La teoria quantistica aspetti divulgativi

Introduzione divulgativa alla teoria quantistica

Si identificano alcuni processi fisici molto semplici che sono assolutamente incomprensibili secondo le teorie classiche, in base a quegli schemi concettuali che risalgono al periodo di tempo che va dalla rivoluzione galileiana fino al 1800 e che comprendono la meccanica newtoniana e l'elettromagnetismo di Maxwell. Come si spiega il fatto che il colore di un corpo dipende dalla sua temperatura? È un mistero che rimase senza soluzione fino a quando Planck non fece un'ipotesi che sconvolse tutte le leggi classiche sulle radiazioni elettromagnetiche.

Come è possibile che gli atomi di uno stesso elemento possano avere le stesse identiche proprietà fisiche comunque siano prodotti? Ciò è del tutto impossibile per il nostro sistema solare in cui le orbite dei pianeti, come sappiamo dalla "Teoria del Caos", dipendono in modo critico dalle condizioni iniziali. Eppure, nel caso in cui si passi da un atomo ad un altro con un elettrone in più o in meno, le proprietà di tali atomi cambiano radicalmente.

Togliendo allo Xeno, che è un gas inerte, un elettrone, un protone e qualche neutrone, si otterrà lo Iodio che ha un'alta affinità elettronica e quindi un comportamento chimico-fisico radicalmente differente. Questo fenomeno non potrebbe accadere per il nostro sistema solare in cui non si avrebbero importanti cambiamenti di comportamento del sistema, se togliessimo un pianetino (considerando il Sole un pò più leggero).

Un altro fenomeno che crea conflitto con la dinamica classica è quello della stabilità degli atomi: sappiamo che gli elettroni si muovono su orbite circolari o ellittiche e hanno quindi una accelerazione. Secondo le equazioni di Maxwell, una carica accelerata emette radiazioni, cioè irradia. Irradiando, perde energia ed è destinata a cadere, in un intervallo di tempo molto breve, sul nucleo. Si deve dedurre che ciascun atomo dovrebbe avere una vita media molto breve in modo da manifestare le sue proprietà costanti solo per intervalli di tempo pari a frazioni di secondo, il che contraddice le osservazioni reali.

Da tutti questi e da molti altri fatti è scaturita quella crisi della fisica classica che, come spesso accade anche nella vita reale in tempi di crisi ideologiche, conduce ad una vera e propria rivoluzione (scientifica, in questo caso) che porterà all'elaborazione della teoria quantistica moderna.

Concetto di quanto

Consideriamo un fatto importantissimo, molto dibattuto in campo fisico fin dalla sua nascita, nel Seicento: la luce ha una duplice natura, ondulatoria e particellare. In certi casi la luce si comporta come un'onda, in altri come un insieme di particelle (denominate fotoni). Nel 1704 Newton pubblicò "l'Ottica", in cui ipotizza che la luce sia costituita da un numero molto grande di particelle che si propagano in tutte le direzioni, in linea retta. Tale modello descrive molto bene le proprietà dell'ottica geometrica, cioè i fenomeni della riflessione e della rifrazione della luce.

Nel 1690, prima della pubblicazione dell'Ottica da parte di Newton, l'olandese Huygens aveva pubblicato il "Trattato sulla luce", in cui ipotizzava che la luce fosse un'onda che si propagava in un mezzo, denominato etere, presente in tutto l'Universo. Ricordo che le particelle sono materia in movimento mentre le onde trasportano energia e non materia.

Fino all'inizio del 1800 gli scienziati ritenevano valido il modello particellare di Newton perché descriveva efficacemente, oltre alla riflessione e alla rifrazione, la formazione delle ombre nette (infatti dove arrivano le particelle c'è luce, dove non arrivano c'è ombra) mentre giudicavano poco convincente il modello ondulatorio di Huygens poiché, anche se spiegava bene la riflessione e la rifrazione, non era ancora ben chiaro che tipo di perturbazione fosse la luce né che tipo di mezzo fosse l'etere.

Nel 1801 l'inglese Young eseguì un esperimento (analogo a quello delle onde sull'acqua), divenuto celebre come il problema delle due fenditure, in cui dimostrava come i fenomeni dell'interferenza luminosa e della diffrazione fossero interamente spiegati tramite la teoria ondulatoria, avvalorando così l'ipotesi di Huygens. A conferma dei risultati degli studi di Young sull'interferenza arrivò nel 1850 la dimostrazione, fatta da Foucault, che la velocità della luce nei mezzi materiali trasparenti, come l'acqua, è minore di quella nel vuoto, confermando ulteriormente il modello ondulatorio.

