Lezione di algebra e geometria (algoritmi e lemmi )

V ^k è finitamente generato se ∃ {u₁, ..., u_k} k ∈ ℕ /

Span (u₁, ... , u_k) = V

Se V ^k ammette una base è finitamente generato

B = {v₁, ..., v_n} u_i linearmente dipendente e Span (v₁, ..., v_n) = V ^k

ALGORITMO DI ESTRAZIONE

Sia {u₁, ... , u_k} una lista di generatori di V

mediante l'algoritmo estraiamo una base

1. u_k ∈ Span (u₁, ... , u_k-1)
• sì → lo scarto
• no → lo tengo
2. u_k+1 ∈ Span (u₁, ... , u_k-1)
• sì → lo scarto
• no → lo tengo
3. u₁ = 0
• sì → scarto
• no → tengo

In ogni

passaggio io scarto

sempre un vettore

superfluo

esempio:

3 vettori che formano

un generatore di R³

BASE

CANONICA →

(1 0 0)

(0 1 0)

(0 0 1)

V

V ⁿ è finitamente generato se ∃ {_u1,...,_uk} _k ∈ N / Span(_u1,...,_uk)=V

Se Vⁿ ammette un base è finitamente generato

B ={_v1,...,_vn} lin. indipendente e Span (_v1,..., ,_vn )=V.

ALGORITMO DI ESTRAZIONE

Sia {_u1,...,_un} una lista di generatori di V

mediante l'algoritmo estraiamo un base

1. _uk ∈ Span (_u1,...,_{uk -1})?
2. si → lo scarto
3. no → lo tengo

_vk è un generatore superfluo

2. _uk+1 ∈ Span (_u1,...,_uk+1 )?
3. si → lo scarto
4. no → lo tengo

_vk+1 è un generatore superfluo di Span (_u1,...,_uk-1).

3. _uk ≠ 0
4. si → scarto
5. no → tengo

In ogni passaggio io scarto sempre un vettore superfluo.

Esempio:

3 vettori che formano un generatore di R³

Base canonica →

(1 1 0)(0 1 0)(0 1 1)

esempio

U = Span (u₄, u₅) = Span {u₁, u₂, u₃, u₄, u₅}applichiamo l'algoritmo del Fondo

• 1^o passo:
  • u₅ ∈ Span (u₁, u₂, u₃, u₄)
  • u₅ = u₁ + u₂ Se SCARTO u₅ (xk appartiene allo Span)
• 2^o passo:
  • u₄ ∈ Span (u₁, u₂, u₃)
  • u₄ = a₁u₁ + a₂u₂ + a₃u₃
  • a₁ + 3a₃ = 1 ← IMPOSSIBILE
  • a₂ + 3a₂ = 0
  • TENGO u₄
• 3^o passo:
  • u₃ ∈ Span (u₁, u₂)
  • u₃ = 3u₁ + 2u₂   SCARTO u₃
• 4^o passo: u₂ ∈ Span (u₁)   TENGO u₂
• 5^o passo: u₁ ≠ 0   TENGO u₁

B_o = {u₁, u₂, u₄}

s.n.r. (spazio vettoriale reale) finitamente generato ₁, ₂ ∈

è possibile trovare una base di che contiene ₁, ₂

Trovo una qualunque base = {₁, ..., }

{₁, ₂, ₁, ₂, ..., } en sono generatori di

tipico algoritmo di estrazione → Trovo una base

ALGORITMO DI COMPLETAMENTO

{₁, ₂, ₄}

(1 0 0 0 0)^T (0 1 0 0 0)^T (0 0 1 0 0)^T (1 0 0 1 0)^T (0 0 0 1 1)^T

di ℝ⁴ contenenti ₁, ₂, ₄

ci chiediamo se può essere scritto come combinazione lineare

₁

(1 0 0 0 0)^T + ₂ (0 1 0 0 0)^T + ₃ (0 0 1 0 0)^T + ₄ (1 0 0 1 0)^T + ₅ (0 0 0 1 1)^T + ₆ (0 0 0 0 1)^T

₁ + ₃ + ₅ = 0

₂ + ₆ = 0

₃ + ₄ = 0

₂ = 1

abbiamo scoperto

₅ = -1

₂ = 1

non importa che la soluzione non sia unica (l'importante è trovarla)

e₄ = e₁ - e₂