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Prima parte
CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI
Si suddividono in DETERMINATI e CASUALI.
Nei primi è noto ogni parametro, con una espressione matematica, mentre quelli casuali non sono facilmente esprimibili.
Casuali sono ad esempio la voce, o gli impulsi biologici.
SEGNALI
- DETERMINATO
- CASUALE
TEMPO CONTINUO o DISCRETO
Il segnale a tempo continuo è una funzione del tempo, mentre quelli DISCRETI sono sequenze di valori, funzione di un indice "n".
Si può passare dal continuo al discreto con degli intervalli del segnale:
x[m] = x(mΔt)
ESEMPIO, segnale cardiaco:
Tc[m]
- Si distinguono ancora i segnali ad energia finita, periodici, e non periodici a potenza finita, sia per i segnali a tempo continuo o discreto, ma valgono solo per i processi determinati.
ESEMPIO:
x[m]
- y1[m] = 5x1[m]
- y2[m] = 5x2[m]
y[m] = 5x[m] = 5(a1x1[m] + a2x2[m]) = a15x1[m] + a25x2[m], linearità verificata.
TEMPO INVARIANZA:
È una proprietà caratteristica dei sistemi che studieremo. Iniziamo con un esempio di TEMPO VARIANTE:
Supponiamo di applicare un segnale al sistema in due giorni diversi, il segnale z[m] interno al sistema parte "prima" mentre noi applichiamo il segnale x[m] in RITARDO rispetto a z[m].
Nel grafico, x1[m] è ritardato di 1 passo.
La notazione usata per rappresentare la Delta è una freccia:
infatti nell'intorno di 0, S(t) "sale" ad ∞.
- x(t) = e-|t|/t₀
Quanto vale x(t)δ(t-τ)?
limT→0⁺ [x(t)δτ(t-τ)] = x(t)δτ(t-τ)
Il risultato del limite è spostato di τ, ed è il prodotto di due valori dei segnali istante per istante,
CAMPIONAMENTO
x(t)δ(t-τ) = x(T)δ(t-τ)
∫-∞∞ x(t)δ(t-τ)dt = x(τ)
RISULTATO FONDAMENTALE
Questo perché il rettangolo sotto integrale dà 1, quindi rimane solo il valore del
risolvere la convoluzione, è:
ωβ(t) = ej2πβt, quindi si ottiene:
ωβ(t) ∗ h(t) = ∫ l(τ) ωβ(t−τ) dτ = ∫ l(τ) ej2πβ(t−τ) dτ
= ej2πβt ∫ l(τ)e−j2πβτ dτ = ωβ(t)H(β)
Ag = H(β), trasformata di Fourier.
- Qui, H(β) è funzione di variabile reale dai valori complessi.
t(β): ℝ → ℂ , naturalmente la variabile f è la frequenza. È più potente di Laplace per analizzare segnali periodici.
Correlazione tra le trasformate:
H(β) = H(s) → s = j2πf , s = σ + 2πf
differiscono per la variabile,
Formule fondamentali
- x(t) δ(t-t0) = x(t0)δ(t-t0) formula di campionamento;
- ∫ δ(t) dt = 1
- x(t) ∗ h(t) = ∫ x(τ)h(t−τ) dτ = ∫ h(τ) x(t−τ) dτ
- H(β) = ∫ l(t) e−j2πβt dt
Possiamo scambiare gli elementi tra gli integrali:
di variabile: t - T = u, t = u + T:
y(β) = X(β)H(β)
Quindi la trasformata di Fourier dell'uscita è la trasformata di Fourier dell'entrata per la funzione di trasferimento.
- Ne discende il risultato: F{x(t)*ℓ(t)} = F{x(t)} F{ℓ(t)}
ALCUNE TRASFORMATE FONDAMENTALI
- F{δ(t)} = 1
- F{δ(t-t0)} = e-j2πβt0
Serve in un sistema del genere:
cioè restituisce la derivata
del segnale.
