Lezioni, Algebra due

Algebra II

Romagnoli Rosigerio

Libro di testo: Piacquaddi - Carrone - Algebra

9 crediti

• Formalismo: metodo che l'algebra usa
• Applicativo: l'algebra perciò con "piedi perterra" e dopo ne salto esso (infatti richiama al concreto)

= Quando si definisce un concetto astratto dietro c'è sempre un esempio concreto

Strutture Algebriche

(avvero, insiemi con operazioni)

= principalmente insiemi, gruppi e campi

Definiamo se ci esse certe proprietà: commutatività associatività

Operazioni

• commutative: se l'operazione è addizione o moltiplicazione tra numeri
• non commutative: se l'operazione è composizione di funzioni (ad esempio operazioni tra matrici)

= Studiamo gli omomorfismi (operazioni tra strutture algebraiche dello stesso tipo che rispettano le operazioni); in particolare, questi sono gli isomorfismi (omomorfismi biettivi)

• (1) Studiamo le sottostrutture ovvero sottoinsiemi di questo insieme che mantengono le stesse operazioni dell'insieme di partenza

Quoziente: quando struttura, anello, algebra le sottostrutture sono subanelli, si possono del quoziente si parla di ideali

Esempi:

• Anelli ai polinomi: il rapporto caratteristico e la divisione ha il resto

(1) Se avere (A, ⊕) è un gruppo abeliano, l’operazione associativa (i) associativa (ii) identità (0 elemento neutro) (iii) tale anomalia simmetrica (commutativa)

- Se oltre è l’identità moltiplicativa devo indichiamo con A,

- Se il prodotto è commutativo allora A si dice anello commutativo.

(commutatività x del calcolatore: permuto più prodotto a piacere se posso permutare in un intro dato da un gruppo ev isto che b = indicato supplemento tra punto e punto cosi si torna)

ESEMPIO: ℤ, ℚ, ℝ, ℂ sono anelli commutativi con identità.

ℤ7 è ancora commutativo con la identità.

Se R un anello (gabbiani) e Y un insieme consideriamo insieme ai funzioni R_Y :

f : Y → R (con generica xxnle) questione y

∀ f, g ∈ R_Y (f + g)(y) = f(y) + g(y) (f · g)(y) = f(y) · g(y)

Numero ai moltiplicati Y → ℘(Y) = ℕY qui soluzione z ai Y e lavoriamo unicamente la lo xo funzionale

caratteristica X_z : Y → {0, 1} monda in 0 x y ≠ z e in 1 se y ∈ ℤ.

P(Y) = λf : Y → {0, 1} λf = λo, λY

Vogliamo verificare che R_Y è un anello:

a) La somma puntuale è associativa

∀ f, g, h ∈ R_Y (f + g) + h = f + (g + h)?

∀ y ∈ Y((f + g) + h)(y) = (f + g)(y) + h(y) = (f(y) + g(y)) + h(y)

= f(y) + (g(y) +h(y)) = f(y) + (g+h)(y) = (f + (g + h))(y)

b) ∀ op e(xiste elemento x zu R):

F : Y → R

y →_R

funzione un insieme Y in verso R

(f₀ + z₀) : Y → R

(f₀ + z₀)(y) = f₀(y) + z(y) = y = z(y)

Secondo modo lo faccia annunciare la proprietà commutativa della soma devo ancara annunciare che z = f₀ = f₀

Se e ∈ (g₁ x ⋆) le insieme identità ∀ s ∈ g e ⋆ s = si = s

(nel caso di un non commutativo e⋆ s →

⋆ s = s→ s = e ⋆ s)

(N) 0_A è moltiplicatore ass. f_A è la funzione costante nulla

DIM

(N) ∀ a ∈ A proviamo che a · 0_A = 0_A e 0_A · a = 0_A (analogo) a · 0_A = a (0_A + 0_A) ↧ a · 0_A + a · 0_A 0_A è identità additiva ↥ distributiva

Se cioè esiste l'opposto ai a · 0_A ⇒ chiamiamolo b 0_A = a · 0_A + b = (a · 0_A + a · 0_A)+ b = a · 0_A + a · 0_A + b = a · 0_A + 0_A = a · 0_A ◼

