Lezioni, Analisi matematica II

Analisi 2

• Calcolo limiti in coord. polari. sia \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, x_0 = (x_0, y_0)\) punto di accumulazione (per semplicità i punti apparterrano a un intorno \(U/\{x_0\} \in X\) \(\lim_{x \to x_0} f(x) = e \Leftrightarrow \forall \, \epsilon > 0 \, \exists \delta : |f(x) - e| < \epsilon \, \forall x \in B_{\delta}(x_0) \setminus \{x_0\}

In coord. polari. \(x_0 = \{x_0 + \rho \cos \theta, y_0 + \rho \sin \theta\}\)

• \(\vec{x} \in B_{\delta}(x_0) \Leftrightarrow 0 < \rho < \delta\)

\(\Rightarrow \, |f(x_0 + \rho \cos \theta, y_0 + \rho \sin \theta) - e| < \epsilon \Leftrightarrow \rho \in (0, \delta) \, \text{e} \, \theta \in [0, 2\pi]\)

Ma la scelta di \(\delta\) non dipende da \(\theta\) quindi la disuguaglianza vale ancora se prendo il sup rispetto a \(\theta\)

\(\sup_{\theta \in [0, 2\pi]} |f(x_0 + \rho \cos \theta, y_0 + \rho \sin \theta) - e| < \epsilon \quad \forall \, \rho \in (0, \delta)\)

\(\Rightarrow \, \text{ma questa è la def di limite per } \rho \to 0^+\)

Def:

Una funzione \(f\) si dice differenziabile in \(x_0 \in X \text{ (aperto) } \subseteq \mathbb{R}^M\) se \(\exists \alpha \in \mathbb{R}^M\) tale che

\(f(\vec{x}) = f(x_0) + \langle \alpha, \vec{x} - \vec{x_0} \rangle + o(\|\vec{x} - \vec{x_0}\|)\)

• Teorema: proprietà differenziabilità

  • Sia \(f : X \to \mathbb{R} \, (X \subseteq \mathbb{R}^M \text{ aperto}),\) se \(f\) è diff. in \(x_0\)

1. \(f\) è continua in \(x_0\)
2. esistono le derivate parziali in \(x_0\) e \(\alpha = \nabla f(x_0)\) \(f(x) = f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), \vec{x} - \vec{x_0} \rangle + o(\|\vec{x} - \vec{x_0}\|)\)
3. \(\forall \, \text{vettore } \vec{v} \, \text{esiste } D_{\vec{v}}f(x) \, \text{e vale la formula}\) \(D_{\vec{v}}f(x) = \langle \nabla f(x), \vec{v} \rangle\)

Dim

1. se è differenziabile
   • \[f(x) - f(x_0) = \langle a, \bar{x} - \bar{x}_0 \rangle + o(||x - x_0||)\]
   • se \(x \to x_0\) deve tendere a 0
   • \[|\langle a, \bar{x} - \bar{x}_0 \rangle + o(||\bar{x} - \bar{x}_0||)| \leq ||a||||x - x_0|| + o(||\bar{x} - \bar{x}_0||) \to 0\]
   • disuguaglianza di Schwartz
2. \[sio\ (e_1,\ldots,e_n)\] la base canonica di \(R^n\), \(\forall\ k = 1,\ldots,m\)
   • \[\frac{\partial f}{\partial x_k}(x_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + te_k) - f(x_0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\langle a, te_k \rangle + o(||te_k||)}{t} = \langle a, e_k \rangle\]
   • def. di diff.
   • \[\exists\ limite\ finito\ ed\ esso\ è\ la\ k-esima\ componente\ di\ a\]
   • \[a = \nabla f(\bar{x}_0)\]
3. stesso procedimento del punto 2
   • \[D_N f(\bar{x}_0) = \langle \nabla f(\bar{x}_0), N \rangle\]

• Direzione Massima crescita
  • \[D_N(f(\bar{x}_0)) = |\langle \nabla f(\bar{x}_0), N \rangle| = ||\nabla f(\bar{x}_0)|| \cdot ||N|| \cdot cos\ \alpha\]
  • \[massimo\ quando\ \alpha = 0\ (cos\ = 1)\]
  • \[D f(\bar{x}_0) \parallel N\]

