Laboratorio 2

Filtri RC: passa alto, passa basso e passa banda

Passa alto

Esprimiamo ora il rapporto (attenuazione) e il modulo A:

Faccio gli stessi passaggi per il passa basso

Di nuovo trovo A, |A|, φ

Come sapete per il passa banda, visto come sovrapposizione dei due stadi precedenti (doppio stadio).

In questo caso, nel risolvere il circuito, divido le due maglie: per semplificare applico Thevenin alla I, in modo da ricavarmi una Z_ϕ unica con cui poter proseguire agevolmente i calcoli.

• R_N/(R₁R₂ = 0.98 R₂
• C₁ = 1μF
• C₂ = 0.1μF

Th. Thevenin: In una rete, presa una coppia di punti A e B, il ramo visto da questi terminali è equivalente ad un generatore di tensione con:

• ε = d.d.p.(A,B) senza carico
• R (Rint): R vista dai terminali una volta disattivate tutte le sorgenti (generatore costatocircuitato).

Quindi, applicato alla I maglia

iV_g+jωc₁Uc₁+^Uc₁⁄_R1=0

z_o^-1 jωc₁+¹⁄_R1 → z_o = ^R₁⁄_1+jωc1

Per il TR. Thevenin sarà inoltre

V_θ = iR₁ = ^jωc₁V_g⁄_1+jωc1

Quindi

V_θ = i_gz_o

Se consideriamo la z₂ calcolata collegata con la II maglia, quindi in serie a una cesta

z_i = R₂ + ¹⁄_jωc2 = ^jωc₂+1⁄_jωc2

avremo risolto il circuito, infatti

V_θ = i_g ^R₁⁄_1+jωc1 + ^jωc₂+1⁄_jωc2

In questo caso i = V_c2jωc₂ e sostituendolo si trova la relazione tra V_c2 e V_θ. Ricordando quella che lega V_θe V_g (la resistenza) si trova

V_c2/V_g=A come nei casi precedenti

V_θ = V_c2 ^{R₁jωc₂+(jωc₂+1)⁄_(jωc2+1)(jωc₂+1)}⁄₁ =>

=V_c2 ^{jωc₂R₁c₂-ω2R₂z₂+jωc₂+jωc₂+1}⁄_{jωc2(1+jωc1)}

V_θ = V_g ^jωc₂+1⁄_1+jωc1 =V_c2 ^{jω(R₁c₂+z₂z₁+1-ω₂c₂)}⁄_1+jω²R2

= √(R² + 2L² + R_C(R²+2L_C) + R√(R₂-4_L) / C

= 2C²L²

= √(R² + 2L²) + R√(R²-4_L)/C₂L²

ω₁ = R/L, ω₂ = R²-4L/2L,

ω_R = √R²-4L/2L

Q = ω_risonanza = 1/√LC

ω₀ = ω_resonanza

|A| = 1/√R

φ = arctg(R/ωL - 1/ωC)

Misure di R

• Scopi: determinare R_int del generatore.
• Excursus sui generatori ideali e reali: i generatori di tensione vedono una R in serie, quelli di corrente in parallelo

Quindi le equazioni di ciascun circuito diventano

V_R = R ⋅ I → V_R = R ⋅ V / (R + ρ)

I_R = V / R → I_R = I ⋅ R / (R + ρ) = 1 / R = I_F / (R + 1) ρ

Graficamente si nota il discostarsi del comportamento reale di tensione e corrente rispetto a quello ideale, infatti

Pertanto, realmente, valgono

V_R = V - ρi

I_R = I - V_R / ρ

• Seconda parte: verifica th. di Thevenin.
• Quindi voglio graficare

V = RI → R = V / I

V_G = (R + ρ) I

V_G = V / I + ρI

Da cui ricavo V(t) = V_G - ρI

Per la I parte variando Ri, misuro V(t) ed I e traccio la retta: Vg e l'intercetta e ρ e il coeff. angolare

Diffrazione ed interferenza

Principio di Huygens-Fresnel: permette di assimilare ogni punto di un’ipotetica superficie investita da un fronte d’onda (piano e/o sferico), ad un trasmettitore di onde sferiche

