Lezioni, Analisi matematica II

ANALISI 2

Calcolo limiti in coord. polari.

sia f: ℝ² → ℝⁿ e x̅₀ = (x₀, y₀) punto di accumulazione

lim _x→x̅₀ f(x̅) = ℓ ⇔ ∀ε ∃δ : |f(x̅) - ℓ| < ε∀x̅ ∈ B_δ(x̅₀) \ {x₀}

In coord. polari, x̅₀ = {x₀ + ρ cos θ, y₀ + ρ sin θ} e x̅ ∈ B_δ(x̅₀) ⇔ 0 < ρ < δ

⇒ |f(x₀ + ρ cos θ, y₀ + ρ sin θ) - ℓ| < ε ⇔ ρ ∈ (0,δ) e θ ∈ [0,2π]

ma la scelta di δ non dipende da θ quindi la disequazione vale ancora se prendo inf rispetto a θ

sup _θ∈[0,2π] |f(x₀ + ρ cos θ, y₀ + ρ sin θ) - ℓ| < ε∀ρ ∈ (0,δ)

⇒ ma questa è la def di limite per ρ → 0⁺

Def:

Una funzione f si dice differenziabile in x₀ ∈ X (aperto) ⊆ ℝ^M se∃α ∈ ℝ^M tale che

f(x̅) = f(x̅₀) + < α, x̅ - x̅₀ > + o(||x̅ - x̅₀||)

Teorema: proprietà differenziabilità

Sia f : X → ℝ (X ∈ ℝ^m aperto), se f è diff. in x̅₀

1. f è continua in x₀
2. esistono e derivete parziali in x₀ e α = ∇f(x̅₀)f(x̅) = f(x̅₀) + < ∇f(x̅₀), x̅ - x̅₀ > + o(||x̅ - x̅₀||)
3. ∀ vettore v esiste D_vf(x) e vale la formulaD_vf(x) = < ∇f(x̅), v >

Analisi 2

• Calcolo limiti in coord. polari.

sia f:ℝ²→ℝⁿ e ̅x₀ = (x₀,y₀) punto di accumulazione(per semplicità i punti appartenenti a un intorno U/{x₀} ∈ X)

lim_̅x→̅x0 f(̅x)=ε ↔ ∀ ε > 0 ∀ ∃ δ > 0: |f(̅x)-ε|<ε ∀̅x ∈ B_δ(̅x₀)\{x₀\}

In coord. polari. ̅x₀ = { x₀ + ρ cosθ, y₀ + ρ sinθ }e ̅x∈ B_δ(̅x₀) ↔ 0<ρ<δ

↔ |f(x₀+ρcosθ,y₀+ρsinθ)-ε|<ε ↔ ρ∈(0,δ) e θ∈[0,2π]

ma la scelta di δ non dipende da θquindi la disuguaglianza vale ancora se prendo il sup rispetto a θ

sup_θ∈[0,2π] |f(x₀+ρcosθ,y₀+ρsinθ)-ε|<ε          ∀ρ∈(0,δ)

↔ ma questa è la def di limite per ρ → 0⁺

Def:

Una funzione f si dice differenziabile in ̅x₀∈X(aperto)⊆ℝ^M se∃α∈ℝ^M tale chef(̅x) = f(̅x₀) + <α,̅x-̅x₀> + o(||̅x-̅x₀||)

• Teorema: proprietà differenziabilità

♦ Sia f:X→R (X∈ℝ^M aperto), se f∈diff. in ̅x₀

1. f è continua in ̅x₀
2. esistono le derivate parziali in ̅x₀ e α=∇f(̅x₀) f(̅x) = f(̅x₀) + <∇f(̅x₀),̅x-̅x₀> + o(||̅x-̅x₀||)
3. ∀ versore v esiste D_vf(x) e vale la formula D_vf(x) = <∇f(x),v>

Dim

1) se è differenziabile

|f(x) - f(x₀)| = |<a, x - x₀>| + o(||x - x₀||) se x → x₀ deve tendere a 0

ma |<a, x - x₀>| + o(||x - x₀||) ≤ ||a|| * ||x - x₀|| + o(||x - x₀||) → 0

disuguaglianza di Schwartz

2) Sia (e₁, ..., e_n) la base canonica di Rⁿ, ∀ k = 1, ..., n

∂f/_∂xk(x₀) = lim_t→0 f(x₀ + te_k) - f(x₀)/t

def. di diff.

= lim_t→0 <a, te_k> + f/||e_k||/t = <a, e_k>

⇒ esiste limite finito ed esso è la k-esima componente di a

⇒ a = ∇f(x₀)

3) stesso procedimento del punto 2

⇒ D_N f(x₀) = <∇f(x₀), N>

⇒ Direzione massima crescita

D_N(f(x₀)) = || ∇f(x₀)|| * ||N|| * cos α