Lezioni, Analisi matematica I

=O(

x → c ). ≍

l l≠ 0 f g f

- Se è finito e , possiamo scrivere (si legge è “equigrande” con

g x → c

per ).

l=1 f g f g x → c

- Se , possiamo scrivere (si legge è “equivalente” a per ).

l=0 f g

f

- Se , possiamo scrivere (si legge è “o-piccolo” di per

=o (g)

x → c ).

Essi sono definiti simboli di Landau.

Proprietà dei simboli di Landau

- ≍

f g f g f g f x

- ( ) ( )

⇒ ⇒ =O lim g=o f

( )

=∞ ⇒

-

f f g

( )

- =o (g)⇒ =O g x

( )

x→ c

≍

f g f lg, l finito

¿ ⇒

- lim f x 1=o f

( ) ( )

=∞⇒

-

1 x→ c

f g g)

¿ ⇒f =g+o (

- 2

lim f x f 1

( ) ( )

=0 ⇒ =o

- x→ c f x f x

( ) ( )

lim lim lg

Dim : =l ⇒ =1 ⇒f

(¿ )

1 g x l∗g x

( ) ( )

x→ c x →c

q.e.d. f x f x x)

( ) ( ) −g (

lim lim f g f o(g)

( )

Dim : q.e.d.

(¿ ) =1 ⇒ =0 ⇒ −g=o ⇒ =g+

2 g x g x

( ) ( )

x→ c x →c

I limiti notevoli secondo Landau

sin x

lim sin x x sin x=x

2) =1⇒ ⇒ +o (x)

x

x→ 0 tan x

lim tan x x tan x= x+ o( x)

3) =1⇒ ⇒

x

x→ 0 2

1−cos x 1 1 1 2 2

lim x x cos x=1− x x

4) = ⇒1−cos ⇒ +o( )

2 2 2 2

x

x→ 0 ⁡

ln 1+ x)

(

lim 1+ x x x x

5) ( ) ( )=x

=1 ⇒ln ⇒ln +1 +o( )

x

x→ 0 x

e −1 x x

6) lim e x x)

=1 ⇒ −1 ⇒e =x +1+o (

x

x→ 0 a

1+ x

( ) −1 a a

7) lim , 1+ x ax 1+ x x)

( ) ( )

=a ⇒ −1 ⇒ =1+ax +o (

x

x→ 0 cosh x 1 1 1

−1 2 2 2

( )

lim cosh x−1 x cosh x=1+ x o x

= ⇒ ⇒ +

8) 2 2 2

2

x

x→ 0

Questa nuova dicitura è molto utile, perché ci permette di scrivere funzioni complicate

come polinomiali più un’”imprecisione” che si può non considerare.

lim f x x

( )=f ( )

NB: presa una funzione continua, si ha per definizione che: . Grazie ai

0

x →x 0

simboli di Landau, può essere riscritta come:

lim f x x f x x 1 f x x o(1)

( )−f ( )−f ( ) ( )=f

( ) ( ) ( )

=0 ⇒ =o ⇒ + x→ 0

per .

0 0 0

x → x 0

Algebra degli o-piccolo

Perché si tratta solo l’algebra degli o-piccolo e non degli altri simboli di Landau? Semplice,

perché ogni simbolo può essere ricondotto a o-piccolo. L’algebra che tratteremo qui di

x → c

seguito trascende dall’algebra tradizionale, e vale solo per :

- λ∗o f λf f , λ ≠ 0 k k

- ( )=o ( )=o ( ) ( )

( )

- f o f f

( )

+ =f +o

o f ± o f f

( ) ( )=o ( )

- o f f

( ) ( )

=o

-

o o f f

( )

- ( ) ( )

=o g g

f g f

( ) ( )