In base alla previsione teorica di Newton la velocità di propagazione della luce in un mezzo trasparente è tanto più grande quanto più grande è l'indice di rifrazione del mezzo (cioè nell'acqua la velocità della luce è maggiore di quella nel vuoto), mentre Huygens giungeva ad una previsione opposta e cioè che la velocità di propagazione della luce in un mezzo trasparente è tanto minore quanto più grande è l'indice di rifrazione del mezzo. Alla fine del 1800 con i lavori di Maxwell, il quale scoprì, per via teorica, che la luce è un'onda elettromagnetica la cui perturbazione è costituita da campi elettrici e magnetici che si propagano anche nel vuoto, il modello ondulatorio si impose del tutto.

Nel 1905, però, il quadro si complicò di nuovo. Einstein, confermando l'ipotesi di Planck del 1900 riguardo al concetto di "quanto d'azione", scoprì che la luce, incidendo su un metallo, provoca l'emissione di elettroni (effetto fotoelettrico), comportandosi come se fosse costituita da "granuli di energia", in seguito chiamati fotoni. In tal modo Einstein riconfermava la natura particellare della luce. Non c'è contrasto tra i due modelli, ondulatorio e particellare, poiché descrivono caratteristiche diverse della luce: nella propagazione la luce si comporta come un'onda, nell'interazione con la materia attraverso scambi di energia (emissione ed assorbimento) essa si comporta come un insieme di corpuscoli.

Sappiamo che la luce visibile è soltanto quella parte dello spettro elettromagnetico che è compresa tra i 400 nm e i 750 nm di lunghezza d'onda, ma non è l'unico tipo di radiazione: i raggi X, le onde radio, i raggi ultravioletti e altri tipi di onde sono simili alla luce visibile ma di frequenza diversa. Frequenza e lunghezza d'onda sono grandezze inversamente proporzionali (all'aumentare dell'una diminuisce l'altra) e legate alla velocità della luce dalla relazione: l = c/f (l=lunghezza d'onda in m - c=velocità della luce nel vuoto in m/s - f=frequenza in Hertz). Come si è arrivati all'ipotesi quantistica di Planck?

È noto che un corpo la cui temperatura si trovi al di sopra dei 0 K (corrispondente a -273.15°C, lo zero assoluto misurato in kelvin) emette energia sotto forma di irradiamento, una delle forme di propagazione del calore. L'irradiamento consiste in una emissione di onde elettromagnetiche di diverse lunghezze d'onda e quindi di diverse frequenze: per studiare in laboratorio il fenomeno dell'irradiamento è utile proporre un modello ideale di corpo emettitore, con delle caratteristiche del tutto peculiari, denominato "corpo nero".

Le caratteristiche del corpo nero sono:

• La capacità di assorbire completamente onde elettromagnetiche di tutte le lunghezze d'onda.
• Lo spettro di frequenza (cioè la variazione della distribuzione dell'energia in funzione della lunghezza d'onda) dipende esclusivamente dalla temperatura del corpo e non dalla sua composizione chimico-fisica (forma, superficie, ecc.).

In natura non esiste un corpo perfettamente nero, cioè perfettamente assorbente, ma tale modello può essere approssimato a livello sperimentale da un oggetto cavo, mantenuto in equilibrio termodinamico, le cui pareti interne ed esterne vengono annerite con nero fumo, in modo tale da assorbire il 97%-98% della radiazione incidente, e che presenta un piccolo foro da cui la radiazione può entrare ma non uscire (in realtà una percentuale trascurabile di radiazione riesce ad uscire).

Le caratteristiche della radiazione del corpo nero possono essere descritte da due leggi di fisica classica: la legge di Stefan-Boltzmann e la legge dello spostamento di Wien. La legge di Stefan-Boltzmann mostra, tramite un grafico con le lunghezze d'onda (o le frequenze) in ascissa e la radianza (potenza irradiata per unità di superficie W/m²) in ordinata, che l'intensità di irradiamento aumenta in proporzione al crescere della quarta potenza della temperatura (ossia se raddoppia la temperatura, la radianza spettrale aumenta di 16 volte). Lo stesso grafico della distribuzione spettrale permette di osservare, secondo la legge di Wien, che, al crescere della temperatura T, la lunghezza d'onda massima, cioè quella a cui corrisponde il massimo della curva (picco spettrale), si sposta verso lunghezze d'onda minori, ossia verso frequenze sempre più alte.

