Le Derivate

LE DERIVATE

f : 𝕉 _{(⊆ ℝ)} -> ℝ

x -> f(x)

x ∈ I

lim_h->0 ^{f(x₀+h) - f(x₀)}/_h = f'(x₀)

derivata di f(x) in x₀

• (h = incremento)
• sopposto incremento

Condizione necessaria è che f sia continua in x₀

Una funzione è derivabile se prima di tutto è continua in tutto x₀.

lim_h->0 ^{f(x₀+h) - f(x₀)}/_h = 0

f(x₀) = 0

va a f'(x₀)

lim_h->0 ^{f(x₀+h) - f(x₀)}/_h = hf'(x₀)

• n.e numeratore e suo θ(h), cioè qualcosa che va a 0 più rapidamente di h.

lim_h->0 ^{f(x₀+h) - f(x₀) - f'(x₀)h} = 0

f(x+h) - f(x₀) = f'(x₀)h = 0 => lim_h->0 ^{f(x₀+h) - f(x₀)} = 0

Geometricamente, la derivata è il coefficiente angolare della retta tg del grafico della funzione in x₀.

Infatti:

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)

y' = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Se una funzione è continua in un punto ciò implica che lo sia anche in un intorno (intervallo) di quel punto

Derivate di alcune funzioni elementari

Dsenx = cosx

^lim (sen(x₀+h) - senx₀) / h = ^lim (2cos(x₀+_h⁺x₀)sen_(x0⁺h2h) / h_{h -> 0 h -> 0}

applico le formule di prostoferesi:

senα - senβ = 2cos(α+β₂)sen(α-β₂)

= ^lim cos(2x₀+h₂)senh / 2 = ^lim cos2x₀(h₂)senh / 2_{h -> 0h -> 0}

→1

= cosx₀

Dcosx = -senx

^lim (cos(x₀+h) - cosx₀) / h = ^{-2sen(2x₀+h₂)sen(h₂)}/_h/2

applico le formule

cosα - cosβ = -2sen(α+β₂)sen(α-β₂)

= -senx₀

Dc = 0

f(x₀+h) = f(x₀) = c è una costante

^lim (c-c) / h = 0

va a 0 primo (si eslute primo di che h tende a 0, calcolare il limite)

dunque:

Dg(f(x)) = g'(f(x)) · f'(x)

ovvero

-g'(y) = f'(x)

y_g = f(x)

ESEMPIO:

D(2x+4)⁵ = 5(2x+4)⁴ · 2 = 10(2x+4)⁴

Dsen(cosx + 3) = cos(cosx + 3) · (-senx)

DERIVATA DI UNA FUNZIONE INVERSA

g(x) = f^-1(x)

f(g(x)) ≡ x funzione identità

g(f(y)) ≡ y

Df(g(x)) = f'(g(x)) · g'(x)

poiché

f(g(x)) ≡ x per g(x) = f^-1(x)

dunque f'(g(x)) · g'(x) = 1 che sarebbe Df(g(x)) = Dx = 1

ma allora g'(x) = ¹/_f'(g(x))

Dg(x) = Df^-1(x) = ¹/_f'(f^-1(x))

Df^-1(x) = ¹/_f'(f^-1(x))

Scelgo ε = ξ/2

Deve quindi "funzione continua in x_o" è equivalente di dire "continua in un intorno di x_o". (posso sempre trovare un piccolo intorno o intervallino in cui è continua.)

