Lezioni, Analisi Matematica 1

Lezione 1

Relazioni negli insiemi e definizione di N, Z, Q e R.

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}

Q = {^f⁄_a | f, a ∈ Z}, a ≠ 0

Equazioni di primo e secondo grado:

ax + b = 0 → x = -^b⁄_a

ax² + bx + c = 0x_1,2 = -^{b ± √(b² - 4ac)}⁄_2a

Dim (formula ridotta eq. di 2^o grado):

ax² + bx + c = 0 , a ≠ 0

al fine di risolvere l'equazionesi ha la necessita di diminuireil "bx" con il fine di costruireil quadrato si incomincia moltiplicandotutto per 4a e poi aggiungendo etogliendo b².

FORMULA RIDOTTA: bx b² ≥ 0.

x_1,2 = -^{b ± √ b²/4 - ac}⁄_a

Disequazioni

Per quelle di primo grado la soluzione e identica alle equazionifacendo attenzione ad una regola fondamentale delle disequazioni:se si moltiplica o divide per un numero negativo, si deve cambiareil verso della disequazione.

Nel caso in cui una disequazione si riconduce al prodotto didue fattori o ad una frazione, si applica la regola dei segni.

Lezione 6 (09/10/2013)

• Definizione assiomatica dei numeri reali

Dato un insieme R su cui sono definite +, ·, e una relazione ≤ (R, +, ·, ≤) valgono le seguenti proprietà (assiomi):

1. (a+b)+c = a+(b+c)
2. a+b = b+a
3. ∃0∈R : a+0 = a ∀a∈R
4. ∀a∈R ∃–a∈R : a+(–a) = 0
5. (a·b)·c = a·(b·c)
6. a·b = b·a
7. ∃1∈R : a·1 = a
8. ∀a≠0∈R ∃a⁻¹(= 1/a) : a·(1/a) = 1
9. a·(b+c) = ab+ac
10. ∀a, b, c∈R, b≺a => a−b
11. ∀a, b, c∈R, b≺a => ab↔ac
12. ∀a∈R ∀b∈R ab oppure ba
13. a≺b => a≻c => b≻c
14. a≺b => a+c ≺ b+c
15. b≻0, b≻0 => ab≻0

Tutte queste proprietà valgono anche per Q quindi è necessaria un'ultima proprietà che distingue R da Q. Per ordine la scriverò di seguito, ma per enunciarla sono necessarie le premesse che verranno formulate subito dopo.

16. Se A⊆R, A≠∅, A sup. limitato => ∃ SupA

• Definizioni:

• a−b⇒a+(−b)
• a/b = a·1/b b≠0
• a≺b⇔a≻b⇔a+b
• a≻b⇔b≺a
• a≻b⇔b≻a

LEZIONE 8 (14-10-2013)

• Principio di induzione:

Se si deve dimostrare che 2ⁿ < 3ⁿ ∀n ∈ N si può procedere assumendo vero n = 2 e poi moltiplicare per 2 e 3 infinite e per 3 e dimostrare:

• 2² < 3²
• 2.2² < 3.3² ⇒ 2³ < 3³ e così via

Questo in effetti potrebbe essere una dimostrazione, ma non è preciso per cui si usa il principio di induzione:

• Se P una proprietà che dipende da m, x P(1) è vero, allora P(m) ⇒ P(m+1) ∀ n ∈ N. Allora P(m) è vero ∀m ∈ N.

Dimostriamo per induzione che P(n): 2ⁿ < 3ⁿ:

• P(1): 2¹ = 2 < 3 = 3¹ x2 < 3² è vero!

Supponiamo che P(m) sia vera, ossia 2^m < 3^m, proviamo che sia vero P(m+1)

P(m+1) = 2^m+1 = 3^m P(m)P(m+1) = 2.2^m = 3.3^m ⇒ P(m+1) è vero.

• IN GENERALE:

[La P una proprietà che dipende da n, x P(1) ⇐ ∀k <≡ N) è vero.]

• P(m) ⇒ ∀P(m+1) ∈ N, m ≤ k, allora P(m) è vero ∀m ∈ N, m ≥ k

• Disuguagliantza di Bernoulli

(1 + a)^m l + ma ∀a ≥ 1

Dim (per induzione):

P(0) : (1+a) ₀ ≥ 1+a a ⇒ > 1 P(0) è vera.

