Lezioni, Analisi matematica I

Angoli notevoli sin α cos α tan α cot α sec α csc α

α α rad

( )

(deg)

0 ° 0 0 1 0 ∞ 1 ∞

π 1 2

√ √

3 3 √ 3

30 ° 2

√ 3

6 2 3

2 3

π √ √

2 2

45 ° 1 1 √ √

2 2

4 2 2

π 1 2

√ √

3 3 √ 3

60 ° 2

√ 3

3 2 3

2 3

π

90 ° 1 0 ∞ 0 ∞ 1

2

180 ° π 0 0 ∞ ∞

−1 −1

3 π

270 ° 0 ∞ 0 ∞

−1 −1

2

Formule di Somma tan α ± tan β

sin α ± β α cos β ± sin β cos α

( )=sin tan α ± β

( )= 1 tan α tan β

cos α ± β α cos β sin α sin β ∓

( )=cos ∓

Formule di Duplicazione

2α=¿ 2 sin α cos α { 2 2

cos α α

−sin

sin ¿ cos 2α= 2

2 cos α −1

2 tan α 2

tan 2α= 1−2sin α

2

1−tan α

Formule di Bisezione

√ {

α 1−cos α √ 1−cos α

sin =±

2 2 1+ cos α

√

α 1+cos α α 1−cos α

cos tan

=± =

2 2 2 sin α

sin α

1+ cos α

Formule di Prostaferesi

α β α α+ β α−β

( ) ( ) ( ) ( )

+ −β

sin α sin β cos cos α β=2 cos cos

+ =2sin +cos

2 2 2 2

α−β α β α β α

( ) ( ) ( ) ( )

+ + −β

sin α β=2 sin cos cos α β=−2 sin sin

−sin −cos

2 2 2 2

Formule Di Werner

1 1

[ ] [ ]

sin α sin β= sin α β α−β cos α cos β= cos α β cos α

( ) ( ) ( )+ ( )

+ +sin + −β

2 2

1 [ ]

sin α sin β= cos α α β

( )−cos ( )

−β +

2

Formule Parametriche

2t 2t

sin α tan α

= =

2 2

1+t 1−t

α

2

1−t t=tan

cos α = 2

2

1+t

Triangoli qualunque

a :sin α :sin β=c :sin γ

=b

Gli insiemi A ,B,C

Un insieme è una collezione di elementi. Un insieme è rappresentato come

a , b , c

(maiuscole); e i suoi elementi sono rappresentati con (minuscole).

Un insieme può essere rappresentato in forma di

A=1, 5, 15

- Tabulazione: A=x : x è dispari

- Proprietà:

Il simbolo indica che un elemento appartiene ad un insieme, ossia è compreso nella

∈

sua raccolta. A B a A , a B

Il simbolo indica che un insieme è incluso in un altro: .

⊆ ⊆ ⇔∀ ∈ ∈

L’operatore di inclusione gode di tre proprietà:

A , A A

- P1: riflessiva ∀ ⊆ ⟺

A , B , A B B A A=B

- P2: antisimmetrica ∀ ⊆ ∧ ⊆

A B , B A

- P3: transitiva ∀ ⊆ ⊆C ⇒ ⊆C

⟺

A=B A B B A

Per P2 si dirà che .

⊆ ∧ ⊆ , I

Un insieme particolare è l’insieme vuoto: .

∅ =❑

A , A

Infatti .

∀ ∅ ∈ A B a A , a B , B :b A

Il simbolo indica inclusione stretta: .

⊂ ⊂ ⇔∀ ∈ ∈ ∃b ∈ ∉

A B A B

Osservazione: .

⊂ ⇒ ⊆

Operazioni

Mentre gli operatori come l’inclusione presuppongono un confronto di insiemi, dalle

operazioni su di essi si originano altri insiemi. Le operazioni fondamentali sono:

A : x A x B

- Unione: ∪B=x ∈ ∨ ∈

⟺

A A B

NB: -> def. di inclusione.

∪B=B ⊆

A ∩B=x : x A x B

- Intersezione: ∈ ∧ ∈

⟺

A ∩B= A A B

NB: -> def. di inclusione.

⊆ A ∩B=∅

NB: due insiemi sono disgiunti se .

¿

- Differenza insiemistica: { }

A x : x A x B

= ∈ ∧ ∉

NB: non è commutativa. ¿

¿

x : x A x B

∈ ∈

- Differenza simmetrica: ¿

A B=¿

△

¿

A

¿

¿

NB: .

B

¿

A B=¿

△ ¿

- Complemento: { }

∁ A x : x x A

( ) = ∈U ∧ ∉ =U

U

∁ ∁ A A ,∀ A

( )

( ) = ∈U

NB: .

