Serie numeriche, Analisi matematica

Lezione 19: Serie numeriche

Definizione di serie numerica

Sia una successione. La somma “formale” { }a_k degli infiniti termini della successione si chiama serie numerica.

Quindi la serie è: ∑_k=0^∞ a_k, con termine generale a_k della serie.

Osservazione sulla somma formale

Abbiamo definito una serie come una somma “formale” in quanto, se si sommano infiniti numeri, non si può dire a priori se tale somma esiste.

Definizione di successione delle somme parziali

Sia una successione { }a_k. A partire da questa successione, costruiamo una nuova successione come segue: S₀ = a₀, S₁ = a₀ + a₁, S₂ = a₀ + a₁ + a₂, ..., S_n = a₀ + a₁ + ... + a_n.

La successione {S_n} si chiama successione delle somme parziali della serie ∑_k=0^∞ a_k.

Convergenza e divergenza

Sia una serie ∑_k=0^∞ a_k e sia la successione delle somme parziali {S_n} della serie.

Se lim_n→+∞ S_n ∈ R, la serie è convergente e la sua somma è S.

Se lim_n→+∞ S_n = ±∞, la serie è divergente.

Se lim_n→+∞ S_n non esiste, la serie è indeterminata.

Osservazione sulla convergenza

Una serie può essere quindi indeterminata, ossia la sua somma non esiste. La convergenza, divergenza o indeterminatezza di una serie sono ricondotte allo studio del limite della successione delle sue somme parziali, ma in generale vedremo che non si riescono a scrivere esplicitamente i termini di tale successione e quindi a studiare il comportamento asintotico.

Per questo motivo avremo bisogno di criteri di convergenza.

Teorema: Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Sia una serie ∑_k=0^∞ a_k. Se la serie converge allora lim_k→+∞ a_k = 0.

Nella pratica, posso applicare questo teorema “al contrario” poiché io non conosco a priori se una data serie converge o meno. Però, sfruttando questo teorema, posso dire che se lim_k→+∞ a_k ≠ 0 allora, la serie non converge.

Dimostrazione

La serie ∑_k=0^∞ a_k converge se lim_n→+∞ S_n ∈ R. Possiamo quindi osservare che:

S_n - S_n-1 = a_n implica che lim_n→+∞ a_n = lim_n→+∞ (S_n - S_n-1) = 0.

Ricorda: Il limite di una differenza è la differenza dei limiti.

Osservazioni: Condizione necessaria ma non sufficiente

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. Quindi esistono serie il cui termine generale tende a 0, ma che non convergono.

Esempio: La serie ∑_n=1^∞ 1/n diverge, ma lim_n→+∞ 1/n = 0.

Teorema: Serie armonica

La serie ∑_n=1^∞ 1/n, detta serie armonica, diverge.

Ricorda sulla serie armonica

La successione delle somme parziali della serie armonica è strettamente crescente.

Generalizzazione: Serie armonica generalizzata

La serie ∑_n=1^∞ 1/n^α, con α ∈ R, detta serie armonica generalizzata, converge se e solo se α > 1 e diverge se α ≤ 1.