Le Derivate

LE DERIVATE

f: I ⊆ ℝ → ℝ

x → f(x)

x₀ ε I

lim_h→0 (f(x₀+h) - f(x₀))/h = f'(x₀)

(h= incremento) sopposto incrementabile

CONDIZIONE NECESSARIA: è che f sia continua in x₀. Una funzione è derivabile se prima di tutto è continua in tutto x₀.

lim_h→0 f(x₀+h) - f(x₀) - hf'(x₀) = 0

Geometricamente la derivata è il coefficiente angolare della retta tg al grafico della funzione in x₀.

LE DERIVATE

f : I ⊂ ↠ ↠ R

x → f(x)

x₀ ∈ I

Presa una funzione definita in I appartenente ad R, tale che ad ogni x associ _f(x), con x appartenente ad I.

Se il limite … ed è finito.

derivato di f(x) in x₀

• (h = incremento)
• sopposto incremento

Condizione necessaria è che f sia continuo in x₀. Una funzione è derivabile se, primo di tutto, è continua in tutto x₀.

• Va a f′(x₀)

• Nie incrementale e sue θ(h), cioè
• qualcosa che va a 0 più rapidamente di h.

Geometricamente la derivata è il coefficiente angolare della retta têg al grafico della funzione in x₀.

f(x)

f(x+h)

α

Con il rapporto coleno dell'ô têg trigonometriche dell'angolo α

x

X + h

Infatti:

y - y_o = f'(x_o)(x - x_o)

ŷ = f(x_o) + f(x_o)(x - x_o)

Se una funzione è continua in un punto ciò implica che lo sarà anche in un intorno (intervallo) di quel punto

Derivate di alcune funzioni elementari

D senx = cosx

lim_h→0 sen(x_o+h)-senx_o / h = lim_h→0 2 cos(x_o + h + x_o) sen((x_o + h - x_o)/2) / h →

lim_h→0 cos 2x_o (h/2) = 1/2

-cosx_o

D cosx = -senx

lim_h→0 (cos(x_o+h)-cosx_o) / h → 2 sen 2x_o (h/2) sen(h/2) / h/2 = -senx_o

D c = 0

f(x_o+h) = f(x_o) = c e suo costante

lim_h→0 c-c / h = 0

D_x = 1

lim_h→0 ^{(x₀+h)-x₀}/_h = 1

D_e^x = e^x

è l'unica funzione che ha per derivata se stessa.

{ y = y'y(0)=1

Problema di Cauchy →è l'unica soluzione possibile è e^x

ALGERBRA DELLE DERIVATE

Prendiamo f e g

af(x) + βg(x) è una loro combinazione lineare

( af(x) + βg(x) )' = ( af(x) + βg(x) )'_|x0

(calcolato in x₀)

La derivata di una combinazione lineare è la combinazione lineare delle derivate.

Perciò:( teorema di derivazione e lineare )

lim_h→0 ^{af(x₀+h) + βg(x₀+h) - [ af(x₀) + βg(x₀) ]}/_h

= lim_h→0 ^{α / h [ f(x₀+h) - f(x₀) ] - β / h [ g(x₀+h) - g(x₀) ]} - αf(x)^' + βg(x)^'

D(af(x) + βg(x)) = af^'(x) + βg^'(x)

Derivata del prodotto:Siano f e g derivabili; quindi continue e definite in x₀

K(x) = f(x) . g(x)K(x) è ancora continua

lim_h→0 k(x₀ + h) - k(x₀)

h

= lim_h→0 f(x₀ + h) · g(x₀ + h) - f(x₀)g(x₀)

h

= lim_h→0 f(x₀ + h)g(x₀ + h) - f(x₀)g(x₀) + f(x₀)g(x₀ + h) - f(x₀)g(x₀)

h

= lim_h→0 f(x₀ + h)

h

= f(x)g'(x₀) + g(x)f'(x)

D(f · g(x)) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)

f(x) = f(x); 1

g(x) g(x)

applico la regola di derivazione del prodotto e quella del reciproco.

g definita e continua in x₀, ma ≠ 0

g(x) ≠ 0; deriv. in x₀

G(x) = 1

g(x)

devo dimostrare che DG(x) = - g'(x)

g²(x)

lim_h→0 G(x₀