Lezioni: Appunti di Analisi e geometria 2

Funzioni in più variabili

Consideriamo una funzione f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ(x₁, x₂, x₃, ..., xₙ) → z = f(x₁, x₂, ..., xₙ). Un esempio con n = 2 è la funzione

Prototipo n = 2

La funzione f: A ⊆ ℝ² → ℝ ove (x, y) → z = f(x, y), rappresenta una superficie in ℝ³.

Paraboloide di rotazione

Consideriamo il caso del paraboloide di rotazione espresso dalla formula z = x² + y². Una restrizione all'asse x (dove y = 0) si ottiene come:

{z = x²
y = 0}

Questo implica che f ↾ A oppure f ↾ x = 0.

Linee di livello

Le linee di livello k sono un sottinsieme del dominio che ha quota k, ovvero {(x, y) ∈ A ⊂ ℝ t.c. f(x, y) = k}. Per risolvere il sistema:

{z = f(x, y)
z = k}

Nel caso del paraboloide di rotazione, {z = x² + y²} implica che x² + y² = k, che rappresenta una circonferenza con raggio = √k. Il minimo assoluto è assunto nell'origine.

"Contour plot"

Un "Contour plot" è il grafico delle linee di livello. Ad esempio, per la funzione z = x² - y², le linee di livello sono le bisettrici dei quadranti e le iperboli. Per z = sin x · cos y, le linee di livello con k = 0 sono delle rette che formano dei rettangoli.

Funzioni in più variabili

Consideriamo una funzione f: A ⊆ ℝ^m → ℝ(x₁, x₂, x_n) → z = f(x₁, x₂, ..., x_n). Un esempio con m = 2 è la funzione:

f: A ⊆ ℝ² → ℝ(x, y) → z = f(x, y).

Paraboloide di rotazione

Consideriamo nuovamente il paraboloide di rotazione espresso dalla formula z = x² + y². La restrizione all’asse x (dove y = 0) si ottiene come:

1. z = x²
2. y = 0

Cioè, f A oppure f x=0.

Linee di livello

Le linee di livello k sono un sottinsieme del dominio che ha quota k: {(x, y) ∈ A ⊆ ℝ | t.c. f(x, y) = k}. Risolvere il sistema:

1. z = f(x, y)
2. z = k

Nel caso del paraboloide di rotazione: {z = x² + y² => x² + y² = k, che rappresenta una circonferenza con raggio = √k. Il minimo assoluto è assunto nell’origine.

"Contour plot"

Un "Contour plot" è il grafico delle linee di livello. Ad esempio, la funzione z = x² - y² genera linee di livello che sono le bisettrici dei quadranti e le iperboli. La funzione z = sin x · cos y genera linee di livello con k=0 che sono rette che formano dei rettangoli.

Funzione non differenziabile

Per la funzione z = √_x² + y², si tratta di una funzione a due variabili non differenziabile poiché presenta un punto angoloso nell'origine. Le linee di livello sono date da √_x² + y² = k, ovvero x² + y² = k².

Per la derivata parziale rispetto a x, z|_x = √_y² = |y|, mentre per y, z|_y = √_x = |x|.

Topologia in ℝⁿ

La topologia serve per il dominio di f: ℝⁿ → ℝ.

Forma dell'insieme

Un intorno di raggio r di P_o è dato da U_r(p_o) = {p &in; ℝⁿ t.c. la distanza (p, p_o) < r}.

Dato A ⊂ ℝⁿ, diciamo che P_o è un punto interno ad A se ∃ U_r(p_o) t.c. U_r(p_o) ⊂ A. Il complementare di A è dato da A^C = {p &in; ℝⁿ t.c. p &nsube; A}.

P_o è un punto di frontiera se ∀ U_r(p_o), U_r(p_o) ∩ A ≠ ∅, U_r(p_o) ∩ A^C ≠ ∅.

Definizioni di insiemi

A ⊂ ℝⁿ è aperto se è fatto solo da punti interni. A ⊂ ℝⁿ è chiuso se A^C è aperto. Una proposizione dice che un insieme A è chiuso se e solo se A contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Esempio: A = {(x, y) &in; ℝ² : x² + y² ≤ 1}.

Osservazioni sulla topologia

A = (a, b) è aperto in ℝ, a < x < b, ma non in ℝ². In ℝ² non può essere né aperto né chiuso. L'ambiente è importante perché le proprietà possono cambiare da ℝ¹ a ℝ².

Q è un punto di accumulazione per l'insieme A se ∀U_r(Q) contiene almeno un punto di A∖{Q}, cioè U_r(Q) ∩ {A∖{α}} ≠ ∅. Questo implica che ∀V>0 esso è non vuoto.

Definizione di insiemi limitati e compatti

Un insieme A è limitato in ℝ^m se ∃U_r(Θ) t.c. U_r(Θ) ⊃ A, ovvero un intorno dell'origine che lo contiene. A è compatto se è chiuso e limitato.

Dominio naturale

Il dominio (naturale) di f: A ⊆ ℝ² → ℝ è (x, y) → z = f(x, y). L_f ⊆ è il più grande sottoinsieme di ℝ² dove è definita f, ovvero A.

Esempio di dominio

Trovare il dominio A della funzione z = ⊂ x + 1 > 0 implica -1 < x < 2 con la particolare condizione che (x, y) ≠ (3/2, 1/2).