Lezioni, Algebra due

Algebra II

Romagnoli Ruggero

Libro di testo: Prossimo - Carrone - Algebra

9 crediti

Formalismo

Formalismo = metodo che l'algebra usa

Applicativo = algebra però con i "piedi per terra" e dopo il salto in astratto ritorna al concreto => quando definisce un concetto astratto, dietro c'è sempre un esempio concreto.

Strutture algebriche

(avere insiemi con operazioni) => parliamo di insiemi, gruppi e campi.

Definiamo se ci esse certe proprietà: commutatività, associatività.

Operatori

Commutative: se parliamo di addizione e moltiplicazione di numeri.

Non commutative: se parliamo e facciamo caso ai funzionali (ad esempio operazioni tra matrici).

=> vogliamo studiare gli omomorfismi (operazioni tra strutture algebriche dello stesso tipo che rispettano le operazioni); essenzialmente questi qui sono gli isomorfismi (omomorfismi iniettivi).

Si vanno a studiare le sottostrutture, ovvero sottounione di questo insieme che mantengono le stesse gerarchie dell'insieme di partenza.

Quoziente e ideali

Quoziente: quando strutture aventi all'interno le sottostrutture sono sottanelli, se parliamo del quoziente si parla di ideali.

Esempi

• Anelli dei polinomi; numerare caratteristici e la divisione con il resto.

A = (A, +, •) è un gruppo abeliano:

• (i) associatività
• (ii) esistenza nato ∀a∈A a + (−a) = 0 (opposto)
• (iii) tale morfizza commutativa (commutatività).

Algebra II

Romogedi; Roggero

Libro di testo: Prossimo Conone - Algebra

9 crediti

Formalismo e applicativo

Formalismo = metodo che l'algebra usa

Applicativo = algebra prova con i "piedi per terra" e dopo le scava nel concetto astratto richiama del concreto. ⇒ Quando si definisce un concetto astratto dietro c'è sempre uno esempio concreto.

Strutture algebriche

(ovvero insiemi con operazioni) ⇒ parleremo di vettori, gruppi e campi.

Definiamo se di esse certe proprietà commutatività.

Operazioni

Commutative se parliamo inadequata aliazione o moltipicazione tra numeri.

Non commutative se parliamo della composizione dei funzioni (ad esempio operazioni tra matrici).

⇒ Vogliamo studiare gli omomorfismi (operazioni tra strutture algebriche dello stesso tipo che rispettano le operazioni); mutamamente in questi si parla di isomorfismi (omomorfismi iniettili).

Ci sono a struttura alle sottoinsiemi avvers sottoinsiemi di questo insieme che mantengono le stesse glenormali dell'insieme di partenza.

Quoziente e ideali

Quoziente quando strutture anavela algebre le sottostrutture sono sottanelli si possono del quoziente si parla di ideali.

Esempi

• (1) Anelli di politomi riavel currenciarie è la incisone con un resto.

Si dice un an nello un insieme dotato di 2 operatori + e ·:

• (i) (A, +) e (ii) (A, +) è un gruppo abellano þ associativa
• (ii) associativa (sequenza nato A (con))
• (iii) tale momeria diminutiva (commutatività).

Se inoltre esiste l'identità moltiplicativa cioè scriviamo con 1_A, allora (A, +, .) si dice anello con identità. Se il prodotto è commutativo, A si dice anello commutativo.

Annullatori R degli elementi secondo il loro prodotto a priori sono indipendenti l'uno dall'altro ma poi gruppo è ritratto delle istanza duplice zero puro.

Esempio: Z, Q, R, C sono anelli commutativi con identità, Z/2 Z è anello commutativo senza identità.

Se R un anello (governati) e Y un insieme con assiomi insieme ai funzionali R^Y; f, g : Y → R (in relazione similiare) con tensorialiparticolari in for oppitoa ∀ f,g ∈ R^Y (f + g)(y) = f(y) + g(y) (f . g)(y) = f(y) . g(y) (punto per punto).

Numero ai sottosmenari YP(Y) = 2⁢|Y| qui sottoinsieme Z di Y è individuato univocamente dall'altra funzione caratteristica {0; 1} su Z: Y = {0;1} is nova in 0 e y ∉ Z. e u P(Y) = λ⁢f; Y → λ₀,λ₁ yin = λ₀, f^NY.

Dimostrazione di un anello

Vogliamo dimostrare che si tratti di un anello.

Vogliamo verificare che R^Y è un anello.

• a) La somma puntuale è associativa ∀ f,g,h ∈ R^Y (f +g) + h = f + (g + h)?

∀ y ∈ Y ((f + g) + h)(y) = (f + g)(y) + h(y) = (f(y) + g(y)) + h(y) = f(y) + g(y) + h(y) = f(y) + (g + h)(y) = (f + (g + h))(y) = (f + (g+h))(y).

• b) 0 _{R ^Y} (esiste elemento neutro per +)

f: Y → R funzione unitaria Y in zero R ∀ g : Y → R calcolati f₀ + g :R^Y (f₀ + g)(y) = f₀(y) + g(y) = 0_R + g(y) = g(y).

Secondo eu di ancora annostrato propertyà commutativa delle singa desu ancora annostrato din g. Se un elemento un + = g.