- ∗o =o ∗g f ,g,h

o f g f∗g

- ( )∗o ( )=o ( ) max ¿

-

k k o f o g h

( ) ( )+ ( ) ( )=o

( ) +o ¿

o f f

- ( ) =o

NB: con queste notazioni si può approssimare una funzione in base a gradi di

approssimazione. Es:

3

( )

2 3 3

( )

f x x x x

( )= +2 +o 6 6

( )

1° approssimazione: f x x

( )=x +o

6 7 7

( )

2° approssimazione: f x x o x

( )=x +6 +

6 7 8 8

( )

3° approssimazione: […]

f x x 12 x x

( )=x +6 + +o

Teorema di equivalenza ́

' ' ' '

¿

Siano . Sia inoltre che per .

f x , f x , g x , g x : I c → R x → c f x f x g x g x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∧

Allora:

- ' ' '

f x f x

lim f x x lim f x x

( )∗g ( ) ( )∗g ( ) ( ) ( )

- lim lim

-

x→ c x→ c '

( )

g x g x

( )

x→ c x → c

Dim: f x

( ) x

( )

∗g

' ' '

x x x x f x

( )∗f ( ) ( )∗g ( ) ( ) ' ' ' '

lim f x x f x x f x x

( )∗g ( ) ( )∗g ( )=lim ( )∗g ( )

=lim ∗g =lim ∗f

' ' '

f x g x g x

( ) ( ) ( )

x→ c x→ c x→c x →c

f x f x

( ) ( )

' x ' x

( ) ( )

∗f ∗g

'

f x g x

( ) ( ) ( )

f x

' '

lim x

( )

=lim ∗g ( )

x

∗f

' '

g x

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x

x→c x→ c =lim =lim

' ' '

g x g x g x

( ) ( ) ( )

x →c x →c

q.e.d.

Teorema di sostituzione (o trascurabilità)

́ ¿

f x , f x , g x , g x : I c → R

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Siano . Sia inoltre che per

1 1

x → c f x f x g x g x .

( ) ( )

( )=o ( ) ( )=o ( )

∧

1 1

Allora:

- lim f x f x g x g x f x x

( ) ( )

( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )∗g ( )

∗ =lim

- 1 1

x→ c x→ c

lim f x

( )

f x f x

( ) ( )

+

- 1 x →c

lim =

g x g x g x

( ) ( ) ( )

+

x→ c 1

Dim: ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

( ) ( )

1 1

lim f x f x g x g x f x 1+ g x 1+ f x x

( ) ( )

( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( )∗g ( )

∗ =lim ∗ =lim

1 1 f x g x

( ) ( )

x→ c x→ c x→ c

f x

( )

( )

1

f x 1+

( ) lim f x

( )

f x

( ) ( ) ( )

f x f x

+ 1 x→ c

lim =lim =

g x g x g x

( ) ( ) ( )

+ g x

( )

( )

x→ c x→c

1 1

g x

( ) ( )

g x

q.e.d.

NB: Questi teoremi valgono solo sul prodotto e sulla divisione, non valgono per la somma

algebrica!

Il “fagocitare” di o-piccolo

Quando si utilizzano i simboli di Landau, un o-piccolo può “inglobare” molti altri termini,

siano essi o-piccoli o polinomi. Per esempio, si scelga di calcolare:

1 1 2 2

( )

1− x x x o x

( )−1+

+o +

4

√ 1+ sin x x 4 2

−cos

lim =lim

x x

x→ 0 x→ 0 1 2 2

( )

x x

o( x)

In questo caso, può “inglobare” perché sono trascurabili rispetto a

+o

2

x , come l’o-piccolo in esame.

La parte principale

f x

( )

lim ,l ≠ 0,l finito, α R

=l ∈

Prendiamo .