P(m) ⇒ P(m+1) quindi:

Supponiamo vera P(m) : (1+a)^m ≥ ma, proviamo che P(m+1) : (1+a)^m ≥ l+(ma).

(1+a)^m = (1+a)^m(1+a) = 1+ma+ma² = l+(ma)a+ma² ⇒ l+(ma)a+ma² + ma ≥ l+(ma)a)

• Sommatoria:

∑_k=m^m c_k = c_m +c_m+1+c_m+2 .... + c_m

Lezione 10

Complessi

Preliminare: A×B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B} Il prodotto cartesiano

(a,b) = (a',b') ⟺ a = a' ∧ b = b'

Numeri Complessi

Sono coppie ordinate (a,b) ∈ ℝ×ℝ costruiti e introdotti per colmare le radici di numeri negativi. Si definisce "unità immaginaria" un numero tale che i² = -1.

Un numero complesso può anche essere rappresentato come a+ib = (a,b) ∈ ℂ.

Somma e Prodotto:

• (a+ib) + (a'+ib') = (a+a') + i(b+b')
• (a+ib)(a'+ib') = aa' + iab' + ia'b + i²bb' = aa' - bb' + i(ab' + a'b)
• (a,b) + (a',b') = (a+a', b+b')
• (a,b)(a',b') = (aa'-bb', ab'+a'b)

Proprietà:

• (a,b) + (0,0) = (a,b)
• (a,b) * (1,0) = (a,b)
• (0,1) * (0,1) = (-1,0)
• (a,0)(a',b') = (aa', ab')
• (0,1) = i
• (a,b) = (a,0) + i(b,0) = a + ib
• (a+ib)(-a-ib) = 0

z = x + iy x = Re z y = Im z θ = arg z |z| = |x+iy| = √(x²+y²) z̅ = x - iy

Lezione 13 (22-10-2013)

• Ultimi prerequisiti prima di analisi.
• Numeri primi.
  • ∀ n ∈ ℕ\{0,1}
  • n = p₁^α1p₂^α2...p_k^αk
  • ∀ i p_i primi e α₁, α₂,...,α_k ∈ ℕ
  • I primi sono infiniti.
• Logaritmo:
  • Siano a>0, a≠1, b>0, si chiama log_ab quel reale c tale che
  • a^c = b
  • Esempio: 2³ = 8 → 3 = log₂8

(Proprietà dei logaritmi)

1. log_a1 = 0
2. log_a(b₁b₂) = log_ab₁ + log_ab₂
3. log_a(b^c) = c log_ab
4. log_ac = log_bc / log_ba

Dim:

1. log_a(bc) = log_ab + log_ac
2. bc = ... a^{log a b}a^{log a c} = bc
3. dimostra come lo 1
4. log_a(b^c) = c log_ab
5. b^c = b^c → a^{log a (bc)} = b^c
6. log_ac = (log_bc)(log_ab)
7. c = (log_ba)(log_ac)
8. c = 1 / (log_bc/log_ba)

Osservazione:

a_n → 0 ↔ |a_n| → 0

∀ ε > 0 ∃ j ∀ |a_n| < ε   ∀ n > j

∀ ε > 0 ∃ 3 j |a_n| < ε   ∀ n > j

Dico ♊

∃ ε > 0 |b_n| ≤ ε   poniamo dunque a_nb_n → 0

∀ ε > 0, |a_n||b_n| < ε   ∀ n > j

∃ j |a_n| < ε/2 |b_n| < ε

≤ |a_n|  |b_n| < |a_n| < ε

≤ |a_n| ≤ ε/2 3j |a_n| < ε/   ∀ n > j

Fattoriale:

m! 1 2 ... m   o n! 1  2  2! 2

per convenzione 0! 1

atto: (m+1) × m! (n+1)

a_n → 0

n!   è più veloce di αⁿ, ma più lento di αⁿ²

Teorema (Criterio del rapporto):

Se a_n → 0 e

​a_n/ a_n   x < 1

​a_n → 0 x > 1

(vale solo per le successioni)