(ii) ⇒ Supponiamo che ∃ y ≠ 0_A tale che xy = 0_A ed anche che ∀u ∈ A ↕ ∀v x= 0_A Allora: u : x · y = u : (x · y) = u : 0_A = 0_A una serie u : x · y = (u : x) · y = 0_A : y = y ⇒ 0_A = y ◼

(iii) Sia x ∈ A un elemento che non è zero-divisore f_x: A → A a ↦ a x Proviamo che è iniettiva Sono b, c ∈ A tali che f_x(b) = f_x(c) ossia che bx = cx Usando la proprietà (ii) possiamo cancellare x ottenendo b = c ◼

TEOREMA Se A è un anello commutativo (non sappiamo che abbia identità) con |A| = m ∞ Supponiamo che in A non ci sono zero divisori + 0_A Allora è un campo

DIM

Osserviamo che ∀ x ∈ A, x ≠ 0_A la funzione f_x è iniettiva (già dim) e dunque per il principio dei Casseli è suriettiva

A₀₀ b₀+ ... Cj = a₀b₀ + q₀b₁ + ...

* La definizione mi funziona allo stesso modo con polinomi, non con serie.

* Si ritrova IR allora caliamo così succedev in R[IXI e R[

Abbiamo R[X] = e R[

TEOREMA: Se R è un anello commutativo con IR se R è un intero

allora R[X] e R[UX] sono domaini.

DIM: Sia F, G e R(X) tale che F = 0, R(X), e G = 0, R(X).

Proviamo che F · G = 0, R(X).

Sia n(il) massimo i EN tale che qj ≠ 0, R

Se i est massimo i EN tale che bi ≠ 0, R

Cns = q₀b₀t+s + a₁b₀t+s + ... + q₀b₀ + qns + qns b₀

Se i + 0 => Cn+s = C₃ = q₀b₀ ≠ 0, R, perché R è un dominio

ego≠q₃ ≠ 0, R

Cns = q₀b₀t+s + qn¢b₀t + ... +qns b₀ = b₀g₀q₀t, 0, R

=0 candidati e quindi zero ⇒ anello e

se linibile e un

* Se (R, ·) é un anello corta S e R uno sottoanone

S si dice sottanello di R se S e il nollo con le operazioni di R.

CRITERI: S è un sottanello se: e solo se S è "chiwoe" rispetto alle operazioni di R

essenzie A, b e S A + b e S e a

Car (S, +) ∈ un sugruppo a (R, +)

Se f: A → B è un omomorfismo di anelli, si dice nucleo di f ker f = f^-1(0_B).

PROPOSIZIONE

A anello, I ⊆ A allora:

I è un ideale di A ⇔ ∃ f: A → B omomorfismo di anelli tale che ker(f) = I

DIM

Proviamo che ker(f) è un ideale.

∀x,y ∈ ker(f) proviamo x - y ∈ ker f

f(x) = 0_B e f(y) = 0_B deduciamo f(x-y) = f(x) + f(-y) = f(x) - f(y) =

= 0_B - 0_B = 0_B

∴ ∀ a ∈ A, x ∈ ker(f), &exists; aux x a ∈ ker f

f(ax) = f(a)f(x) = f(a)0_B = 0_B

f(xa) = f(x)f(a) = 0_Bf(a) = 0_B

Dato un ideale I vogliamo costruire f: A → B tale che ker(f) = I

B è isogeno in costruzione "B" con la costrizione

Relazioni di equivalenza in un insieme

Ricordo che una relazione r in un insieme X (cioè formalmente è un sottoinsieme di X × X) si dice una relazione di equivalenza se soddisfa

• RIFLESSIVA    ∀ x ∈ X x r x
• SIMMETRICA    ∀x,y ∈ X x r y ⇔ y r x
• TRANSITIVA    ∀x,y,z ∈ X x r y e y r z ⇔ x r z

Se r è una relazione di equivalenza in X allora posso partitionare X in

X = ⋃ C_x, C_x ≠ ∅ ∀x ∈ X, C_x = C_y ⇔ C_x ∩ C_y = ∅

C_x = { y ∈ X | x r y } (classe di equivalenza)

L'insieme i cui elementi sono i sottinsieme C_x si dice quoziente di X, modulo la relazione r ed è denotato X/r

C_x = [X] = [X]