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ANALISI MATEMATICA
Indice
INSIEMI ........................................... pag. 1
PRINCIPIO DI INDUZIONE .... pag. 8
NUMERI COMPLESSI .................. pag. 9
FUNZIONI ................................... pag. 14
FUNZIONI REALI ......................... pag. 16
FUNZIONI COMPLESSE ............ pag. 23
FUNZIONI REALI (BIS) ............... pag. 32
SUCCESSIONI ............................ pag. 40
LIMITE DI SUCCESSIONI ......... pag. 42
LIMITE DI FUNZIONI ................. pag. 54
RAZIONALIZZAZIONE .............. pag. 57
SVILUPPINI ................................ pag. 58
DERIVATE .................................... pag. 74
FORMULA DI TAYLOR .............. pag. 84
SERIE NUMERICHE .................... pag. 97
STUDIO DI FUNZIONE ............. pag. 101
INTEGRALI ................................ pag. 121
INTEGRALI IMPROPRI ............. pag. 138
TABELLE RIASSUNTIVE ........... pag. 144
1. INSIEMI
Si definisce insieme un gruppo di elementi che hanno una caratteristica comune. Per esempio, per definire l'insieme l'insieme degli alunni di questa classe si può scrivere:
- per elencazione: {a1, a2, a3, ..., an} sono gli elementi dell'insieme;
- per proprietà: A = {x | x è un alunno di questa classe}.
1.1 NOTAZIONI
Prima di iniziare la spiegazione vera e propria introduciamo alcune notazioni base utilizzate in questa branca della matematica:
- x ∈ A → l'elemento x è contenuto dell'insieme A;
- x ∉ A → si legge "x non appartiene ad A";
- A ⊆ B → ogni elemento che è contenuto in A è parte di B, ossia A è “sottoinsieme” di B;
- A ⊂ B → tutto ciò che è in A è in sottoinsieme di B, ma A ≠ B;
- ∅ → indica l'insieme nullo, cioè non contenente alcun elemento.
N.B.: Generalmente, oltre a note, si usano le lettere maiuscole per indicare gli insiemi (A, B, ..., Z) e le lettere minuscole per gli elementi (a, b, ..., z).
1.2 OPERAZIONI SU INSIEMI
Trattiamo qui le operazioni più utilizzate sugli insiemi.
1.2.1 UNIONE
Se A e B sono due insiemi, A ∪ B è l’insieme che contiene tutti gli elementi sia di A che di B e si indica con il simbolo:
A ∪ B
La definizione formale (ma non troppo logica) è:
A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}
1.2.2 INTERSEZIONE
L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme che contiene gli elementi che sono contemporaneamente in A e in B e si indica con il simbolo:
A ∩ B
Formalmente si definisce come:
A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}
Forma esponenziale:
In questa scrittura θ è l’angolo che corrisponde ad z della forma trigonometrica, r è il modulo e e è il per iθ
N.B. È ovviamente possibile passare da un forma all'altra:
- Cartesiana ↔ Trigonometrica
- a = r cosφ ↔ con φ e φ dati
- b = r sinφ ↔ con a e b dati
- Trigonometrica ↔ Esponenziale
- Si recuperano e e φ della trigonometrica (o della esponenziale)
Se i numeri reali possono essere rappresentati su di una retta, i numeri complessi possono rappresentarsi in quello che è detto piano di Gauss. Cioè per i loro versi similari a questa affermazione. […]e il piano di Gauss […]o degli oggetti di rappresentazione. Quindi dato un numero z ∈ ℂ tale che z = a + ib, lo rappresenteremo così:
Da notare che il piano di Gauss usa (la più gli) assi x e y uno rispettivamente la retta dei reali R e l’asse immaginario. Inoltre, tracciando un parallelo al centro di un piano possiamo avere un leggero e affaticato del modulo r e dell’angolo φ già visto alle forme di trigonometrica esponenziale e capire perché il base delle relazioni da percorso sulle equazioni trigonometriche e cosφ e i = sinφ.
N.B. Sui numeri facciamo una piccola precisazione: abbiamo detto che i² = -1, ma vediamo potenze successive cosa succede?
3.1.3 Rapporto
Utilizziamo z̀ e ẁ come definiti fin'ora; il rapporto z̀/ẁ richiede che prima troviamo 1/ẁ; brutalmente potremmo definirlo come:
z = a + ib 1/w = 1/w * 1/cid
Un generico problema sarà stabilire quando vale (c-id ≠ 0, quindi?), così possiamo fare i seguenti calcoli:
1/c-id * (c-id)/(c-id) = c-id/c²+d²
Il segno al denominatore è dovuto a c-id w = (x+iy), come definire quindi a + ib. A descrizione più precisamente quando c²+d² ≠ 0, c-id è un numero diverso da zero, e quindi quando w e c-id che è proprio la condizione necessaria perchè 2/ẁ abbia senso.
Quindi ora possiamo dare la formula per il rapporto:
- z = (ac+b)(-cid) = (ac+bd + (-1)(bc-ad))
- (c-id)(c-id) = c²+d²
3.2 Coniugato
Sia definito z ℂ tale z = a+ib, si dice coniugato di z̀ il numero
z̅ = a-ib
Ricordandosi la rappresentazione grafica dei numeri complessi, z̅ è il simmetrico rispetto all'asse R di z.
3.2.1 Proprietà
Ci sono un paio di proprietà dei coniugati che possono risultare utili:
- coniugato del coniugato:
- (z̅) ̅ = z
- commutatività rispetto alle operazioni algebriche:
- z̅+w = z+w̅
- z̅-w = z-w̅
- z̅·w = z·w̅
- z̅/w = z/w̅
- (1/z)̅ = 1/z̅
4.2.2 Funzioni Surgettive
Una funzione f: A→B si dice surgettiva se, dato un ogni elemento di B, ∃a∈A: f(a)=b elemento di B, elemente di Af(a)
formula formalmente:
(∀b∈B.(∃a∈A.f(a)=b))
4.2.3 Funzioni Bigettive
Una funzione f: A→B si dice bigettive se se le ovvero se la funzione invoka funzioni surgettive per ogni elemento di B &existe; seF&existe;< formulamenta:
(∀b∈B.(∃a∈A.f(a)=b)) ∧ (∀d1, d2∈A. f(d1)=f(d2)⇒ d1=d2)
4.3 Teorema di Invertibilita
Una funzione f: A→B è invertibile se e bigettiva ss è l’invertibile, cioè se eiste una funzione g: B→A tale che
g(f(a)) = a
f(g(b)) = b
con a∈A ⋁b∈B.
Attenzione però, una funzione non è sempre invertibile: la è solo se ad ogni a> è da B corrisponde un solo elemento di A, cioí, è invertibile ssa se è biiettiva.
4.4 Immagine e Controimmagine
Sia di definita una funzione f: A→B e sia C un sottoinsieme di A e D un sottoinsieme di B.
4.4.1 Immagine
Si definisce imagine di C l’insieme dei punti in B raggiunti da f(a) sta a∈C.
Quindi esempio Di A crote
Im(A) = {f(c) | ∃a∈A
4.4.2 Controimmagine
Si definisce invece, controimmagine di D l’insieme dei punti in A in cui immagine sono i punti in B:
R ( B) = { a | f(a) ∈ B } ⊆A
n.s. In simbol a l'insieme in dealla afftrma y no è la funzione inversa che per anoche non esister frato.
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