A è sottoinsieme di B) A ⊈ B (A non è sottoinsieme di B)

Esempi di sottoinsiemi

• {1,2,3} ⊆ N
• {1,2,3} ⊆ Z
• {2,4} ⊈ {2,5}

Definizione di insiemi uguali

Siano A e B insiemi. Si dice che A è uguale a B se A ha esattamente gli stessi elementi di B.

A = B ⇔ A ⊆ B e B ⊆ A

Osservazione sull'uguaglianza

L'affermazione "A = B" è equivalente a "A ⊆ B" e "B ⊆ A".

Esempi di uguaglianza

• {2,3} = {x | x ∈ Z, x² - 5x + 6 = 0}
• {1,2,3} = {1,3,2} = {1,3,3,2}

Operazioni tra insiemi

Intersezione: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Unione: A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

Complemento: A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Esempi di operazioni

• A = {1,2,3} B = {1,2,5}
• A ∩ B = {2}
• A ∪ B = {1,2,3,5}
• A \ B = {3}

Definizione di insieme vuoto e disgiunti

L'unico insieme privo di elementi è detto insieme vuoto ed è denotato col simbolo "∅". Due insiemi A e B si dicono disgiunti se A ∩ B = ∅.

Esempi di insieme vuoto e disgiunti

• {2,3} ∩ {1,5} = ∅

Insieme delle parti

Sia A un insieme. L'insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di A si dice insieme delle parti di A e si denota col simbolo p(A).

Esempio di insieme delle parti

A = {1,2,3} p(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A} |A| = n |p(A)| = 2ⁿ

Prodotto cartesiano

Siano A e B insiemi. Definiamo prodotto cartesiano di A e B l'insieme: A × B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}

Gli elementi di A × B si dicono coppie ordinate. Se (a,b) ∈ A × B, a si dice prima coordinata e b seconda coordinata.