La teoria quantistica aspetti divulgativi

ESEMPI APPLICATIVI

La massa di una pallina è m = 10^(-3) kg e la sua posizione viene misurata con unaincertezza Delta(x) = 10^(-6) m. Calcoliamo il limite teorico relativo all'incertezzache si ha sulla determinazione della velocità della pallina. Dalla formula diHeisenberg, otterremo Delta(v) = h/(2*pi*m*Delta(x)) =6.6*10^(-34)/(6.28*10^(-3)*10^(-6)) = 10^(-25) m/s. Si tratta di unaindeterminazione dello stesso ordine di grandezza della velocità che la pallinaavrebbe se percorresse le dimensioni di un atomo (10^(-10) m) in circa 32 milionidi anni! E' un valore che può essere ritenuto trascurabile. Consideriamo ora un elettrone, con massa a riposo m = 9.1*10^(-31) kg, chepercorre una traiettoria circolare di raggio r = 2.5 m all'interno di un acceleratoredi particelle con una velocità pari al 99% della velocità della luce e cioè v = 297000km/s. Calcoliamo il grado di incertezza sulla traiettoria e...sulla velocità. In questo caso dovremo considerare l'effetto relativistico relativo all'aumento della massa dell'elettrone, per cui avremo: m' = m/SQRT(1-v^2/c^2) = 6.45*10^(-30) kg (SQRT è la radice quadrata), cioè circa 7.1 volte la massa dell'elettrone a riposo. Ipotizzando un'indeterminazione sul raggio pari a Delta(r) = 5*10^(-5) m, l'errore relativo sarà molto basso: Delta(r)/r = 5*10^(-5)/2.5 = 0.002%. Ciò indica che l'orbita è ben definita. La corrispondente incertezza sulla velocità radiale sarà Delta(v) >= h/(2*pi*m'*Delta(r)) = 6.6*10^(-34)/(6.28*6.45*10^(-30)*5*10^(-5)) = 0.33 m/s. Come si può notare, la componente radiale della velocità ha un valore assolutamente trascurabile (33 cm/s) rispetto alla velocità alla quale l'elettrone si sta muovendo, velocità di poco inferiore a quella della luce nel vuoto. Anche nel caso di particelle microscopiche.che si muovono lungo traiettorie macroscopiche, il principio di indeterminazione di Heisenberg non ha prodotto in pratica alcuna conseguenza apprezzabile. Il problema, una volta assegnate le condizioni iniziali con precisione e tenendo conto degli effetti relativistici, può essere risolto semplicemente con i metodi classici. In realtà le particelle elementari non possono essere trattate come punti materiali e le traiettorie non possono essere determinate in modo così semplice, ma possiamo ritenere in ogni caso accettabile l'approccio adottato per la risoluzione del problema. Supponiamo ancora che il nostro elettrone orbiti intorno ad un nucleo atomico di raggio r = 0.5*10^(-10) m alla velocità orbitale v = 10^6 m/s. A tale velocità possiamo trascurare gli effetti relativistici e considerare la massa dell'elettrone a riposo (m = 9*10^(-31)). Considerando l'incertezza sul raggio orbitale dell'1%, cioè Delta(r) = 5*10^(-13) m, calcoliamol'indeterminazione sulla componente radiale della velocità: Δ(v) ≥ 6.6*10^(-34)/(6.28*9*10^(-31)*5*10^(-13)) = 2.33*10^8 m/s, valore prossimo a quello della velocità della luce nel vuoto! Si tratta di un'incertezza sulla componente radiale della velocità che è circa 233 volte maggiore della velocità orbitale, per cui non avrà più senso parlare di posizione dell'elettrone in moto, non essendo determinata la sua velocità. Allo stesso modo, se assumiamo un'incertezza sulla velocità radiale pari all'1%, risulterà che la corrispondente indeterminazione sul raggio orbitale è 233 volte maggiore della dimensione del raggio atomico. Non ha più senso parlare di orbita. P.S. Il principio di indeterminazione di Heisenberg non limita il campo di applicabilità delle leggi della Meccanica Classica e della Teoria della Relatività nel caso di corpi macroscopici e non lo limita neppure nelcaso del moto di particelle microscopiche all'interno di zone macroscopiche, come ad esempio accade all'interno di un tubo a raggi catodici. In ambito microscopico, invece, concetti quali la velocità istantanea, la traiettoria, l'equazione del moto di una particella materiale, non hanno più senso. I metodi della meccanica classica sono assolutamente inapplicabili. Abbiamo bisogno delle leggi della Meccanica Quantistica.

