L2 richiami di calcolo algebrico

La potenza e le sue operazioni

La notazione 4 x x x indica la potenza m-esima della base a. Ad esempio, 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

Operazioni con potenze della stessa base

Per le operazioni di prodotto e di divisione tra potenze con la stessa base, si opera come segue:

(a^m)×(aⁿ) = a^m+n e a^m/aⁿ = a^m−n

Ad esempio, 2³ × 2² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 32 = 2⁵

Dalle relazioni precedenti si può anche dedurre che a⁰ = 1, a^−m = 1/a^m e (a^m)ⁿ = a^m×n.

Nota Bene: a^m + aⁿ ≠ a^m+n. Ad esempio, 2³ + 2² = (2 × 2 × 2) + (2 × 2) = 12, non 2⁵.

Ulteriore notazione utilizzata

a^1/m = a^m^1/m

Ad esempio, 2^1/2 = √2.

Notazione scientifica

Nella notazione scientifica, le grandezze numeriche si esprimono nel seguente modo: a × 10^m dove a è un numero compreso tra 0 e 10.

Ad esempio, 56789 si esprime come 5.6789 × 10⁴.

Con il metodo della notazione scientifica si può valutare quello che si chiama un ordine di grandezza (ODG). Se m è positivo, allora si avrà che l’ODG del numero in questione è m se a < 5, m + 1 se a > 5.

Nel caso in cui il nostro numero sia espresso come a × 10^−m, il suo ODG sarà −m se a < 5, −m + 1 se a > 5.

Ad esempio, 0.0004 si esprime come 4 × 10⁻⁴.

Esempi di grandezze fisiche

• Raggio classico dell’elettrone: 2.8 × 10⁻¹⁵ m
• Dimensioni di una cellula animale: 10⁻⁵ m
• Dimensioni di una sequoia: 10² m
• Distanza media Terra-Sole (UA): 1.496 × 10¹¹ m
• Dimensioni dell’Universo osservabile: 4.7 × 10²⁶ m

Equazioni di primo grado

La relazione a = b rappresenta un'uguaglianza. I termini a destra e a sinistra del segno di uguaglianza vengono detti membri. Una uguaglianza rimane tale se aggiungiamo o sottraiamo ad entrambi i membri una identica quantità, ovvero la stessa cosa vale se moltiplichiamo o dividiamo ambo i membri per una stessa quantità, ovvero a ± c = b ± c.

Consideriamo la seguente equazione di primo grado nell’incognita x: ax + b = 0 dove a e b sono noti. Applicando le regole precedenti potremo scrivere:

ax + b − b = −b

ax = −b

A questo punto possiamo dividere ambo i membri per a:

x = −b/a

Equazioni di secondo grado

2ax² + c = 0 (pura) ⇒ x² = −c/2a ≠ 0

−ax/−a = c/a