Serie numeriche, Analisi matematica

Slim's R∑

La serie converge se .a nk n →+∞k=0 Possiamo quindi osservare che:.( )−s =a +a + + +a − + + =as a a a a an n−1 0 1 2 n−1 n 0 1 n−1 n Allora: ( )= −s = − =S−S=0lim a lim s lim s lim sn n n−1 n n−1n →+∞ n →+∞ n →+∞ n→+ ∞ Ricorda: Il limite di una differenza è la differenza dei limiti.□ Osservazioni: Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. Quindi esistono serie il cui termine generale tende a 0, ma che non convergono. lim 1+ ∞ 1∑ Esempio: La serie diverge, ma .n →+ ∞ =0n nn=1 Teorema: + ∞ 1∑ La serie , detta serie armonica, diverge.nn=1 ***Dimostrazione ignorata*** Lezione 19, 51:54 Ricorda: La successione delle somme parziali della serie armonica è strettamente crescente. Generalizzazione del teorema precedente: Serie armonica+ ∞ +¿1 , con , detta serie armonica generalizzata,∑

¿Una serie ∈ R converge si y solo si diverge a si y solo si > +∞ α 1. α ≤ 1 + ∞ ∑

Osservazione: Sia una serie convergente e sia S la somma della serie. Allora, è una serie convergente e la somma di questa serie è S - S_n+∞ = ∑ ∈ Rⁿ n=0

In poche parole, non importa il valore da cui parte n poiché la somma si estende all'infinito. è una somma costituita da un numero finito di elementi e quindi dà come risultato un valore finito.

Proprietà delle serie:

1. Siano a_n e b_n due serie. Se le due serie sono entrambe convergenti e se ∈ R, allora ∈ R⁺ c, c ∈ R: ∑ (c + a_n) = c + ∑ a_n = c + ∑ b_n

2. Siano a_n e b_n due serie tali che una delle due converge

e l'altra diverge a ∞ oppure a -∞, allora ∑ diverge a oppure a .( ) +∞ -∞+ba n nn=0 + +∞ ∑ ∑3. Siano e due serie entrambe divergenti. Sea bn nn=0 n=0le due serie divergono entrambe a oppure+∞+ ∞∑entrambe a , allora diverge a oppure( )-∞ +∞+ba n nn=0a .-∞Serie di Mengoli+ ∞ 1∑La serie , cioè converge ed ha somma .=1 S=1( )n n+1n=1Dimostrazione: 1 1Infatti, se scriviamo il suo termine generale come , -n n+ 11 1 n+ 1-n 1dato che , possiamo riscrivere la serie- = =n n+ 1 ( ) ( )n n+1 n n+1come:+ ∞ ( )1 1 e la sua successione delle somme parziali è:∑ -n n+1n=1 ( ) ( ) ( ) ( )12 12 13 13 14 1 1 1= + - + - + - =1-S 1-k +1 +1k k kPrendo la somma dei termini fino a quando .n=kPossiamo notare come tutti i "secondi termini" all'interno di ciascuna parentesi si cancellino

con il “primo termine” all’interno della parentesi appena successiva. Gli unici termini che non si semplificano sono il primo e l’ultimo della successione. Il risultato è un valore finito, esplicito (non considero più i “puntini di sospensione”).

Quindi .= =1−0=1lim s lim 1−k +1kk →+∞ k →+∞ □

Serie geometrica

Sia . Una serie geometrica di ragione q è∈ (nonq R dipende da n)una serie del tipo { 1 | |<1, la serie converge+ ∞+ ∞ 1−q∑∑ ne si ha che (q )=nq + ∞ se q ≥ 1, la serie divergen=0n=0 indeterminata se q ≤−1

Dimostrazione:

Sia , allora e2 k 2 k+1q≠ 1 =1+ + =q+ +qs q+q q q s qk k + ∞∑

Moltiplico q per i valori della serie .nqn=0

Se calcolassimo ,( )+12 k 2 k k−q =1+q +q + − +q +s s q q+ q qk kavremmo che e dato che (e quindi ),+1k( ) q≠ 1 q>1=1−q1−q s k k+11− lim q+1k1−q e .=s k

