Lezioni, Analisi Matematica 1

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Appunti di Analisi matematica I per l'esame del professor Peirone. All'interno del documento sono presenti tutti gli argomenti trattati di analisi matematica 1 con le dimostrazioni svolte in …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Peirone Roberto

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2013-2014

71 pagine

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Estratto del documento

Richiami sugli insiemi e definizione di N, Z, Q e R

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}

Q = {^p/_q | p, q ∈ Z}, q ≠ 0

Equazioni di primo e secondo grado

ax + b > 0 → x = ^-b/_a, a ≠ 0

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 → x₁, x₂ = ^{-b ± √b² - 4ac} / _2a

Formula ridotta delle equazioni di secondo grado

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

4a(ax² + bx + c) = 0

4ax² + 4abx + 4ac = 0

2ax² + 4abx + 4ac - b² = 0

(2ax + b)² - b² + 4ac = 0

(2ax + b)² = b² - 4ac

2ax + b = ±√b² - 4ac

2ax = -b ± √b² - 4ac

x = ^{-b ± √b² - 4ac} / _2a

Disequazioni

Per quelle di primo grado, la scrittura è identica alle equazioni, facendo attenzione a una regola fondamentale delle disequazioni: se si moltiplica o divide per un numero negativo, si deve cambiare il verso della disequazione.

Nel caso in cui una disequazione si riconduca al prodotto di due fattori o a una frazione, si applica la regola dei segni.

Riconiugi sugli insiemi e definizione di N, Z, ℚ e ℝ

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}

ℚ = {^p/_q | p, q ∈ ℤ}, q ≠ 0

Equazioni di primo e secondo grado

ax + b > 0 ➔ x = -^b/_a, a ≠ 0

ax² + bx + c = 0 ➔ x_1,2 = -^{b ± √b² - 4ac} / _2a

Formula ridotta delle equazioni di secondo grado

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

4a(ax² + bx + c) = 0

4ax² + 4abx + 4ac = 0

4ax² + 4abx + 4ac = b² - b²

(2ax + b)² - b² + 4ac = 0

(2ax + b)² = b² - 4ac

2ax + b = ±√b² - 4ac

x = -^{b ± √b² - 4ac} / _2a

Al fine di risolvere l'equazione, si ha la necessità di diminuire di "xⁿ". Si cerca di costruire il quadrato di binomio moltiplicando tutto per _a e poi aggiungendo e togliendo b².

Formula ridotta: b² = 0.

k_1,2 = -^b/_2a ± √^{b² - ac}/_a

Disequazioni

Nel caso in cui una disequazione si concluda al prodotto di due fattori o a una frazione, si applica la regola dei segni.

Valore assoluto

|x| = x se x ≥ 0, -x se x < 0

|x| ≥ 0
|x| = 0 ⇔ x = 0
|xy| = |x||y|
|x|/|y| = |x|/|y| (y ≠ 0)
|xⁿ| = |x|ⁿ
|x+y| ≤ |x| + |y| (Disuguaglianza triangolare)

DIT: -|x| ≤ x ≤ |x| e -|y| ≤ y ≤ |y| ⇒ |x| + |y| ≤ |x| + |y|

Mi ricordi che: |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

Radici

Se n è pari: ⁿ√b esiste per x ≥ 0 ed x è risposta: ay = b e b ≥ 0 ed esiste ∀b ∈ R ed a ∈ R | aⁿ = b

√bⁿ ⇔ a > b se a, b > 1, a < b se 0 < a, b < 1

aⁿ > a^m ⇔ n > m se a > 1, n < m se 0 < a < 1

Polinomi

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀x⁰, a_n ∈ ℝ

Divisione con resto tra polinomi

Dato P e T polinomi, dove g ...

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