Lezioni, Analisi Matematica

Funzione

Dato due sottoinsiemi A e B (non vuoti) dei numeri reali, si definisce funzione una relazione che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

Classificazione delle funzioni

Le funzioni possono classificare in:

• Algebriche (contiene le operazioni algebriche) e si divide in:
  • Razionali
  • Irrazionali
  • Intere
  • Frazzionali
• Trascendenti:
  • Logaritmica
  • Esponenziale

Dominio

Il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che si possono assegnare alla variabile indipendente senza che la funzione perda di significato. Esempi di domini:

• D = R
• D: x ≠ 0
• √(x) ≥ 0
• x > 0

Tipi di funzioni

Esempi di funzioni:

• y = g(x) / x
• y = √(x)
• y = log₁₀(x)
• y = x² (x ≥ 0)

Funzione crescente - decrescente

Una funzione y = f(x) con dominio crescente (DCR) si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, se comunque raccolti x₁ e x₂ con x₁ < x₂ ——— f(x₁) < f(x₂).

Decrescente: x₁ < x₂ ——> f(x₁) > f(x₂).

Funzione pari - dispari

Una funzione y = f(x) si definisce pari se f(−x) = f(x).

Dispari se f(−x) = −f(x).

Intervallo

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (illimitato) o a un segmento (limitato) della retta reale. Può essere chiuso o aperto.

Intorno completo

Dato un numero reale x₀, si definisce intorno completo di x₀ un qualunque intervallo aperto I(x₀) contenente x₀.

I(x₀):] x₀ - α, x₀ + α [.

Intorno circolare

Dato un numero reale x₀ e un numero reale positivo ε, si chiama intorno circolare di x₀ di raggio ε l'intervallo aperto I_ε(x₀) di centro x₀ e raggio ε.

Punto isolato

Se x₀ è un punto (numero reale) appartenente a un sottoinsieme A di R. Si dice che x₀ è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I(x₀) che non contiene altri elementi di A all'infuori da x₀.

Punto di accumulazione

Si dice che il numero reale x₀ è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x₀ contiene infiniti punti di A.

Limiti

Limite per x ➝ x₀

Sia f(x) una funzione con DCR. Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l, per x ➝ x₀ e si scrive:

lim_{x ➝ x0} f(x) = l

Quando comunque scelta due numeri (uno) reali positivi ε, risulta possibile determinare un intorno completo I(x) tale che si verifichi: per ogni x ∈ I con x ≠ x₀ la relazione |f(x) - l| < ε

Limite per eccesso e per difetto

Se g(x) è una funzione che ha per limite il numero reale l per x ➝ x₀ e inoltre, in un intorno di x₀, con x ➝ x₀ assume sempre valori maggiori di l, si dice che g(x) tende a l per eccesso e si scrive:

lim_{x ➝ x0} g(x) = l₊

Se assume sempre valori minori di l, allora g(x) tende a l per difetto:

lim_{x ➝ x0} g(x) = l_-

Limite finito per x ➝ ∞

Si dice che la funzione g(x) ha limite il numero reale l, per x ➝ ∞ e si scrive:

lim_{x ➝ ∞} g(x) = l

Quando, comunque, si scelga un numero reale Positivo ε sia possibile determinare un intorno completo di x₀ tale che risulti: per ogni x ∈ I le relazioni |g(x) - ε| ∀ x ε r > 0 ∃I(x₀) ; ∀ x ∈ o / [g(x) - ε |

Limite +∞ per x → x_o

Sia g(x) una funzione non definita in x_o. Si dice che g(x) tende a +∞ per x → x_o e si scrive:

lim x→ x_o g(x) = +∞

quando per ogni numero reale positivo M, si può determinare un intorno completo I(x_o) tale da risulti g(x) > 0 ∀ x ∈ I . x ≠ x₀

Limite per x → ∞ di f(g) = ∞

Si dice che la funzione g(x) ha per limite ∞ per x → ∞ e si scrive:

lim_{x → ∞} g(x) = ∞ quando: ∀ε>0 ∃I(x₀) | g(y) > ⊃ con x ≠ x₀ & ε I

Teoremi sui limiti

Teorema di Unicità