La funzione di trasferimento di un
derivatore è H(s)=s2πj.
Lo{dx(t)/dt} = sLo{x(t)} [relazione con Laplace]
INTEGRAZIONE
Stavolta il sistema integra:
y(t)=∫-∞t x(u)du
La risposta all’impulso qui si chiama
gradino unitario, R(t)={1 per t>0
0 altrove
La funzione di trasferimento sarà:
∫0∞e-32πjft dt=
1/32πjf=H(f)
Y(f)=X(f)H(f)=X(f)[1/32πjf]=
-X(0)δ(f)/2
Sistema Stabile
Un sistema LTI è stabile in senso BIBO (Bounded Input Bounded Output), se per ogni ingresso x(t) limitato in ampiezza (cioè tale per cui |x(t)| ≤ A < ∞), l'uscita y(t) è anch'essa sempre limitata in ampiezza, cioè |y(t)| ≤ B < ∞.
Esempio di sistema non BIBO, cioè un integratore.
ℒ(t) = u(t)
SEGNALI A ENERGIA FINITA
L'energia Ex del segnale x(t) è definita come: ∫-∞+∞|x(t)|2dt. Prendiamo il caso del resistore, la potenza istantanea è:
P(t) = i(t)V(t) = Ri2(t).
La potenza media è la media di P(t).
Se vogliamo l'energia assorbita dal resistore in un certo intervallo di t
è ∫-∞tP(t)dt, in un generico intervallo di tempo:
∫t0t1p(t)dt = R∫t0t1i2(t)dt. Notiamo che l'unica
differenza con la formula generica è il termine "R", ma se x(t) = √Ri(t), le due relazioni coincidono. Usando la relazione
matematica bisogna ricordare che c'è un termine (come R) che è un coefficiente
Rx() = ∫0+∞ x(t)x(t+))dt =
N.B. L'integrale è in t!
= ∫0+∞ e-(t+)e-t dt =
= ∫0+∞ e-2t() dt =
= I2e- (per un generico positivo)
Per negativo generico:
Rx() = ∫-∞ e-t()e-(t+) dt = ∫0∞ e-(u-)/ e-u du =
= I2 e-
Ora si fa l'unione dei due risultati.
- Calcolare la f. di autocorrelazione di:
x(t) = P1 (t - T2)
Rx() = ∫T-T x(t)x(t+) dt =
= ∫0T- x dt = T- (per 0 0
x(t)& > T
concentrato nelle basse frequenze)
3) la funzione di autocorrelazione varia lentamente.
- Banda larga variazioni veloci del segnale. Banda stretta variazioni lente.
FUNZIONE DI MUTUA CORRELAZIONE
z(t) = αx(t) + βy(t), α, β ∈ ℝ, x(t), y(t) ∈ ℝ
Rz(τ) = ∫ z(t)z(t+τ)dt = ∫ [αx(t) + βy(t)][αx(t+τ) + βy(t+τ)]dt = α2∫ x(t)x(t+τ)dt + β2∫ y(t)y(t+τ)dt + αβ∫ x(t)y(t+τ)dt + αβ ∫ y(t)x(t+τ)dt = α2Rx(τ) + β2Ry(τ) + αβ∫ x(t)y(t+τ)dt + αβ∫ y(t)x(t+τ)dt.
La funzione di mutua correlazione è:
Ryx(τ) = ∫ x(t)y(t+τ)dt , Rxy(τ) = ∫ y(t)x(t+τ)dt
SONO EQUIVALENTI, O UNA O L'ALTRA.
- In frequenza:
Z(δ) = αX(δ) + βY(δ), Sz(δ) = |Z(δ)|2 = Z(δ)Z*(δ) = [αX(δ) + βY(δ)][αX*(δ) + βY*(δ)] = α2|X(δ)|2 + β2|Y(δ)|2 + αβX(δ)Y*(δ) + αβX*(δ)Y(δ) = α2Sx(δ) + β2Sy(δ) + αβSzx(δ) + αβSyz(δ)
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