α

g x

( )

x→ c α α α

( )

Si ha, come già visto, che .

f x l g x f x x g x

( ) ( ) ( )=l∗g ( ) ( )

¿ ⇒ +o

Di questo risultato, chiamiamo per definizione:

α

- parte principale

l∗g x

( )

α

- ordine di infinito

g( x)

- funzione campione f x x → c f x

In sostanza, data una funzione , se si ha da calcolare il limite per di

( ) ( )

fratto una funzione campione α R

g x

data , si deve trovare per quali valori di si ha che

( ) ∈

f x

( )

lim ,l ≠ 0,l finito

=l .

α

g x

( )

x→ c

Essa è molto utile, perché permette di comparare localmente una funzione, sostituendola

con una più semplice. Di essa si possono utilizzare anche le informazioni ricavabili con lo

studio di funzione localmente.

Ecco una tabelle delle funzioni campione principalmente utilizzate:

Limite in esame Infinitesimi campione Infiniti campione

1

∣ ∣

x → x x−x

0 0 ∣ ∣

x−x 0

1

x→∞ x

x

∣ ∣ 1

x→ 0 x x

∣ ∣

Funzioni asintotiche

f x , g x : I ∞ → R

Date due funzioni , esse si definiscono asintotiche se

( ) ( ) (+ )

lim f x x

( )−g ( ) =0 .

x →+∞ f x x o 1 per x →+∞

Quindi, .

( )=g ( )+ ( )

C’è una correlazione tra equivalenza e asintoticità?

- f x x o 1 f x x o g x

- Asinstoticità: ( )=g ( )+ ( ) ( )

- Equivalenza: ( )=g ( )+ ( )

g(x)

No, perché mentre l’equivalenza si accontenta di un errore infinitesimo rispetto a ,

l’asinstoticità richiede che l’errore sia infinitesimo, ed è quindi una condizione più

restrittiva. Quindi tutte le funzioni tra loro asintotiche sono tra loro equivalenti, ma non

viceversa.

L’asintoto

Di tutte le funzioni asintotiche, la retta è quella più importante, tanto che prende il nome di

y=mx

asintoto. Un asintoto (obliquo od orizzontale) rispetto ad una funzione

+q

f x : I ∞ → R si definisce come tale se:

( ) ( )

lim f x mx+ q

( )−( )=0

x →+∞ m q x→∞

f x → ∞

Come si calcolano e ? Semplice, se per allora:

( )

f x

( )

m=lim q=lim f x

( )−mx

x

x→ ∞ x→ ∞

Dim: f x mx+ q f x f x

( )−( ) ( ) ( )

q

lim f x mx lim lim lim

( )−( )=0

+q ⇒ =0 ⇒ −m− =0 ⇒ =m

x x x x

x→∞ x→ ∞ x →∞ x→ ∞

lim f x mx lim f x

( )−( )=0 ( )

+q ⇒ −mx=q

x→∞ x→ ∞

q.e.d.

Rapporto incrementale x

R

Prendiamo in un punto , e incrementiamo la sua ascissa fino a raggiungere il

0 f

x y f x

punto . Avremo una corrispondente variazione di da a .

(x ) ( )

0

Calcolando il rapporto tra le due variazioni di valori otteniamo:

f x x

( ) ( )

−f Δ f x f x+ Δ x x

( ) ( )−f ( )

0 = =

x−x Δx Δx

0

Esso prende il nome di rapporto incrementale, e si può indicare nei vari modi sopra

riportati. r

Geometricamente, rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per

( )

( )

P x , f x , P x , f x

( )

( ) α

, oppure la tangente (intesa in senso trigonometrico) di , con

0 0 0

α r

angolo compreso tra l’asse delle ascisse e la retta , calcolata in senso antiorario.

La derivata

Sorge spontanea, una volta definito il rapporto incrementale, la seguente domanda: cosa

x → x x

x

succede al rapporto incrementale per ? I punti e convergono verso un

0 0 x

f x

unico punto, e la retta passante per quei punti diventa la retta tangente in ,

( ) 0

f x x m x−x

( )=f m

( ) ( )

+

con equazione co