Laboratorio progettuale di calcolo strutturale

Valutazione Ragionata di Calcolo Strutturale

Approcci alla Progettazione:

• Analitico
• Sperimentale
• Numerico

Metodo agli Elementi Finiti - FEM

È un metodo numerico utilizzato per risolvere problemi strutturali/termici/fluidodinamici ecc. Fornire una soluzione numerica ad un problema specifico.

Schema Analisi Strutturali

Struttura da analizzare viene suddivisa in elementi finiti (regola approssimative) in maniera discreta: 'semplificazione'.

Gli elementi sono collegati fra loro solo in alcuni punti, detti nodi, di conseguenza la griglia è chiamata mesh.

Struttura Analitica

Linee elastiche:

• Equazione: ET ∂²u/∂x² = 0

Struttura Discreta

[K_uu] Matrice di rigidezza

• Vettore spostamenti {u_i}
• Vettore forze nodali {F_a}

In generale non sappiamo come variano gli spostamenti, quindi si introduce un'approssimazione utilizzando funzioni di forma (polinomi semplici) che modellano il campo degli u.

Assegnando vincoli e pareti (riferti ai nodi) si risolve una relazione lineare del tipo:

[K]{u} = {F} → {u} = [K]^-1{F}

[K] = matrice di rigidezza

Noti gli spostamenti {u}_i vengono ricavate opportune relazioni di deformazioni e sforzi.

Elementi 1D: Geometria monodimensionale e applicazione spaziale, utilizzati per comprendere e/o tracciare una direzione perpendicolare sulla quale agiscono.

Elementi bar/truss (biella - solo azione assiale)

Equilibrio dei nodi

Equilibrio dei nodi:

F₁ = -EA/L (u₂ - u₁)

F₂ = EA/L (u₂ - u₁)

in forma numerica

[k] = [k -k] [-k k] con k = EA/L

Formulazione della rigidezza

- Metodo diretto

Considero un elemento BAR:

In generale si avrà:

{K}{u_e} = {F}

{K₁₁}{K₁₂} {u_i} {F_i,loc}

{K₂₁}{K₂₂} {u_f} {F_f,loc}

sconosciute vincolari

presente il calcolo gli spostamenti nodali

{u_i,loc} = {K₁₁} {F_i,noti + (K₁₂/_f[]> {u_f,noti}

per ricavare le reazioni vincolari {F_i,}

SISTEMA DI RIFERIMENTO GLOBALE

l'assemblaggio delle matrici deve avvenire dopo avere definito

i riasgni lezionali in uno stesso riferimento globale: (si sfruttive

procedure alla TRANSAIONE DI COORDINATE cartesianamente)

• ELEMENTI BEAM (AZIONE ASSIALE/TAGLIO/FLESSIONE/TORSIONE)

- NEL PIANO

E₁I

V₁ V₂

gdo_f V₁, Θ₁, V₂, Θ₂

FORMULAZIONE DELLA RIGIDEZZA

- METODO DIRETTO

I termini di {K} sono uguali alle forze e cxu occasion t nodali

che generano la deformata corporationall'allitterazione di un

eagext interna’h sous la FONZIONI DI FORMA

le forze e momis aevocerhementale agli estremi le deformazioni

sono EDIBLE.

Da FV se ele:

Θ=1

1

al esempero per calcolare le prime colonne delle ma orca

{K} esce i termini K ₁₁, K ₂₁, K₃₁, K ₄₁

Funzioni di forma

[u(x,y)]

V(x,y)]

^N₀ N₁ N₂

^N₀ N₀ N₁ N₂

Modalità

NB: u(x,y) dipende solo dagli u_i nodali, idem per V(x,y).

Inserire utilizzando lo stesso polinomio interpolante.

Gli elementi devono essere lineari soddisfazioni!

Condizione le derivate parziali della funzione di forma

^ε_x ∂u_i/∂x

^ε_y ∂v_i/∂y

^γ_xy ∂v_i/∂x+

[Ν]{u}_i = ∂[Ν]{u}_i = [Β]{u}_i

Per il calcolo della matrice di rigidezza posso usare anche il metodo numerico (e non quello assoluto):

[Κ] = ∫v [Β]^T[E][Β]dv

Scelta dell'elemento finito = scelta della funzione di forma.

Convergenza (o compatibilità)

→ assenza di oscillazioni e compensazioni (tra gli elementi) che non sono presenti nell'oggetto reale.

^∂ε_x ∂y₂ + ^∂ε_y ∂x² = ^∂γ_xy ∂σ_xy Relazione di convergenza.

Equazioni indefinite di equilibrio

-G_xtdy - Tyg_tdx + (σ_x + ∂σ_x dx)tdy + (T_xy + ∂T_xy dx)tdx + F_x dx_xdy t = 0

Nota 3D

Problema risolvibile con 3D e un'ideale risoluzione.

Strutture a Tavola

• Relazione: una dimensione >> altre due
• Riferimento 1D (BEAM)

Strutture a Guscio

• Relazione: due dimensioni >> altre due
• Riferimento 2D

Strutture Solide

In alcuni casi possono definire un'approssimazione accettabile.

Esempio:

Scopo: determinazione sforzi e deformazioni sulla bazzetta.

Esemplifico:

Hp:

• Traversa infinitamente rigida
• Vincoli rigidi
• Contatto nullo lungo una direzione
• Materiale elastico-lineare

Qa: problema deve essere isostatico

Inoltre questo problema è simmetrico, quindi:

La geometria è nodo di supporto alle mesh - utile solo all'interno perché il software non la prende in considerazione.

Posso riportarla da un livello CAD o farlo direttamente nel Pre-processore.

Elaboro le geometrie (anche regolari, particolari) per regolazione e applicazione di carichi e vincoli.

- Elementi SUB-PARAMETRICI:

• numero dei nodi in cui è nota la geometria < quello che descrive gli spostamenti (utile per geometrie complesse)

- Elementi ISO-PARAMETRICI:

• numero di nodi in cui è nota la geometria uguale a quello degli spostamenti (semplice ed efficiente) (N_t = N_u)

- Elementi SUPER-PARAMETRICI:

• il numero dei nodi in cui è nota la geometria è maggiore di quello che descrive gli spostamenti (solo in questo caso si possono prendere approssimazioni migliori alla geometria della deformazione)

Ad esempio: Elemento piano a quattro nodi (Q4)

Si mappa l’elemento con un sistema ausiliario ξη, ossia necessariamente ortogonale detto NATURALE, costruendo l’elemento / i lati dell’elemento sono definiti da ξ = ± 1 e η = ± 1 indipendentemente dalla forma.

Per codificare i punti dell’elemento nello spazio fisico XY utilizzo la funzione di forma:

μ = ΣN_i(ξ_i, η)μ_i

υ = ΣN_i(ξ_i, η)υ_i

x = ΣN_i(ξ_i, η)x_i

y = ΣN_i(ξ_i, η)y_i

e le FUNZIONI di forma sono quelle dell’elemento convenzionale definito nello spazio (ξ, η)

• N₁ = (1 - ξ̂)(1 - η̂)/4
• N₂ = (1 + ξ̂)(1 - η̂)/4
• N₃ = (1 + ξ̂)(1 + η̂)/4
• N_u = (1 - ξ̂)(1 + η̂)/4