Lezioni, Analisi Matematica 1

Matematica teoria esame

Funzione = ∀ a ∈ A, ∃! b ∈ B: f(a) = b

• f(g) iniettiva se f(a) = f(g) ⇒ a = g
• f(g) suriettiva se ∀ y ∈ B, ∃ a ∈ A: f(a) = b

Codominio insieme dei valori assunti dal dominio codominio (F) = {f ∈ E: ∃ d ∈ E, a ∈ A b = f(o)}

Funzione inversa. Solo se f(g) è iniettiva o suriettiva x = f^-1 (y)

f. periodica 

Periodo T =         [f(x + T)] = [f(x)] formula calcolo del periodo sin[ωt]= sin[ω(x + T)] ωT = 2kπ

f. pari [f(-x) = f(-x)                  es y = x², y = lx| f dispari   [f(x) = -(f(-x)              es y = x⁵

F. elementari

• y = xⁿ
• y = a^x
• y = log_a(x)
• y = sin×
• y = cos×
• y = tan×

F. composte

 Z = G[f(x)] es. y = sin x²

limiti

lim_x→AF(x)=B per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che se 0<|x-A|≤δ allora |F(x)-B|≤ε

importante B-ε ≤ F(x) < B+ε A-δ ≤ x < A+δ

Il limite se esiste è unico Hp: il limite esiste tesi: è unico

dimostrazione per assurdo lim_x→a F(x)=B lim_x→a F(x)=C (B-ε;B+ε)∩(C+ε;C-ε)=∅

teorema del confronto Hp: |x-x_o|<h f(x)≥g(x)≥z e G(x)≥2 tesi: lim_x→xo h(x)=z

se |H(x)|≤G(x) e G(x)>0, allora H(x)→0

limiti notevoli lim_x→0 sin x/x=1 lim_x→0 1-cos x/x²=1/2 lim_x→0 (1+x)^1/x=e lim_x→0 (sen(4x))/(x)=4 lim_x→0 e^x-1/x=1 lim_x→0 (1+x)^q/x=α

dimostrazioni: lim_x→0 [1+x]^1/x=(1)^∞=e lim_x→0 ln(1+x)/x=0/0 lim_x→0 ln(1+x)^1/x=e il limite si può vedere anche come: ln(1+x)^1/x per proprietà dei logaritmi lim_x→0 ln(x+1)^1/x=1

L'_z = F[G(x)] L' = F'[G(x)]·G'(x)

lim_t→0 F[G(x+t) - F[G(x)] = lim_t→0 F[G(x+t) - F[G(x)]

lim_t→0 [(G(x+h)) - F[G(x)] - (G(x+t) - G(x)]

lim_h→0 F[G(x+h)] - F[G(x)] = lim_t→0 G(x+t) - G(x)

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lim_h→0 F[G(x+h)] - F[G(x)] = G'(x) F'[G(x)]·G'(x)

* Effettuato cambio di variabili G(x+t) = G(x+h)

Se t→0 allora G(x+t) = G(x) e avró h→0

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Secondo Leibniz, la derivata di z rispetto a x è

dz/dx = dz/dy · dy/dx

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Teorema di Lagrange

HP: f(x) continua in [a,b]

f(x) derivabile in (a,b)

TH: ∃ c compreso tra a e b tale che

f(b) - f(a) / b - a = f'(c)

il teorema afferma che c’è almeno una parallela alla secante

dimostrazione

la retta AB è un'equazione y_a + f(x)_a (x-a)

considerando la funzione w(x) = f(x) - f(x) + f(b) - f(a) / b-a x

w(c) = w(b) [sostituo c a luogo w(x) e ottengo come t

w è derivabile in (a,b) perché

w'(x) = f'(x) - f(b) - f(a) / b-a

la tesi del teorema equivale a dire: esiste c ∈ (a,b) tale che

essendo c continuo in [a,b] per il teorema di Weierstrass

essendo due punti x₁, x₂ in [a,b] tali che

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f(x₁) = massimo di f in [a,b] = M

f(x₂) = minimo di f in [a,b] = m.

Se M = m allora w(x) è costante e quindi w'(x) = 0, ∀x∈[a,b]

se M, m almeno uno dei due punti x₁ o x₂ non si trova agli estremi dell'intervallo, essendo w(c) = w(a) = w(b)

Il teorema di Fermat implica allora che nel punto di max o min, che risulta interno, la derivata di w si si annulla e il teorema è così dimostrato.

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Teorema di Rolle

HP: f(x) continua in [a,b]

f(x) derivabile in (a,b)

f(a)= f(c)= f(b)

TH: ∃ c compreso tra a e b tale che in c la derivata e’ uguale a 0

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dimostrazione

se f(x) è costante allora il teorema è vero

se f(x) non è costante, per il teorema di Weierstrass ammette max e min contene uno dei due punti è interno e supponiamo che il max sia in un punto c ∈ (a,b)

Δy/Δx = f(c) - f(c) / x = 0

Se h→0 allora Δy/0

Se h→0 allora dy/dx