• Teorema "Fermat"
  • \sia\ \bar{x}_0\ interno\ ad\ X\ (x_0\in \dot{X})\ e\ f\ differenziabile\ in\ \bar{0},\]
  • \[\bar{x}_0\ estremo\ locale\ \Leftrightarrow stazionario\ (\nabla f(\bar{x}_0) = 0)\]
  • \sia\ \bar{N}\ R^m\ con\ ||\bar{N}|| = 1\]
  • pongo \[g(t) = f(\bar{x}_0 + t \cdot \bar{N}) \Rightarrow x_0\ estremo\ per\ f\ allora\ 0\ estremo\ f\]
  • \[f\ diff.\ in\ \bar{x}_0\ \Rightarrow f\ derivabile\ in\ \bar{0}\]
  • \[g'(0) = 0\ (per\ Fermata\ Analisi\ 1)\]
  • ma \[g'(0) = D_N f(\bar{x}_0) = (vale\ \forall N \in R^m)\]
  • \[\Rightarrow \nabla f(\bar{x}_0) = 0\ (tutte\ le\ derivate\ parziali\ sono\ 0)\]

Ortogonalità gradiente e curve livello

Sia f: X ⊆ ℝ² → ℝ diff. in (x₀,y₀)

Sia c = f(x₀,y₀) e γ:[0,τ] → ℝ² t → (x(t),y(t))

la curva di livello

Tale che f(x(t),y(t))=c = f(x(t),y(t))

\[\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=0\,poich\acute{e}\,c=\text{costante}\]

\[\frac{\partial }{\partial x}f(x(t),y(t))\cdot x'(t)+\frac{\partial }{\partial y}f(x(t),y(t))\cdot y'(t)=0\]

\[\nabla f(\vec{\gamma}(t)), \gamma'(t)\] = 0

→ Γ τ &sigmae; &sigmae; → \(\nabla f(\vec(\gamma)(t)), \gamma'(t)\)=0\)

gradiente e curva di livello sono ortogonali

Rettificabilità:

\[\vec{\gamma}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{M}\]\ continuo

e \(D\) una partizione di \([a,b]\)

\[a=t_{0},t_{1},...,t_{M}=b\]\ M\(\subset \mathbb{N}\)

Def: \[L(\vec{\gamma},D)=\sum_{i=0}^{M}|| \vec{\gamma}(t_{i})-\vec{\gamma}(t_{i-1})||\in \mathbb{R}\]

L(\vec{\gamma})=\sup_{D}L(\vec{\gamma},D)\in \mathbb{R}\cup \left \{\infty \right \}

\(\vec{\gamma}\)\ è rettificabile se \L(\(\vec{\gamma}\))\(\in\)\(\mathbb{R}\ e\ L(\vec{\gamma})\ si\ dice\ lunghezza \)

Teo:

se \(\vec{\gamma}\) di classe \(C^{1}\)

\[ \Rightarrow L(\vec{\gamma})= \int_{a}^{b} ||\vec{\gamma}'(t)|| dt \]

Dim:

\( L(\vec{\gamma}) \leq \int \ \ \ e \ L(\vec{\gamma}) \ge \int \)

(1) dimostrazione solo della prima

\( L(\vec(\gamma)) < \int_{a}^{b} ||\vec{\gamma}'(t)|| dt \)

Me \ D: a=t₀,t_1',,,,t_i,,,,,t_M=b

Teorema Gulidino:

• E ⊂ {ρ > 0}

Coord. cilindriche

• x = ρ cos θ
• y = ρ sen θ
• z = z

D = φ(E)

Ω: 0 < θ < α

{z, ρ} ∈ E

Vol D = ∫_Ω ρ dθ dp dz

= ∫_αdθ ∫∫_E ρ dp dz

= α ∫∫_E ρ dp dz / area(E)

= α . p_bar . area(E)

cord. ρ del baricentro, detti abc due notazione

Teorema Guldino (superfici)

Sia Σ la superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare attorno asse z con γ curva semplice e regolare ⊂ semipiano x > 0 (x,z)

γ(t) = ( x(t), z(t) ) con t ∈ I e x(t) ≥ 0

σ(t, θ) = x(t) cos θ x(t) sin θ t(t) t ∈ I θ ∈ [0, 2π) anche un angolo 0 < θ₀ < 2π

=> σ_t × σ_θ =    i   j   k x'(t) cosθ   x'(t) sinθ   z'(t) -x(t) sinθ   x(t) cosθ   0

= |- x(t) z'(t) cosθ , - x(t) z'(t) sinθ , x(t) x'(t)| x(t) ( -z'(t) cosθ , -z'(t) sinθ , x(t) )

=> dS = || σ_t × σ_θ || dt d ω = x(t) √ z'(t) + x'(t)

A(Σ) = ∫ x(t) √ z'(t) + x'(t) dt dθ =

=   2π ∫  x(t) || γ' (t) || ds dt =        = 2π ∫  x ds

         ∫Σγ _{ds elem. superficie}

introduciamo il BARICENTRO

B(x_B, z_B) x_B =    &frac;1L(γ)   ∫ x ds z_B =    &frac;1L(γ)   ∫ z ds

=> A(Σ) = 2π •  ∫  x ds    • L(γ) = 2π • x_bar • L(γ)