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Funzioni in più variabili
f: A ⊆ ℝn → ℝ
z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)
prototipo n = 2 A ⊆ ℝ² → ℝ
(x, y) → z = f(x, y)
Caso del paraboloide di rotazione
z = x² + y²
Restrizione all'asse x (y = 0) è:
- z = x²
- y = 0
=> f A oppure f|x=0
Linee di livello
⊆ sottosiene del dominio che hanno quota
- {(x, y) ∈ A ⊆ ℝ : t.c. f(x, y) = k }
risolvere il sistema:
- {z = f(x, y)
- z = k}
Nel caso del paraboloide di rotazione:
- {z = x² + y²
- z = k} => x² + y² = k ~ circonferenza con raggio = √k
→ Il minimo assoluto è assunto nell'origine,
"Contour Plot"
- Grafico delle linee di livello
- Grafico degli insiemi di livello
z = x² - y² → Sella
Le linee di livello sono le bisettrici dei quadranti e le iperboli.
z = sin x · cos y
Le linee di livello con k = 0 sono delle rette che formano dei rettangoli.
Z = √(x²+y²)
Questa è una funzione a due variabili non differenziabile poiché presenta un punto angoloso nell’origine.
Linee di livello: √(x²+y²)=k x²+y²=k²
z =|y| = √x²=|x|
Topologia in Rn (serve per il dominio di f: Rn⟶R)
- intorno di raggio r di P0. Ur(p0)={p∈Rn t.c. la distanza (p, p0)<r}
- dato l’insieme delle parti A⊆Rn dico che P0 è un punto interno ad A se ∃ Ur(p0) t.c. Ur(p0)⊆A
- dato A⊆Rn chiamiamo complementare di A: Ac={p∈Rn t.c. p∉A}
- dato A, P0 è un punto di frontiera se ∀ Ur(p0) Ur(p0)∩A ≠ Ø ∧ Ur(p0)∩Ac ≠ Ø
definizione: A⊆Rn è aperto se è fatto solo da punti interni.
definizione: A⊆Rn è chiuso se Ac è aperto
proposizione: A è chiuso A contiene tutti i suoi punti di frontiera.
esempio A = {(x,y) ∈ R2 t.c. x²+y²
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