Lezioni, Analisi Matematica

FUNZIONE

Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti, di R).

Si definisce funzione una relazione

f: A → B che associa ad ogni

elemento di A uno e un solo elemento

di B.

Le funzioni si possono classificare in:

- Algebriche (contenente le operazioni

goniometriche).

- Trascendenti:

- Logaritmica

- Esponenziale

• Razionali: intera e fratta, irrazionale
• Irrorazionale

_DOMINIO

_FUNZIONE

_{Y = g(x)}

_{D: R}

_{Y = |8|^x/x}

_{D: x ≠ 0}

_{R: g(x) ≥ 0}

_{Y = log (x^4)}

_{x >0}

_{Y = 2}

_x^9/x^3

FUNZIONE CRESCENTE - DECRESCENTE

Una funzione y = f(x) con DCR si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, se comunque scelti x₁, x₂ ∈ I con x₁ < x₂ < x₂ › f(x₁) < f(x₂).

FUNZIONE PARI - DISPARI

Una funzione y = f(x) si definisce pari se f(x) = f(-x).

Dispari: se f(x) = -f(x).

INTERVALLO

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (illimitato) o a un segmento (limitato) della retta reale. Può essere chiuso o aperto.

INTORNO COMPLETO

Dato un numero reale x₀, si definisce intorno completo di x₀ un qualunque intervallo aperto I(x₀) contenente x₀: I(x₀) = ]x₀ - ε, x₀ + ε[.

INTORNO CIRCOLARE

Dato un numero reale x₀ e un numero reale positivo ε, si chiama intorno circolare di x₀ di raggio ε l'intervallo aperto I_ε(x₀) di centro x₀ e raggio ε.

PUNTO ISOLATO

Sia x₀ un punto (numero reale) appartenente a un sottoinsieme A di R. Si dice che x₀ è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I(x) che non contiene altri elementi di A diversi da x₀.

Teorema di Cauchy

Se le funzioni f(x) e g(x) sono continue nell'intervallo [a;b], derivabili in ogni punto interno ad esso e si incontra in (a;b) e sempre g(y) ≠ 0, allora esiste almeno un punto c interno ad (a;b) in cui si ha:

(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c).

Teorema di De L'Hospital

Dati un intorno I di un punto c e due funzioni f(x) e g(x) definite in I (~c) e:

• f(x) e g(x) sono derivabili in I con g'(x) ≠ 0
• le due funzioni tendono entrambe a 0 o ∞ per x→c
• Per x→c, esiste il limite del rapporto f'(x)/g'(x) delle loro derivate, allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è :

lim x→∞ g(c)/g(x) = lim x→c g'(c)/g'(x).

Questo è valido solo con le forme indeterminate:

1. 0/0
2. ∞/∞
3. +∞ -∞
4. ∞*0
5. 0⁰, ∞⁰

3) lim x→0⁺ (1/x - cos(x)) = (1/x - cos(x)/sin(x)) = 0/0

4) lim x→∞ x ln x = ∞/∞

5) Si usa e^{ln x}

lim x→0⁺ x = ln x

lim e^x = e^{x ln e}, x ln e

Limiti Notevoli

lim x→∞ (1/1 + x) = e

PARABOLA

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

Y = ax² + bx + C

F ( _-b/^2a ; _4ac/^4a - ₁/^4a )

V ( _-b/^2a ; _b/^4a ) (Se c riferita alla x e l'introramo)

• - a ≠ 0 allora si abbassa di grado (bx + c) è diversa equazione della rete
• - se a > 0 ; Conicità ↑
• - se a < 0 ; Conicità ↓
• - b = 0 il vertice si trova su y (0 ; c)
• - C = 0 (equazione diversa y = ax²)
• -(b∧c) ≠ 0 (equazione Passo per l'origine (vale in (0, 0) con y asse cordinate con y e tangli x nell’origine.

