Analisi matematica 1 - Lezioni

Indice

1 Lezione n.ro 1 - 26 settembre 2011

1.1 Informazioni relative al corso

1.2 Testi consigliati

2 Lezione n.ro 2 - 27 settembre 2011

3 Lezione n.ro 3 - 29 settembre 2011

3.1 Il valore assoluto

4 Lezione n.ro 4 - 3 ottobre 2011

4.1 I numeri naturali ed il principio di induzione

4.2 I numeri complessi

5 Lezione n.ro 5 - 4 ottobre 2011

5.1 I numeri complessi - continua

5.2 Assioma di Dedekind

12 INDICE

Capitolo 1

Lezione n.ro 1 - 26 settembre 2011

1.1 Informazioni relative al corso

• Docente del corso: Marino BELLONI

• (web page: http://people.math.unipr.it/marino.belloni/)

• Esercitazioni

• Prof.ssa Deanna FIORANI (matricole pari),

• Prof.ssa Viviana DOLDI (matricole dispari)

• sulla pagina web si trova

L'orario dettagliato con le aule • per contattare il docente si prega di utilizzare la posta elettronica marino.belloni@unipr.it

1.2 Testi consigliati

Le lezioni verranno tutte messe online, dunque non è strettamente necessario utilizzare un testo. È invece richiesto l'utilizzo della simbologia.

Capitolo 1. Lezione n.ro 1 - 26 settembre 2011 introdotta dal docente nelle lezioni. Qui di seguito elencherò una lista di testi che possono essere di valido aiuto per gli studenti per la preparazione dell'esame. Si noti che il testo di Rudin e il testo di Demidovich esistono anche in altre lingue.

Testi di teoria

• Tom APOSTOL "Calcolo vol. 1 - Analisi 1" Boringhieri
• Enrico GIUSTI "Analisi matematica vol.1" Boringhieri
• Walter RUDIN "Principi di Analisi Matematica" Mc Graw-Hill
• Emilio ACERBI, Giuseppe BUTTAZZO "Analisi matematica ABC.1-Funzioni di una variabile" Pitagora
• Emilio ACERBI,

prendano x e y in R

• |x| ≤ -xy se e soltanto se < y < x;
• |x| ≥ ≥ ≥y se e soltanto se [(x y) o (-x y)];

Infine ci sono le due disuguaglianze triangolari

Capitolo 3. Lezione n.ro 3 - 29 settembre 2011

• |x ≤ |x| |y| -|x| ≤ ≤ |x| -|y| ≤ ≤ |y|....);+ y| + (infatti x e x;
• ||x| - |y|| ≤ |x - |x| |y - ≤ |y| |x -y| (infatti = + (x y)| + y|...).

|x - |2x - -Esercizio 3.1.1 Determinare le soluzioni di 3| = 3| 2|x - |x -

Esercizio 3.1.2 Determinare le soluzioni di 1| = + 2| 12|2x - |x -

Esercizio 3.1.3 Determinare le soluzioni di 3|| < 1

Si possono poi definire|f | + f+

• f = , la“parte positiva di f ”
• 2|f | - f-
• f = , la “parte negativa di f ”

Capitolo 4

Lezione n.ro 4 - 3 ottobre2011

4.1 I numeri naturali ed il principio di in-duzione

Esercizio 4.1.1 Calcolare 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n∈]

Esercizio 4.1.2

Dimostrare che, se q > 1, allora

n+1 - 1

q² 3^n-1 + q^n-2 + q^n-3 + ... + q + 1 = -1

q ∈ per ogni n ∈ N.

Assioma 4.1.3 (Il principio di induzione):

Dato S che soddisfa

N• ∈ 0 S;

• ∈ ∈ n S implica (n + 1) S

allora S = N.

Assioma 4.1.4 (Il principio del buon ordinamento):

Dato un qual-⊂ 6 ∅,siasi A A = esiste m = min AN,

Capitolo 4. Lezione n.ro 4 - 3 ottobre 2011

4.2 I numeri complessi

√ 2 - 1 - 1)

(ovvero ı̇ = l'unità immaginaria)

Iniziamo con il definire, avendo posto ı̇ = immaginaria, l'insieme dei numeri complessi

{a ∈ = a + ı̇b : a, b ∈ C R}.

• ⊂ 6 ∈ ma ı̇ ∈ R C, R;

• sono definite su una somma (analoga alla somma tra vettori in C²) e un prodotto (che dipende in modo essenziale dal fatto che R² -1);

ı̇ =

• la somma ed il prodotto definiti su C si riducono alla somma e prodotto tra numeri reali non appena la parte immaginaria dei numeri è nulla;

• divisione su C

razionalizzazione;

C• su non esiste alcun ordine compatibile con le operazioni

C• parte reale e parte immaginaria di un numero complesso

• −se z = a + ı̇b, allora z = a ı̇b è il “coniugato di z”

√ 2 2• |z|se z = a + ı̇b, = a + b è il “modulo di z” (quando siamo insi ritrova il valore assoluto)R, 2

• |z| ·= z z

• |z| | − |z|= z| =

• |=z|} ≤ |z|max{|<z|,

• |z| ≤ |<z| |=z|+

• |z ≤ |z| |w|+ w| +

• |z · |z||w|w| = −

Esercizio 4.2.1 Determinare le soluzioni di 2z + ı̇ = ı̇z 1.2

Esercizio 4.2.2 Determinare le soluzioni di z + 1 = 0 (in due modi?)2 −2z

Esercizio 4.2.3 Determinare le soluzioni di z +5 = 0 (in 2 modi?)