Lezione di algebra e geometria (algoritmi e lemmi )

V spazio vettoriale è finitamente generato se ∃ {u₁, ..., u_k∈N/

Span(u₁, ..., u_k)=V

Se V ammette una base è finitamente generato

β={v₁, ..., v_n/v_i linearmente dipendente e Span(v₁, ..., v_n)=V

ALGORITMO DI ESTRAZIONE

Sia {u₁, ..., u_k} una lista di generatori di V mediante l'algoritmo estraiamo una base

1. u_k ∈ Span (u₁, ..., u_k-1) ? Sì → lo scarto No → lo tengo (u_k è un generatore superfluo)
2. u_k+1 ∈ Span (u₁, ..., u_k) ? Sì → lo scarto No → lo tengo (u_k+1 è un generatore superfluo di Span (u₁, ..., u_k))

k) u_i ≠ Θ Sì → scarto No → tengo

In ogni passaggio io scarto sempre un vettore superfluo

esempio 3 vettori che formano un generatore di ℝ³ base canonica →

esempio

V = Span (v₁, v₂, v₅) = Span(v₁, v₂, v₃, v₄)

applichiamo l’algoritmo del Fondo

1^o passo

• v₃ ∈ Span (v₁, v₂, v₄)
• v₅ = v₁+v₂ se SCARTO v₅ (Xk appartiene allo Span)

2^o passo

• v₄ ∈ Span (v₁, v₂, v₃)
• v₄ = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃
• a₁ + 3a₃ = 1 ← IMPOSSIBILE
• a₁ + 3a₃ = 0

3^o passo

• v₃ ∈ Span (v₁, v₂)
• v₃ = 3v₁ + 2v₂ SCARTO v₃

4^o passo

• v₂ ∉ Span (v₁) TENGO v₂

5^o passo

• v₁ ≠ 0 TENGO v₁

B_v = {v₁, v₂, v₄}

Metodo elementare di sostituzione

prendo una lista di vettori

_u1, _u2, ..., _uk linearmente indipendenti

_U=Span(_u1, ..., _uk)

_v ∈ _{U v} = _l1u1 +

_{lkuk lk} ≠ 0

_u1, _u2, ..., _uk-1 linearmente indipendenti e Span(_u1, _u2,

...,_uk, _v)=

cominciamo che lo spazio generato non cambia

_uk=

- _{lk yk}

_lk ≠ 0

_U=Span(_u1, ..., _uk)=Span(_u1, ... ,_uk-1, _v)=Span(_u1, ..., _uk-1, ^v)=

=Span(_u1, ..., _uk-1, ^v)

W=

^d₁u₁ + ^d₂u₂ + ... + ^u_k

- ^d_ku_k + ^{d_kuk-1 + u = d₁u₁}

scelgo (scarto)

+^d_ku