U U

∁ A A=U

( ) ∪

NB: .

U

∁ A ∩ A=∅

( )

NB: .

U ∁ ∁

A B B A)

( )

⊆ ⇒ ⊆ (

NB: .

U U

De Morgan e algebra di Boole

Secondo il teorema di De Morgan:

∁ ∁

A B A ∩ B

( )=∁ ( ) ( )

∪

- U U U

∁ ∁

A ∩ B A B

( )=∁ ( ) ( )

∪

- U U U U U=0,1

Oss: consideriamo come insieme (universo) il seguente insieme: .

Svolgendo operazioni conosciute finora su questo insieme universo, nasce l’algebra di

Boole, algebra su cui si basano tutti i moderni sistemi digitali.

Insieme delle parti P E : X E

P( E)

Un insieme delle parti è definito come .

( )=X ⊆

Da notare la presenza della lettera maiuscola, gli elementi di un insieme delle parti sono

infatti a loro volta insiemi.

E P(E)

NB: ∈ P( X)

NB: ∅ ∈

E n

NB: se è un insieme finito (ammette cioè un numero finito di elementi), allora

n

P( E) ammette elementi.

2

Proprietà insiemistiche

A ∩ A= A A= A

Idempotenza:

1. ∪

A A , A ∩ B=B ∩ A

Commutativa:

2. ∪B=B ∪

A ∩ B A ∩ B A ∩C , A B ∩C A B ∩ B C

Distributiva: ( )=( ) ( ) ( )=( ) ( )

3. ∪C ∪ ∪ ∪ ∪

A A B , A ∩ B ∩C= A ∩ B ∩C

Associativa: ( ) ( )

4. ∪B ∪C= ∪ ∪C n

NB: la associativa è molto importante perché permette di compiere operazioni su

insiemi.

Insiemi numerici

Gli insiemi numerici più importanti sono:

N=0, 1, 2,3 …

- Sono numeri detti “naturali”.

Z 0,+ 1,+ 2…

- Sono numeri detti “interi relativi”.

=…−2,−1,

m ¿

Q= :m Z 0

∈ ∧n ∈Z ∧(m%n)≠

- Sono numeri detti “razionali”.

n

{ }

R= x : p x r

- Sono numeri detti “reali”.

( ) ∈

C= x+iy : x , y R

{ }

- Sono numeri detti “complessi”.

∈

NB: un apice indica solo la parte positiva (non nulla) dell’insieme.

+¿

NB: un apice indica solo la parte positiva (non nulla) dell’insieme.

−¿

NB: un apice indica la parte non nulla dell’insieme (si legge “star”).

¿

Lo studio di Russell

Russell si era posto la seguente domanda: A A

A= X : X soddisfa una certa proprietà

sia . Allora ? No, non è possibile in quanto

{ } ∈

si avrebbe a sua volta un nuovo insieme, e il tutto continuerebbe come il cane che si

morde la coda. Es:

B=x : x è pari

A= X : X è illimitato

{ }

{ } { }

A= B , A B , X : X è illimitato B , B , X : X è illimitato

{ } { } { }

= = =[…]

I sistemi assiomatici

In matematica, spesso e volentieri ci troviamo davanti ad un sistema assiomatico, ossia un

sistema dove certe condizioni sono date per buone, perché si auto-sorreggono.

Matematici hanno dimostrato che non si può impostare un sistema assiomatico coerente

che non ricada nella banalità. Infatti una geometria mediamente complessa ha dei limiti nel

linguaggio. Tuttavia, noi nella matematica troveremo delle verità necessarie, ossia quelle

che fondano, dette assiomi. Una congettura è un’ipotesi che può essere dimostrata

(diventando teorema) o non dimostrata (diventando assioma).

Struttura algebrica degli insiemi numerici N

Il primo insieme numerico ad essere stato trattato è l’insieme . Possiamo

N ,+,∗¿

rappresentare la sua struttura algebrica in questo modo: . Questa dicitura

¿

prende il nome di scrittura algebrica, e formalmente significa che dato un insieme di

+¿

N

numeri naturali , si definisce all’interno un’operazione somma e un’operazione

¿

prodotto .

(¿)

NB: la sottrazione e la divisione vengono interpretate come casi particolari di addizione e

prodotto.

Vediamone ora alcune proprietà:

,b ; a+ b=b+a

S1: (proprietà commutativa).

∀a

o ,b , c ; a+b+ c=( a+ b

S2: (proprietà associativa, interessante per il concetto di

)

∀a +c

o somma a più ingressi. NB: non ce ne accorgiamo, ma la applichiamo sempre!).

:a+0=0+ a=a

S3: (elemento neutro della somma).

∃0

o b N :a ≠ b b=b

S4: .

