Analisi Matematica - Appunti

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Appunti di Analisi uno per l'esame del prof. A. Maffei del cdl in Informatica dell'Università di Pisa, presi a partire dalle lezioni del prof. M. Gobbino, docente di Ingegneria a Pisa. Il …

Esame Analisi matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Gobbino Massimo

Università Università degli Studi di Pisa

A.A. 2014-2015

149 pagine

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Estratto del documento

ANALISI MATEMATICA

Indice
INSIEMI .......................................... pag. 1
PRINCIPIO DI INDUZIONE ............................. pag. 8
NUMERI COMPLESSI ................................... pag. 9
FUNZIONI .......................................... pag. 14
FUNZIONI REALI .................................... pag. 16
FUNZIONI COMPLESSE ................................ pag. 23
FUNZIONI REALI (bis) ............................... pag. 28
SUCCESSIONI ....................................... pag. 32
LIMITI DI SUCCESSIONI .............................. pag. 42
LIMITI DI FUNZIONI ................................ pag. 46
RAZIONALIZZAZIONI ................................. pag. 54
SVILUPPI .......................................... pag. 57
DERIVATE .......................................... pag. 58
FORMULA DI TAYLOR ................................. pag. 74
SERIE NUMERICHE ................................... pag. 84
STUDIO DI FUNZIONE ................................ pag. 97
INTEGRALI ......................................... pag. 101
INTEGRALI IMPROPRI ................................ pag. 121
TABELLE RIASSUNTIVE ............................... pag. 128

Indice

INSIEMI ............................. pag. 1
PRINCIPIO DI INDUZIONE ...... pag. 8
NUMERI COMPLESSI ........... pag. 9
FUNZIONI .......................... pag. 14
FUNZIONI REALI .................. pag. 16
FUNZIONI COMPLESSE ......... pag. 23
FUNZIONI REALI (bis) ........... pag. 38
SUCCESSIONI ..................... pag. 42
LIMITI DI SUCCESSIONI ...... pag. 44
LIMITI DI FUNZIONI .............. pag. 54
RAZIONALIZZAZIONI .......... pag. 57
SVILUPPINI ....................... pag. 58
DERIVATE .......................... pag. 74
FORMULA DI TAYLOR ........ pag. 84
SERIE NUMERICHE ............. pag. 97
STUDIO DI FUNZIONE ......... pag. 101
INTEGRALI ....................... pag. 121
INTEGRALI IMPROPRI ......... pag. 138
TABELLE RIASSUNTIVE ...... pag. 144

4. INSIEMI

Si definisce insieme un gruppo di elementi, che abbiamo una data caratteristica in comune. Si può definire i vari insiemi, l'insieme degli elementi con gli stessi criteri:

per elenco: A = {a₁, a₂, …} sono tutti gli elementi che hanno la proprietà (confini) A;
per proprietà: A {x| x ha caratter.} cioè si specifica la proprietà che accomuna gli elementi dell'insieme.

4.1 NOTAZIONI

Prima di iniziare la spiegazione veri e propria introduciamo alcune notazioni base degli insiemi:

x ∈ A ↔ indica che l'elemento x ∈ dell'insieme A, e si legge "x appartiene ad A";
x ∉ A ↔ indica che l'elemento x manca ad A;
A ⊂ B → vuol dire che A è un sottoinsieme di B, si legge "A è un sottoinsieme di B";
∅ → indica il insieme vuoto cioè con contenuto zero elementi.

N.B.: Generalmente si usano le lettere maiuscole per indicare gli insiemi (A, B, C, …) e si usano le minuscole per gli elementi (a, b, c, …).

4.2 OPERAZIONI SU INSIEMI

Tratteremo qui le operazioni più utili sugli insiemi.

4.2.1 UNIONE

Se ci esistono due insiemi A e B, e l'insieme che include tutti gli elementi sia in A che in B, si indica con il simbolo:

A ∪ B

la definizione formale (in linguaggio logico) è

A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}

4.2.2 INTERSEZIONE

L'intersezione di due insiemi che contengono gli elementi che sono contemporaneamente sia in A che in B, si indica con:

A ∩ B

Formalmente si definisce come:

A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}

1.2.3 Differenza

La differenza tra un insieme A ed un insieme B è l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B e si indica con

A \ B

Formalmente si definisce come

A \ B = {∀ x · x ∈ A ⋀ x ∉ B}

1.2.4 Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme delle coppie (a,b) tali che a ∈ A ⋀ b ∈ B e si indica con

A × B

La definizione formale è

A × B = {∀ (a,b) · a ∈ A ⋀ b ∈ B}

N.B. Se nella definizione di un insieme ne cambiamo gli ordini degli elementi otteniamo un altro insieme.

Ad esempio se A = {0, 1} allora è {0, 1} ≠ {0, 1} e {1, 0} = {0, 1}

1.2.5 Cardinalità

Si definisce cardinalità di un insieme A il numero di elementi contenuti nell'insieme e si indica con

|A|

La cardinalità di un prodotto cartesiano è dato dal prodotto delle cardinalità

|A × B| = |A| |B|

1.2.6 Insieme delle parti

L'insieme delle parti di un insieme A

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