Ricordando che le equazioni differenziali vi devono soddisfare le onde:

∇²Φ = μe ₀ ∂²Φ/ ∂t²

Si trova che la Φ cercata ha la forma:

Φ(x,t) = 1/(4π) ∫(1/R ∂/∂n₀ − 1/ν ∂/∂t₀ − 1/x ∂/∂t)[ψ(∂/∂α)] dM dψ_polar

Nel caso di onde sferiche si sa che l’ampiezza dell’onda scala come l’inverso della distanza della sorgente dal punto in cui si vuole calcolare, per cui l’onda è esprimibile come:

Φ(x,y,t) = S₀/x e^ikx·ωt = f(x)e^ikx·ωt)

Si analizza il fenomeno della diffrazione nel caso in cui la fenditura sia rettangolare e una dimensione si elonga dell’altra (chiamando A e B le due).

Φ(x,t) = Ce^iωt ∫_α^x e^ikξ dξ ∫_β^y e^ikϒ dη

Risulta I è proporzionale al quadrato dell’ampiezza (a meno di costanti) è possibile ricavare una forma analitica esatta per I come:

I(x,y) = C₀[sin(πλAX/2F)/(πAX/2F)]² [sin(2πBY/2F)/(2πBY/2F)]²

F = distanza dal piano di osservazione.

Nella I parte dell’esperienza bisogna verificare questa relazione, nel limite di A≫B, ossia:

lim I(x,y) = C₀[sin(2πλX/2F)/(πλX/2F)]²

λ chiamando d la dimensione della fenditura, perché si interessante alle zone di buio (sen = 0) si impone la condizione di senΘ = mπ

che nell’approssimazione senΘ ≅ Θ

dX = mλF ⇒ m = dX/λF

Sappiamo che la carica elettrica è una caratteristica intrinseca di ogni particella elementare della materia e che fenomeni elettrici osservati macroscopicamente sono il risultato della interazione elettrostatica tra microscopica carica degli atomi: protoni elettroni e neutroni.

La carica è una grandezza quantizzata, cioè è possibile realizzare solo cariche multiple di e (carica elementare).

1.3 Il problema dell'elettrostatica

1.2.1 Il campo elettrico

Possiamo definire una nuova grandezza vettoriale, il campo elettrico generato dalla carica q in un punto a distanza r

_q=_q·_k/

e dire che la _q è data dall'interazione di q' con _q·_q.

Nel caso di una carica puntiforme, E è un vettore radiale (uscente se +, entrante se -). Anche in questo caso vale il principio di sovrapposizione:

È possibile estendere i risultati definiti a distribuzioni di carica continue, superficiali o di volume. Una distribuzione superficiale è descritta come una funzione scalare di densità σ(x,y,z) e la carica dq di un elemento di superficie ds è dq=σ(x,y,z)ds. La carica Q contenuta in una superficie finita S è data da:

La Resistenza

Introduciamo J = conducibilità; dipendente dal materiale, poiché vale

∫_S J dS = ∫_S σE dS

∫_S J dS = J S (J uniforme su S)

V = E e = ∫_ρ1^ρ₂ E · dl

Dalla combinazione delle due otteniamo

V = E e = J _σ e = i _S e _σ

Definiamo resistenza la quantità

R = _e Sσ

Per cui diventa U = R i = R ^dq _dt ⇒ i = G V

definendo G = ¹ _R conduttanza (unità di misura: mho).

L'Induttanza

L'induttanza è la proprietà dei circuiti elettrici tale per cui la corrente che li attraversa induce una fem e1f, per la legge di Lenz, si oppone alla variazione dell'intensità della corrente stessa.

Una corrente elettrica i che scorre in un circuito elettrico produce un campo magnetico nello spazio circostante: se la corrente è varia nel tempo, il flusso magnetico Φ_B del campo connesso al circuito risulta variabile. Il coefficiente di auto-induzione L del circuito è la rapporto tra il flusso del campo magnetico concatenato e la corrente, che per una linea