∄ ∈ ∧a+ +a=0

o N Z

Questo problema ha indotto ad estendere , ottenendo così . Inoltre, la necessità

Z N

di passare a è data anche dal fatto che in non si può parlare di debiti, quindi da

necessità economiche.

Z ,+,∗¿ N

rappresenta un insieme più ricco di . In esso S1, S2, S3 ed S4 sono valide.

¿

Definiamo altre proprietà:

,b ; a∗b=b∗a

P1: (proprietà commutativa).

∀a

o ,b , c ; a∗b∗c=( a∗b

P2: (proprietà associativa).

)∗c

o ∀a a∗1=1∗a=a

P3: (elemento neutro del prodotto).

∃1:

o ,b , c :a b+ c

P4: (proprietà distributiva).

( )

∀a =ab+ac

o b Z : a ≠ b

P5: .

∄ ∈ ∧a∗b=b∗a=1

o Z Q.

Questo problema ha indotto ad estendere , ottenendo così

Q ,+ ,∗¿ Z

rappresenta un insieme più ricco di . In esso P1, P2, P3 e P4 sono valide.

¿ Q

L’insieme Q

Perché abbiamo avuto la necessità di estendere ? Tutto è partito quando ad un certo

punto è nata la necessità di dare corpo ai numeri. A tale scopo, si è introdotta la retta

come metodo di rappresentazione nei numeri. Se fissiamo un origine, possiamo poi

piazzare dei punti e far corrispondere ad essi i numeri degli insiemi studiati, in modo da

rappresentarli. Tuttavia, i matematici hanno iniziato a chiedersi cosa sta in mezzo a due

Q

punti piazzati, ossia gli elementi dell’insieme bastano per rappresentare ogni punto

della retta? m m

i i

P r , Q : rappresenti P ?

Formalmente, No.

∀ ∈ ∃ ∈

i i

n n

i i

Dim: 1x1

Si costruisca sulla retta r un cubo di dimensioni , e si tracci di esso la diagonale.

Successivamente con un compasso si riporti la misura della diagonale sulla retta r,

fissando un punto P.

́ 2 2 2

OP =1 +1 =2

Tuttavia, esiste un numero razionale che lo rappresenti? Se così è, allora deve valere

questa proprietà:

2

m 2 2

→m n

=2 =2

2

n 2 2

Allora è pari. Ma per un teorema visto in una dispensa precedente, se è pari,

m m

m

allora è pari. Allora:

2 2 2 2 2

m k n →n k

=4 =2 =2

2 n m n

Allora è pari, e di conseguenza anche è pari. Va da se che ed non

n m Q

sono primi tra di loro, quindi .

∉

n

q.e.d.

R risulta allora essere quell’insieme per cui valgono, oltre che precedenti proprietà, le

seguenti relazioni:

x R , x P

è rappresentabile con

o ∀ ∈ ∈r.

P r , P x R.

è rappresentabile con

o ∀ ∈ ∈

Esse costituiscono il cosiddetto assioma di completezza della retta.

Proprietà di ordinamento dei reali R :

Esse sono proprietà sempre valide in

; a≤ a (proprietà riflessiva, il minore uguale si legge “non segue”).

1. ∀a ,b ; a ≤ b ≤ a a=b (proprietà antisimmetrica).

2. ∀a ∧b ⇒

,b , c ; a ≤ b b ≤ c a≤ c (proprietà transitiva).

3. ∀a ∧ ⇒

,b ;a ≤ b ≤ a (proprietà ulteriore).

4. ∀a ∨b

Le prime tre proprietà costituiscono una relazione d’ordine. Inoltre, dato che vale anche la

proprietà numero 4, la relazione d’ordine è totale.

NB: gli insiemi non presentano una relazione d’ordine totale, ma una relazione d’ordine

non totale.

Da questa caratteristica discendono due importanti conseguenze algebriche:

,b , c ; a ≤ b⇒ a+ c ≤ b+c .

1. ∀a ,b , c :c ; a ≤ b ≤bc .

2. ∀a >0 ⇒ac

Grazie a queste due proprietà, abbiamo le basi per poter risolvere ogni tipo di

disequazione.

Le Proposizioni

Le proposizioni sono enunciati a cui può essere attribuito valore di verità (NB: sia vero che

falso!), anche nel tempo.

Il valore di verità deve poter essere attribuito in modo oggettivo. La matematica non

ammette soggettività.

Le Tavole di Verità ⟺

p q ¬p ¬q p q p q p⇒ q p q

(p (p (p (p se e solo

∧ ∨

(non p) (non q) e q) o q) implica q) se q)

V V F F V V V V

V F F V F V F F

F V V F F V V F

F F V V F F V V

p , p ¬ p

NB: -> Assurdo o paradosso.

