Lezioni, Analisi matematica I

INSIEMI

Preso un qualunque elemento di un insieme bisogna poter affermare in modo univoco se esso appartiene all'insieme.

a ∈ A, a ∉ A → A ∋ a (A contiene a)

Ogni insieme ha il suo complementare (A^c, C_A) ∅⊆ A

B ⊆ A → B sottinsieme di A, ogni elemento di B ∈ A → A ⊇ B

OPERAZIONI TRA INSIEMI

A ∩ B (intersezione) = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } → (A ∩ B) ⊆ A , (A ∩ B) ⊆ B

A ∪ B (unione) = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }

Δ A B (differenza simmetrica) = A ∪ B - A ∩ B

A - B (differenza asimmetrica) = { x | x ∈ A, x ∉ B }

A × B (prodotto cartesiano) = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }

Φ = insieme vuoto; {insieme vuoto è sottinsieme di qualunque insieme = Φ ⊆ A}

PROPOSIZIONE: proprietà di un elemento che non deve essere ambigua

∀ x verifica P

∃ x che verifica P

QUANTIFICATORI LOGICI

FUNZIONI (UNIVOCO)

Una funzione è una trasformazione che ad un elemento di A (insieme di partenza) associa al piu' un elemento di B (insieme d'arrivo)

dom f = { x ∈ A che hanno corrispondente (per cui f(x) è nota) } ⊆ A

imm f = { f(x) ⊆ B , x ∈ dom f } ⊆ B

grafico f = { (x, y) | x ∈ dom f, y = f(x) } ≠ A × B

(x, y) ∈ grafico, (x, z) ∈ grafico ⇒ y = z le rette verticali tagliano il grafico in al piu' un punto.

Una funzione è il suo grafico.

Dato A ⊇ B, K ⊆ B si dice controimmagine di K.

f^-1{K} = { x ∈ A | f(x) ∈ K } ⊆ A

Data A ⊇ B ⊇ C si dice funzione composta.

(g ∘ f)(x) = g (f (x))

dom g ∘ f = { x ∈ dom f | f(x) ∈ dom g }

INSIEMI

Per ogni qualche elemento di un insieme bisogna poter affermare in modo deciso e univoco appartiene all'insieme:

o ∈ A , o ∉ A ⇔ A ∋ a (A contiene a)

Ogni insieme è il suo complementare (A, A^c, C_A) {o} ⊆ A

B &sub A ⇔ B sottoinsieme di A, ogni elemento di B ∈ A ⇔ A ∩ B

OPERAZIONI TRA INSIEMI

• A ∩ B (intersezione) = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } ⇔ (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B
• A ∪ B (unione) = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
• Δ A B (differenza simmetrica) = A ∪ B - A ∩ B
• A − B (differenza asimmetrica) = { x | x ∈ A, x ∉ B }
• A × B (prodotto cartesiano) = { (a,b) | a ∈ A, b ∈ B } ⇔ gli elementi dell'insieme sono coppie ordinate

Φ insieme vuoto: ∈-insieme vuoto è sottoinsiemi di qualunque insieme ⇔ Φ ⊆ A

PROPOSIZIONE

proprietà di un elemento che non deve essere ambigua

∀ x verifica P (quantificatori logici)

∃ x che verifica P

FUNZIONI (UNIVOCE)

Una funzione è una trasformazione che ad un elemento di A (insieme di partenza) associa al più un elemento di B (insieme di arrivo)

dom f = { x ∈ A che hanno corrispondente (per cui a e f sono note) } ⊆ A

imm f = { f(x), x ∈ dom f } ⊆ B

grafico f = { (x,y), x ∈ dom f } ⊆ A × B

(x,y) ∈ grafico, (x,z) ∈ grafico ⇔ y = z le rette verticali tagliano il grafico in al più un punto.

Una funzione è il suo grafico.

Data A → f → B, K ⊆ B si dice controimmagine di K.

f^-1({x}) = { x | x ∈ dom f, f(x) ∈ K } ⊆ A

Data A → f → B → g → C si dice funzione composta.

(g • f)(x) = g (f(x))

dom g • f = { x ∈ dom f | f(x) ∈ dom g }

Data A ⊆ B

f : A₀ ⊆ A, dom f = A₀, n dom g

∀x ∈ dom f ⇒ f(x) = g(x)

f si dice estensione di g in A₀ (f = g|A₀)

Le estensione di una funzione in un dato intervallo è unica

Assegnate f su A₀, A₀ ⊆ A₀

g si dice estensione di f ad A su g(x) = f(x) ∀x ∈ dom f

L'estensione di una funzione non è mai unica tranne nel caso in cui non è possibile ad un numero si associa un unico valore

Una funzione si dice suriettiva se imm f = B

Una funzione si dice inversibile se ∀K ⊆ G imm f = f⁻¹(x) è vuoto o contiene un solo elemento

Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva si dice bionivoca (o biiettiva)

Se una funzione è iniettiva ha sempre associata una funzione inversa f⁻¹:

grafico f⁻¹ = { (x, f(x)), x ∈ dom f {

prefiso f⁻¹ = { (f(x), f⁻¹(f(x), f(x)) ∈ dom f⁻¹ }

Se di grafico di f⁻¹ è simmetrico di f rispetto all'asse bisettrice y = x

Si dice intorno di x₀ in un intervallo aperto contenente x₀.

A è