Ad esempio, alla temperatura di 830 K corrisponde un picco spettrale a lunghezza d'onda di 3.5 * 10^-6 m (3.5 micrometri) mentre a temperature superiori a 1000 K si hanno dei picchi di emissione nella banda del visibile (cioè a lunghezze d'onda inferiori a 0.75 * 10^-6 m (0.75 micrometri). Per lunghezze d'onda tendenti a zero, gli spettri scendono rapidamente a zero, cioè si ha una radianza spettrale tendente a zero.

Questa caratteristica mise in crisi i fisici alla fine del 1800. Rayleigh e Jeans, in particolare, avevano infatti utilizzato il principio di equipartizione dell'energia (che prevede che le onde racchiuse all'interno della cavità abbiano tutte la stessa energia) per spiegare l'emissione e l'assorbimento di radiazioni del corpo nero ed avevano ottenuto degli spettri che, anziché scendere a zero a piccole lunghezze d'onda, crescevano fino all'infinito. In altre parole, c'era una notevole discrepanza rispetto ai valori ricavati sperimentalmente: vi era accordo solo alle basse frequenze (cioè per grandi lunghezze d'onda), mentre alle alte frequenze ciò non accadeva. Questa falsificazione delle previsioni teoriche di Rayleigh e Jeans da parte dei dati empirici fu definita da Gamow come "catastrofe ultravioletta".

Il 14 Dicembre del 1900 nasce, con la presentazione dei risultati degli studi di Planck sulla distribuzione spettrale del corpo nero, la fisica moderna. Studiando l'incongruenza della formula di Rayleigh e Jeans rispetto ai dati sperimentali, Planck modificò tale formula, tramite un artificio algebrico, in modo da farla "combaciare" al grafico che descriveva i risultati empirici. Questa formula, denominata legge di Planck, è corretta anche per le alte frequenze poiché a frequenze tendenti ad infinito corrisponde un'energia tendente a zero. Il passaggio matematico fondamentale consiste nella sostituzione degli integrali relativi all'energia (quindi calcoli svolti in presenza di grandezze continue) con sommatorie discrete, presupponendo quindi che l'energia fosse una variabile discontinua.

Tutto ciò condusse Planck a formulare l'ipotesi, in seguito rivelatasi fondata, secondo cui un qualunque sistema fisico, che si evolve nel tempo, possiede solo valori totali di energia E tali da rispettare la relazione E = n*h*f, in cui f è la frequenza di oscillazione del sistema, h è la costante di Planck (6.63*10^-34 J*s) ed n è il numero quantico. Il numero quantico principale n determina l'energia di un elettrone e quindi dell'orbitale in cui si trova (altri numeri quantici caratterizzano la forma, la dimensione e l'orientamento degli orbitali). Proprio il numero quantico n dimostra che l'energia totale E è un multiplo della grandezza h*f, che rappresenta quindi il valore del quanto di energia.

Gli stati energetici permessi, multipli interi di h*f, sono denominati stati quantici. L'ipotesi quantistica apparve allo stesso Planck come una costruzione astratta che non comportava un mutamento radicale nella concezione della realtà. In un certo senso, Planck fu costretto ad introdurre il quanto d'azione nel momento in cui si rese conto che non vi erano altre vie per dare una spiegazione teorica dei fenomeni dell'irradiamento. Ma l'idea di energia quantizzata e di stati quantici sarà fondamentale per i successivi sviluppi della fisica, in particolare per lo studio dell'effetto fotoelettrico di Einstein (per il quale ricevette il premio Nobel nel 1921) e per il modello atomico di Bohr.