TEOREMA DI FERMAT

x ∈ I

è punto di max (min) relativo per f in I

Se ∃ x > 0 (x_o - x^₊ < x_o < x_o + x^₊) ∩ I

risulta che

f(x) ≤ f(x_o) ∈ (x_o - x^₊, x_o + x^₊) ∩ I

Min e Max assoluti sono anche relativi.

f è derivabile in (a; b)

Se x_o punto di max e min relativo di f → f'(x_o) = 0

x_o punto max rel

f(x_o) ≥ f(x) x ∈ (x_o - x^₊, x_o + x^₊) ∩ (a; b)

&lim;_{h → 0} ^{[f(x_o+h) - f(x_o)]}/_h

per h > 0 ∈ ≤ 0

per h < 0 ∈ ≥ 0

&lim;h → 0+ [f(xo+h) - f(x)]/h ≤ 0 f'(x) ≤ 0

&lim;h → 0- [f(xo+h) - f(x)]/h ≥ 0 f(x) ≥ 0

è l'unica possibilità o che f(x_o) = 0.

∞ ln 0 = -∞

lim (lnx)^x^1/x=1

lim x_x→0⁺ x^x=1

∞ F.I. applico le tecniche

ln x^1/x=

x → (f^'(x))

_x→0⁺ = 0

si presenta il limite per LN

lim_x→0⁺ (lnx)^x ▭ lim

e^{xlnx xlnx}

e^xlnx

lim

_x→0⁺ e^xlnx=1

si il limite è nei numeri reali, l'applico la

EN x tende a ∞ meno velocemente di ^en di qual attavi potenza di X.

• lim_x→+∞ α= α^x =
• lim_x→+∞1/x^x ▭ lim_x→x→0⁺ α^x = 0 esiste.

con α ∈ R⁺

lim_x→0⁺ α^x = 0 se α > 1

___________________________________________________________________________

• lim_x→+∞ x^α = ∞ α, β ∈ R⁺ (parametri)
• lim_x→+∞ x^α
• _____________________________________________________ applica nuovamente le tecniche

• lim_x→0⁺ a]^(x-1) 0

se α>1 ∞, se α ≤ 1 ∞

applicando le tecniche il limite sarà 0

per α≥1 ∞

e^x x tende a ∞ più rapidamente di

qualsiasi potenza di x.

lim_x→0 (x + 0 (x²)) / x = 0 poiché 0 (x²) va a 0 più rapidamente

Formula generale:

(f_n(x) = c_k (x-x₀)^k) / k!

lim_x→x0 f(x) / (x-x₀)^m = c_m del tipo 0 / 0

tende a 0 per x → x₀ e può essere riscritto come:

θ ((x-x₀)^m) / (x-x₀)^m = 0

Si dimostra applicando de L'Hôpital n volte.

lim_x→x0 f(x) / (x-x₀)^m = lim_x→x0 f^(m)(t) / m(x-x₀)^m-1

ecc.

Esercizi:

lim_x→π/2 cosx F.I. 0/0

Sviluppo la cosx nell'intorno del punto π/2

cosx = cos π/2 + (- sen π/2)(x-π/2) + θ ((x-π/2))

lim_x→π/2 [cosx / (x-π/2)] = -1

lim x→π/2

x^π/2 - θ (x-π/2) / x^π/2 + θ (x-π/2)

x_π/2 / x_π/2

lim_x→0 f ^{cos x}_{tg x} = 1

COSTRUZIONE DEI POLINOMI DI TAYLOR DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI

(Nel caso in cui lo sviluppo sia X₀=0 prendono il nome di sviluppi di Mc Laurin)

1. e^x

D^(m)e^x = e^x = 1

x=0

e^x = ∑_k=0∞ ^xk/_k! + θ((x^m))

e^x x^(m+1)/(m+1)!

x ε (x_{i, xn})

2. f = senx

senx = 0

f’ = cos x x=0 = 1

f’’ = -senx x=0 = 0

f’’’ = -cos x x=0 = -1

f^iv = senx x=0 = 0

senx = x - x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! +...

x^2m+1

(2m+1)!

m=0, ...

senx = ∑_k=0 (-1)^kx^2m+1/_(2m+1)! + θ((x^2m+1))

X(x) ε senx = cos x, ma sempre maggioriore con 1

X(x) x^2(m+1)+1/(2(m+1)+1)!