IPERBOLE

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza dalle distanze da due punti fissi detti fuochi.

x²/_a² - y²/_b² = 1

F₁ (-c ; 0) ; y = _-b/^ax ; y = _b/^ax

F₂ (c ; 0)

C² = a² + b² ; c = √(a²+b²)

IPERBOLE EQUILATERA

Si dice equilatera quando gli asintoti sono perpendicolari tra di loro

x²/2 - y²/2 = c²

A (±a√² , 0)

B (0 , ±a)

C = √²x = ^α√²

F (±a√², 0)

c = √²

Y = ±x

Denominatore di 2^o grado con numeratore di grado maggiore di 0 (Δ > 0)

∫ x + 3 / x² + 9x + 5 2x = ∫ 2x / x² + 9x + 5 + ∫ 3 / x² + 9x + 5

Due complessi Si Frutta la Unità del denominatore dx = 3

= ∫ 2x + 4 - 4 / x² + 9x + 5 dx - 3

= 1 / 2 2x + a / x² + 9x + 5 x 1 / x² + 9x + 5 → Si applica il metodo Recaloante

Denominatore di 2^o grado con numeratore Questa (Δ = 0)

Si applica lo stesso Proicoli: messo con A e B.

Denominatore di 3^o grado

Si abbassa di grado con Buffini: e si utilizzano 3 variadic: A, B, C.

∫ x² + 5x - 1 / x³ + 2x² - 2 (x - 1) (x² + 2x + 1)

A / x - 1 + Bx + C / x² + 2x + 2

Integrazione di funzioni complesse

Quando c’è una funzione composta: 3x / (x³ - 2)⁴ su dove vedere che la derivata della funzione (x³ - 1) coincide con il fine della frazione.

Integrazione per sostituzione

Si fa la sostituzione di variabile.

∫ 1 + √x / √x 2x

√x = t

1/2√x dx = 2t

2 ∫ 1 + 2 ∫

= 2 ∫ 2t + c ∫ e^t e^c = 2t + 2 e^t + c = 2√x + 2e^√x + c

INTEGRALI IMPROPRI

f(x) = γ

lim_z→x ∫_a^z g(x) dx

lim_z→x⁺ ∫_z^b g(x) dx

lim_z→x⁻ ∫_a^z g(x) dx + lim_z→x⁺ ∫_z^b g(x) dx

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Si chiama differenziale un'equazione che ha per incognita una funzione y = f(x) e che stabilisce una relazione fra la variabile indipendente x, la funzione f(x) e almeno uno delle sue derivate f'(x) o f''(x).

EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI

Un’equazione differenziale del primo ordine è detta a variabili separabili quando può esser scritta nella forma y' = g(y)⋅h(x) con f e h.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE

Un’equazione differenziale del primo ordine si dice lineare quando la funzione incognita y e la sua derivata y' compaiono in termini di 1^o grado.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL n^o ORDINE

È riconducibile alla forma F(x, y, y', y'') = 0

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL n^o ORDINE COMPLETE A COEFF. COSTANTI

y"+ay'+cy=h(x)

Per la risolte si integra due volte.

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

CASO I

log_a[β(x)] ≥ 0 ⟺ {β(x) > 0} u > 1 log_a[β(x)] ≥ 0 ⟺ log_a[β(x)] > log_a(1) ⟺ β(x) > 1 Se β&gs;p(x) = 0 Se β(x) = 1 v ≠ a &gs;p 1 Le Soluzioni sono quelle che è tutto positivo.

CASO III

log_a[β(x)] Σ △ = {β(x) > 0} d >1                     Σ ● = {β(x) > 0} d > 1 Σ f(x)= 0 α ● u > 1 Σ β(x) > 0 c log_α(a)^{5  > log_α(q)} log_a(β(x)) Σ log ₂ g(x)^{[1 Ω_α c]}

Soluzioni: Sistemi: Tutto Positivo.

INTEGRALE CON CAM. QUADRATO

∫x √Δx narco △> 0. ∑ kx² 2a Δ guz² x + (z_z - x + b² × Δ x₂) - Δ a²⁉