L'effetto fotoelettrico

Nel 1902 Lenard eseguì una serie di esperimenti su un fenomeno, definito "effetto fotoelettrico", in base al quale una superficie metallica colpita da onde elettromagnetiche emette elettroni. Per fare ciò, egli utilizzò un tubo a vuoto, in cui una radiazione ultravioletta di una determinata lunghezza d'onda lambda colpisce la superficie metallica, dalla quale si estraggono elettroni. Se la d.d.p. è positiva, si nota che l'intensità della corrente limite è proporzionale all'irradiamento della superficie metallica, mentre se la d.d.p. è negativa l'intensità della corrente diminuisce fino ad annullarsi in corrispondenza di un certo valore di tensione, denominato "potenziale di arresto".

Lenard notò che il potenziale d'arresto non dipende dall'irradiamento della superficie metallica e quindi neanche l'energia cinetica massima degli elettroni, in contrasto con l'elettromagnetismo classico, secondo cui l'irradiamento di una superficie prodotto da un'onda elettromagnetica è direttamente proporzionale al quadrato dell'ampiezza di oscillazione del campo elettrico. Come sappiamo, nel 1905 Einstein, avvalorando l'ipotesi di Planck (premio Nobel nel 1918) sullo spettro del corpo nero, fornì una spiegazione quantistica dell'effetto fotoelettrico (secondo cui le onde elettromagnetiche sono composte da "pacchetti" energetici, chiamati "quanti"), per la quale ricevette il premio Nobel nel 1921.

L'effetto Compton

Nel 1923, Compton condusse una serie di esperimenti sulla diffusione dei raggi X da parte degli elettroni, che consisteva nel misurare la lunghezza d'onda dei raggi diffusi a diverse angolazioni rispetto alla direzione incidente. Egli notò che, per un angolo di 90°, una parte dei raggi X diffusi aveva la stessa lunghezza d'onda di quelli incidenti, la parte rimanente aveva una lunghezza d'onda più grande. Ciò non si può spiegare secondo le leggi dell'elettromagnetismo classico. Anche in questo caso, la spiegazione dell'effetto Compton risiede nell'ipotesi di Einstein (secondo cui le radiazioni elettromagnetiche sono composte di fotoni in grado di interagire con gli elettroni).

I modelli atomici di Thomson e Rutherford

Nel 1904 Thomson formulò un'ipotesi sulla struttura dell'atomo, prima della scoperta del nucleo atomico, secondo la quale la carica positiva era distribuita uniformemente in tutto il volume atomico e quella negativa era concentrata all'interno di tale distribuzione (per questo si parla anche di "modello apanettone"). Complessivamente l'atomo è neutro elettricamente.

Rutherford, nel 1911, sottoponendo a verifica il modello di Thomson con i suoi celebri esperimenti sul bombardamento di una lamina d'oro da parte particelle alfa, propose un nuovo modello atomico, conosciuto come modello "planetario", secondo cui l'atomo ha un nucleo centrale molto piccolo a carica elettrica positiva, attorno al quale ruotano, ad una certa distanza, gli elettroni.

P.S. Thomson, avvalendosi di uno speciale tubo catodico, misurò anche il rapporto tra la carica e la massa di un elettrone, ma queste due grandezze all'epoca erano ancora sconosciute. Nel 1909 Millikan determinò la carica dell'elettrone (e=-1.6*10^-19 C) e quindi, dal rapporto carica/massa trovato da Thomson, fu possibile il calcolo della massa dell'elettrone (9.1*10^-31 kg).

L'atomo di Bohr

Come Planck, per superare i problemi legati al fenomeno dell'irradiamento del corpo nero, formulò un'ipotesi estranea ai concetti della fisica classica, così Bohr introdusse un'altra ipotesi altrettanto conflittuale per ovviare alle difficoltà del modello planetario dell'atomo di Rutherford: la quantizzazione della materia. L'idea di fondo è molto semplice: assumiamo che, in contrasto con la visione classica, tutti i moti planetari degli elettroni non siano possibili e che esistano alcune orbite privilegiate, le sole che possono essere percorse da un elettrone.

Tale ipotesi nega, allo stesso modo di quella di Planck, la naturale continuità di un processo fisico: un elettrone, al fine di costituire un legame atomico, dovrà essere catturato in una di quelle condizioni che risulta compatibile con la formazione di un legame coerente. Ciò implica il fatto che solo alcune orbite siano possibili e che a queste orbite discrete corrispondono valori ben determinati di energia, che risulterà anch'essa una variabile quantizzata. Si spiega così la regolarità degli atomi e la loro insensibilità ai disturbi e...