( )=F

∀ ∧

p , p ¬ p

NB: -> Terzo escluso (Terzum non datur).

( )=V

∀ ∨

L’importanza dell’implicazione logica

L’implicazione logica si può definire:

- p q p q

- Se allora - Antecedente , conseguente

p q

- implica

p q

- Ipotesi , tesi

p q ¬p ¬q p⇒ q ¬q ¬ p ¬ p p ¬q p ¬q p

⇒ ∨q ∧ ( )

∧ ⇒¬

V V F F V V V F V

V F F V F F F V F

F V V F V V V F V

F F V V V V V F V

Dimostrazio Dimostrazion Dimostrazione

ne e per Assurdo

Diretta Contronomina

le

Esempi con dimostrazioni semplici

Introduciamo l’insieme di numeri pari e dispari:

N n:∃ k N :n=2k N n :∃k N : n=2k N N

{ } { }

= ∈ = ∈ +1 ∪ =N

p d p d

2

n

T1: se è pari, allora è pari.

n

Possiamo procedere con la dimostrazione diretta:

2 2 2 2

n=2k → n k →n k

=4 =2(2 )

2

Cioè è numero pari.

n q.e.d.

2 n

T2: se è pari, allora è pari.

n n

Questa volta procediamo con la dimostrazione contronominale, dimostrando che se è

2

dispari, allora è dispari.

n

2 2 2 2

( )

n=2k+1 → n k 4k+1 → n 2 k

=4 + =2 +2k +1

2

Cioè è dispari.

n q.e.d.

I Predicati

Il predicato è un enunciato che contiene o dipende da una o più variabili. Un predicato può

diventare una proposizione quando viene assegnato un quantificatore o un valore alla

p n : n è pari

variabile. Es: ( )

, p n , p n

( )=F ( )=V

∀n ∃n

¬ x : p x x :¬ p x)

NB: ( )

( )

∀ =∃ (

¬ x : p x x :¬ p x)

NB: ( )

( )

∃ =∀ (

NB: I predicati possono contenere più variabili al loro interno. Ovviamente, per

trasformarlo in una proposizione, devo dare valore ad entrambe le due variabili. Le loro

negazioni vengono trattate in questo modo:

¬ x , y : p x , y x ,∀ y :¬ p x , y ¬ x , y : p x , y x , y :¬ p x , y

( ) ( )

( ) ( )

∀ ∃ =∃ ( ) ∃ ∀ =∀ ∃ ( )

Intervallo

Per capire bene il concetto di intervallo, partiamo dalla sua proprietà cruciale, detta

proprietà di connessione:

x , y , z : x , y I ; x z< y z I

∀ ∈ < ⇒ ∈

Questa proprietà è fondamentale perché denota l’intervallo. Ci sono diversi tipi di intervalli:

x R :a ≤ x ≤ b

[ ]

a , b

- , detto intervallo chiuso, indica che .

∀ ∈

x R :a< x

, b)

- , detto intervallo aperto, indica che .

∀ ∈ <b

(a x R : x ≤ a

- , detto intervallo illimitato a sinistra, indica che .

∀ ∈

¿ x R : x ≤ a

- , detto intervallo illimitato a destra, indica che .

∀ ∈

¿ R

∞)

- , indica l’insieme .

(−∞,+

Massimi e minimi di un insieme

A R : A

Prendiamo un insieme totalmente ordinato. In esso possiamo (in molti casi)

⊆

stabilire un massimo e un minimo. Per definizione:

⟺

x è il massimo di A x A x A , x ≥ x

( )

∈ ∧(∀ ∈ )

- .

m m m

⟺

x è il minimo di A x A x A , x ≤ x

( )

∈ ∧(∀ ∈ )

- .

m m m

Da notare che in un intervallo aperto a sinistra non esiste un minimo, mentre in un

intervallo aperto a destra non esiste massimo. È lo stesso concetto del paradosso di

4)

Achille e la tartaruga: possiamo stabilire in un intervallo aperto (es: ) un punto

(2,

x come candidato per il massimo. Tuttavia, sarà sicuramente possibile calcolare il

m x 4

valore medio tra e l’estremo non compreso (es: ), e ancora un secondo punto

m

medio tra il primo punto medio e l’estremo non compreso, e ancora un terzo punto

medio... fino all’infinito. Ergo non esiste massimo.

Introduciamo ora il concetto di insieme limitato: L R :∀ x A , x ≤ L

- Un insieme si dice limitato superiormente se .

∃ ∈ ∈

R :∀ x A , x ≥ l

- Un insieme si dice limitato inferiormente se .

∃l ∈ ∈

NB: un insieme che ammette massimo è superiormente limitato, un