→+∞=lim sk 1−q k 1−qk →+∞Come possiamo notare, tutti i termini si semplificano adeccezione di 1 e (primo e ultimo termine).k+1qA primo membro possiamo raccogliere e otteniamo così: k(1−q) s kSiccome avevamo ipotizzato , allora e quindi: (1−q) s ≠ 0q ≠ 1 kpossiamo divedere entrambi i membri per (1−q) per ottenere una forma esplicita delle somme parziali (ossia s k non dipende da n).Calcoliamo il limite e notiamo che, essendo q un valore fisso, l’unico valore che può variare è k+1q.Dato che (secondo il limite studiato nella scorsa lezione nr), { | |<10 se qk+ 1 =lim q + ∞ se q> 1k →+∞ ∄se q ≤−1Allora otteniamo che:{ 1 | |<1se q1−q=lim s k + ∞ se q>1k →+∞ ∄ q ≤−1Manca da analizzare il caso in cui :q=1termini in totale (“+1” perché bisogna0 1 2 k=1 +1 +1 +1 =k +1s k ( )=+∞= +1lim s lim kcontare anche ) equindi .01 kk →+∞ k →+∞Riassumendo abbiamo quindi che:{ 1 | |<1,lase q serie converge+ ∞ 1−q∑ n(q )= + ∞ se q ≥ 1, laserie divergen=0 indeterminata se q ≤−1 □Osservazione:Se la serie geometrica non parte da , ma da un valoren=0qualsiasi :n=n0Se (siamo nel caso in cui la serie geometrica è| |<1qconvergente), +∞ nq 0∑la somma della serie è: .n =q 1−qn=n 0−1n+∞ +∞ n n1 1−q q0 0 0∑ ∑ ∑Infatti: □n n n= − = − =q q q 1−q 1−q 1−qn=n n=0 n=00−1n 0 è un valore finito che ho calcolato.∑ nqn=0Posso sempre trovare la somma di una serie geometrica nelcaso in cui la ragione è in modulo minore di 1.Serie a termini positivi+ ∞∑Una serie tale che è una serie a termini positivi.a ≥ 0a nnn=0Una serie a termini positivi ha la successione delle sommeparziali { } crescente (successione monotona).s nInfatti,

se ,=a +a + + +a =s +s a a a ≥ sn+1 0 1 2 n n+1 n n+1 n lim sallora esiste sempre (successione monotona) .nn →+∞∈=Slim s RIn particolare, se , la serie converge.nn →+∞=+∞lim sSe invece , la serie diverge a .+∞nn →+∞Quindi una serie a termini positivi non può mai divergere a, né essere indeterminata.−∞In particolare, la serie converge se e solo se la suasuccessione delle somme parziali è limitata.Iniziamo a vedere alcuni criteri di convergenza per serie atermini positivi. Grazie ai criteri di convergenza (sono dellecondizioni necessarie per poter affermare che una dataserie converge/diverge), si potrà studiare il comportamentodi una serie senza dover scrivere esplicitamente lasuccessione delle somme parziali.Criterio del confrontoSiano e due successioni tali che{ } { } 0 ≤ a ≤ ba b n nn ndefinitivamente per .n →+∞Magari i primi termini delle successioni non verificano taleproprietà,

ma l'importante è che a partire da un certo indice, tale proprietà sia verificata. Possiamo dire che:

• Se la serie ∑ a_n converge, allora anche ∑ b_n converge.
• Se la serie ∑ a_n diverge, allora anche ∑ b_n diverge.

Dimostrazione:

Supponiamo che ∑ a_n converga. Allora, la sua successione delle somme parziali converge e di conseguenza è limitata, cioè:

s ≤ M per ogni k ∈ N

Sia la successione delle somme parziali della serie ∑ b_n data da:

s_k = a₀ + a₁ + ... + a_k

Allora, a partire da un certo indice N, la successione s_k è definitivamente crescente. Questo significa che:

s ≤ s_k ≤ M per ogni k ≥ N

Quindi, la successione s_k è limitata e quindi è convergente (per il teorema della limitatezza delle successioni).

Quindi, ∑ b_n converge e converge.

Supponiamo ora che ∑ a_n diverga a +∞.

Allora, lim s_k = +∞.

→+∞s ≥ sk k kk →+∞ + ∞=+∞lim s ∑Quindi, e di conseguenza diverge.bk nk →+∞ n=0 □

Come si utilizza questo criterio? Il criterio del confronto di permette di confrontare la serie che dobbiamo studiare con un’altra serie per verificarne la convergenza o divergenza. La serie che utilizzeremo per il confronto, sarà una serie di cui conosciamo a priori il comportamento (quindi se converge o diverge). Quali sono queste serie? Le serie armoniche generalizzate, serie di Mengoli e tutte le serie geometriche.

Esempio: + ∞ n2∑Stabilire se la serie converge, diverge oppure èn3 nn=1indeterminata. n2Osservazione: , allora la serie non può essere>0 ∀ n≥ 1n3 nindeterminata.( )n n n2 2 2=