Lezioni, Analisi Matematica 1

Concetti Fondamentali

Insiemi Numerici

• N = numeri naturali = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
• Z = numeri interi = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
• Q = numeri razionali = {^p⁄_q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}
• R = numeri reali = {p α₀α₁α₂α₃..., p ∈ Z, α_k ∈ {0, 1, ..., 9} ∀ k ∈ N}

Proprietà di R

1. In R con "+" e "×" valgono le regole dell'algebra. Es: x, y, z ∈ R allora:
   • (x + y) + z = x + (y + z) — Proprietà Associativa
   • x × (y + z) = x × y + x × z — Proprietà Distributiva
   • x + y = y + x — Proprietà Commutativa
   • x × y = y × x — Proprietà Commutativa
   • (R, +, ×) è un campo.
2. In R esiste un ordinamento Totale, cioè:
   • x < y
   • x = y
   • y < x

   Oss: anche Q è un campo ordinato.

3. Completo: R è completo, cioè le sue valli non ha buchi.

   √2 ≈ 2,718 = numero di Nepero ∉ Q, ∈ R

   π ≈ 3,14159 ∉ Q, ∈ R

... del R servono o contesto di "maggiore" ...

... il " estremo superiore".

Sua A R, allora:

• a) Se R si dice maggiore adi A se ² maggiore uniforme aquale a (s.ca) V ceA.
• b) Se R si dice estremo superiore di A se S S per maggiore un qulao.

Si è un membro per quelo

1. Notayoni .S = supA ("iequale per argfedor")

c) Se So= sup A E A allore Se So si dicome anche mo supre settore di A.

1. Notayoni: So= max A

Esempio : A= { -1, [ } = {x.ER, 0

(a+b)⁰=1

(a+b)¹=a+b

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5a⁶+b⁵

Binomio di Newton

∀m∈ℕ

(a+b)^m=_k=0^m∑^m C_ka^m-kb^k

∑_k=1^m a_k=a₁+a₂+a₃+...+a_m

∑_k=1^m (k-1)²=0² 1² 2² 3² 5²

Proprietà sommatorie

a) c)a_k = c∑_k=1^m a_kc∑_k=1^m

b)_k=1^m (a_k+b_k) = ∑_k=1^m a_k + ∑_k=1^m b_k

c) ~~ n&mle;m  

∑_k=1^m a_k=∑_k=m+1^m a_k

Esercizio: Sapendo che ∑_k=1^m m(m+1) trova che ∑_k=1^m (2k-1) = m ²

∑_k=1^m2k =²∑_k=1^m k-∑_k=1² m(m+1)-m) m ² + m/⌊

Limiti e Ordine

Teorema del Confronto: Se \( a_n \leq b_n \, \forall n \in \mathbb{N} \) e \( a_n \rightarrow l_1 \), \( b_n \rightarrow l_2 \) \( (n \rightarrow +\infty) \), allora:

\( l_1 \leq l_2 \)

Teorema dei Carabinieri: Se infatti \( a_n \leq c_n \leq b_n \, \forall n \in \mathbb{N} \) e ambi \( l_1 = l_2 \), allora:

\( \lim_{n \rightarrow +\infty} c_n = l = l_1 \)

Limiti Notevoli

• \( a > 1 \quad b > 0 \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\log_a n}{n^b} = 0 \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^{m}}{a^n} = 0 \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n!}{n^n} = 0 \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} n^b = \begin{cases} +\infty & b > 0 \\ 1 & b = 0 \\ 0 & b < 0 \end{cases} \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} a^n = \begin{cases} +\infty & a > 1 \\ 0 & -1 < a < 1 \\ 1 & a = 1 \\ \text{X} & a \leq -1 \end{cases} \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{b^{n}} = 1 \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^{n} e^{-n}}{\sqrt{2\pi n}} = 1 \)
• \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = 1 \)

f^-1: Y → X (possibile solo se la funzione è biiettiva).

Quindi f: X → Y è biiettiva ⇔ ∃ g: Y → X t.c.

• g ∘ f(x) = x ∀ x ∈ X
• f ∘ g(y) = y ∀ y ∈ Y

N.B.: f^-1 = g

Altre proprietà di funzioni reali

1. f: X ⊆ R → R si chiama:
• Superiormente limitata: se ∃ H ∈ R t.c. f(x) ≤ H ∀ x ∈ X;
• Inferiormente limitata: se ∃ m ∈ R t.c. f(x) ≥ m ∀ x ∈ X;
• Limitata: se è superiormente e inferiormente limitata, cioè se ∃ m, H ∈ R t.c. m ≤ f(x) ≤ H ∀ x ∈ X.
2. Simmetria del grafico

X ⊆ R t.c. x ∈ X ⇔ -x ∈ X. Allora f: X → R si chiama:

• Pari: se f(-x) = f(x) ∀ x ∈ X;
• Dispari: se f(-x) = -f(x) ∀ x ∈ X.

Os.: f pari ⇔ G(f) è simmetrico rispetto all'asse y.

f dispari ⇔ G(f) è simmetrico rispetto all'origine.

Os.: n ∈ N allora f: R → R, f(x) = xⁿ è:

• Pari, se n è pari
• Dispari, se n è dispari

3. Funzioni monotone

f: X ⊆ R → R si chiama

• Strettamente crescente se ∀ x₁, x₂ ∈ X, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂);
• Strettamente decrescente se ∀ x₁, x₂ ∈ X, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂);

Monotona se è crescente oppure decrescente.

4. Funzioni periodiche

Una X ⊆ R e ∃ T > 0 t.c. x ∈ X ⇒ x - T ∈ X (e (x) + T, -x + 2T ∈ X t.c. T ∀ m ∈ N)

Allora f: X → R si chiama periodica di periodo (le più piccolo tale che T è T ed M _m X e N)

funzione inversa. Se g: X → Y è invertibile allora per g: Y → X segue:

(f^-1 ∘ f)(x) = x   cioè   f^-1 ∘ f = id_X

(f ∘ f^-1)(y) = y   cioè   f ∘ f^-1 = id_Y

LIMITI PER LE FUNZIONI COMPOSTE

Se f: X ⊆ ℝ → Y ⊆ ℝ, g: Y ⊆ ℝ → ℝ e c ∈ ℝ t.c.

1. lim_x→c f(x) = y₀ ∈ Y
2. g è continua in y₀
3. ∃ δ > 0 t.c. g(x) ≠ y₀   pe   x ∈ X con 0 ≠ |x - c| < δ

allora:

lim_x→c g(f(x)) = l = lim_y→y0 g(y)

LIMITI E ORDINAMENTO

Se f, g: X ⊆ ℝ → ℝ e c ∈ ℝ t.c.

1. lim_x→c f(x) = l_f ∈ ℝ   lim_x→c g(x) = l_g ∈ ℝ
2. f(x) ≤ g(x)  ∀x ∈ X

Allora:

l_f ≤ l_g   Teorema del Confronto

Se, inoltre, h: X → ℝ t.c.

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)  ∀x ∈ X

l_f = l_g = l

allora anche

lim_x→c h(x) = l_h = l   (Teorema dei Carabinieri)

3 LIMITI NOTEVOLI

1. lim_x→0 ^sin(x)/_x = 1
2. lim_x→0 ^{1 - cos(x)}/_x = ¹/₂
3. lim_n→+∞ ^{x2 - x}/_{x³ + 1} = 1