LA FUNZIONE D'ONDA (prima parte)

Come in un'onda elettromagnetica vibrano il campo elettrico ed il campo magnetico, così in un'onda di materia vibra una grandezza, di cui non si può dare un'interpretazione classica, denominata funzione d'onda (o ampiezza di probabilità). La funzione d'onda si indica con la lettera greca Psi. Tale funzione dipende dalle coordinate spaziali x, y e z e dal tempo t e serve a determinare la probabilità che una particella

Il materiale si trova in un certo volume di spazio D(V) (D è il Delta inteso come intervallo di una grandezza fisica) e in un determinato intervallo di tempo compreso tra t e t+D(t). Esattamente come accade nel caso del campo elettrico per i fotoni, il quadrato della funzione d'onda fornisce la probabilità di osservare la particella nei vari punti. In sintesi, se la funzione d'onda è descritta, in un determinato istante, dalla funzione Psi(x), allora la densità di probabilità di trovare la particella in un certo intervallo spaziale (a,b), nel momento in cui effettuiamo una misura di posizione, è data dal quadrato del modulo della funzione d'onda, cioè |Psi(x)|^2. In particolare, la funzione d'onda, oltre a fornirci informazioni probabilistiche sulle misurazioni di posizione eseguite su un sistema, consente anche di determinare la probabilità di trovare una certa velocità della particella lungo una direzione scelta.

come asse x. Per poter passare dalla funzione Psi(x) alla nuova funzione denominata Fi(v) dobbiamo adottare degli accorgimenti matematici: dobbiamo passare dall'una all'altra funzione tramite la Trasformata di Fourier di Psi(x). Quindi il quadrato del modulo di Fi(v), cioè |Fi(v)|^2, fornisce la densità di probabilità di trovare una velocità compresa in un certo intervallo al momento dell'esecuzione di una misura di velocità e inoltre, cosa ancor più importante, la trasformazione che conduce dalla Psi(x) alla Fi(v) è tale per cui quanto più piccola è una delle due funzioni tanto più grande è l'altra. Ciò equivale a dire che se ho una piccola probabilità di trovare la particella in un certo intervallo, troverò in corrispondenza più valori di velocità come esiti probabili di un processo di misurazione di tale variabile, e viceversa. Queste argomentazioni, e in

Particolare l'introduzione del concetto di ampiezza di probabilità, consentono di rendere più rigorosi i concetti che portano al principio di indeterminazione di Heisenberg. Fu Born ad assegnare, nel 1927, un significato probabilistico all'equazione di Schrodinger, che contiene la funzione d'onda Psi, sulle onde materiali di De Broglie ma, nello stesso momento in cui Schrodinger proponeva la sua meccanica ondulatoria, Heisenberg, attraverso un meccanismo matematico più astratto denominato meccanica delle matrici, arrivò a rappresentare, di fatto, la stessa teoria descritta da Schrodinger. In seguito, il riconoscimento dell'equivalenza delle due teorie, la meccanica ondulatoria di Schrodinger e la meccanica delle matrici di Heisenberg, da parte della comunità di fisici che si interessava ad esse, segnò la nascita della meccanica quantistica, il cui formalismo attuale è dovuto allo scienziato inglese Dirac.

P.S. Una precisazione:

se considerassimo una radiazione, costituita da un insieme di fotoni o di elettroni, alla domanda: "sono onde o corpuscoli?" non potremmo rispondere.

LA FUNZIONE D'ONDA (parte seconda)

Ad un'onda è possibile associare una grandezza che misura l'intensità del campo in cui essa oscilla nello spazio e nel tempo: ad esempio, nel caso delle onde meccaniche la grandezza che oscilla è il campo di pressione (o di densità) del mezzo di propagazione (ad es., l'aria) mentre nel caso delle onde elettromagnetiche oscillano il campo elettrico e il suo campo magnetico associato. Volendo fornire una formulazione matematica che desse un'interpretazione fisica del fenomeno del dualismo onda-corpuscolo, in particolare delle onde materiali di De Broglie, nel 1926 Schrodinger pervenne ad una equazione differenziale, analoga a quella che descriveva le onde meccaniche ma più complessa, in cui

compariva la funzione Psi, che egli denominò "funzione d'onda". Un'equazione differenziale è un'equazione in cui compaiono delle derivate e quindi risolvere un'equazione differenziale equivale a determinare una funzione, non dei singoli valori numerici. Fissate le condizioni iniziali, in particolare determinati valori dell'energia di una particella, si otterranno differenti evoluzioni temporali del fenomeno e la funzione d'onda calcola le configurazioni più probabili. Nel 1927 Born propose un'interpretazione della funzione d'onda Psi come "onda di probabilità", ossia l'onda associata ad una particella è da intendere come la "densità di probabilità" di trovare tale particella, in un certo intervallo di tempo dt, in un determinato volume dV di spazio e tale probabilità è proporzionale al quadrato del modulo di Psi. In particolare, se descrivessimo un'onda.

Di Schrodinger come un "pacchetto d'onde", cioè più onde sovrapposte con lunghezze d'onda differenti, tale pacchetto corrisponderebbe ad una particella localizzata da qualche parte della zona di spazio x e laddove c'è l'ampiezza maggiore la particella stessa ha più probabilità di trovarsi, cosa che non accade nel caso, ad esempio, di un'onda progressiva la cui lunghezza d'onda e quantità di moto sono determinate perfettamente in qualunque punto dello spazio. Tutto ciò ha condotto in seguito, in relazione ad un elettrone che si trova all'interno di un atomo, al concetto di orbitale atomico come insieme di valori assunti dalla funzione d'onda dell'elettrone nei vari punti dello spazio intorno al nucleo. Tali valori, soluzioni dell'equazione d'onda di Schrodinger applicata all'atomo, corrispondono proprio agli "stati stazionari" trovati, per altra via, da Bohr. IL PRINCIPIO

DI COMPLEMENTARIETA' di BOHR