L2 richiami di calcolo algebrico

La relazione a = b

La relazione a = b rappresenta una eguaglianza. I termini a destra e a sinistra del segno di uguaglianza vengono detti membri. Una uguaglianza rimane tale se aggiungiamo o sottraiamo ad entrambi i membri una identica quantità, ovvero la stessa cosa vale se moltiplichiamo o dividiamo ambo i membri per una stessa quantità, ovvero a/b = m/a = m/b.

Consideriamo la seguente equazione di primo grado nell'incognita x:

a x + b = 0

Applicando le regole precedenti, possiamo scrivere:

ax + b - b = -b

ax = -b

A questo punto possiamo dividere ambo i membri per a:

x = -b/a

Equazioni di secondo grado

2ax + c = 0 (pura)

a ≠ 0

Applicando le regole precedenti, possiamo scrivere:

2ax + c = 0

2ax + bx + c = 0

Risolvendo l'equazione otteniamo:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

4ac02⎝⎛x+ =2 22ba⎞⎟⎠ b 4-a4 ac2⎜⎝ -4ac2b b=±x+ 2a 4a b2-4ac2b=- ±x 2a 2a

Sistemi di equazioni di primo grado

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni che valgono contemporaneamente.

Il sistema si dice di primo grado quando le equazioni che lo compongono sono di primo grado.

Per risolvere un sistema trovare le soluzioni che vanno bene per tutte le equazioni.

Sistemi di due equazioni di primo grado in due incognite

⎧ax + =by c

⎨ + =

⎩ dx ey f

Ad esempio risolviamo :

⎧x+3y=12

⎨

⎩ x-y=7-2x

1) riduzione a forma normale

⎧2x+3y=12

⎨

⎩3x-y=7

Metodo di sostituzione

2) Esplicito la y nella seconda equazione

⎧y=12-7+3x

⎨

⎩

3) Sostituisco la y nella prima equazione

⎧2x+3(12-7+3x)=12

⎧

⎧x=3

⎨ →

⎨ →

⎨

⎩

⎩y=-7+3x

⎩y=-7+3x

⎩y=2

Controlliamo:

⎧2x + =12

⎧2⋅3 + =12

⎨ →

⎨ ( ) ( )

− =− =

⎩

⎩ 3 2

73x y 7 3⋅⎧⎩ ⎨aa ==cc ⎧⎪⎪xx++aa yy a x21,,11 12,2 1 1,1+c =−a ay xc1 ,2 12 2 ,1 →⎨ =y⎩ a,2 2 2 , 2⎧ −c a x2 2,1 7⎪⎪ + =a x a a c1,1 1,2 12 , 2→ ⎨ −c a x⎪ = 2 2 ,1y⎪⎩ a 2 , 2 −⎧ a c a c= 2 , 2 1 1, 2 2⎪ x −⎪ a a a a→ ⎨ 2 , 2 1,1 1, 2 2 ,1−a c a c⎪ = 1,1 2 2 ,1 1y⎪ −⎩ a a a a2 , 2 1,1 1, 2 2 ,1

Metodo di Cramer

Disequazioni

La disequazione e' una disuguaglianza che e' verificata per certi intervalli di valori

x−4≥0

Ad esempio la disequazione

e' verificata per tutti i valori della x maggiori di 4,

Una disequazione si dice di primo grado quando la x vi compare a potenza 1

Ad esempio:

x−4≥3x+2

e' una disequazione di primo grado

Se moltiplico o divido per un numero negativo devo cambiare diverso la disequazione

Porto le x prima dell'uguale ed i numeri dopo l'uguale; chi salta l'uguale cambia di segno.

x−3x≥2+4 8

Divido entrambe i membri

per -2 e contemporaneamente cambio di verso ladisequazione

Semplificox≤-3

Quindi la soluzione è l'insieme delle x minori od uguali a -3. Si può indicare anche nei seguenti modi: { x≤-3}, x∈R |oppure -∞,-3( ]od anche -3 R

Sistemi di disequazioni di primo grado

Un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni che valgono contemporaneamente.

Il sistema si dice di primo grado quando le disequazioni che lo compongono sono di primo grado.

Per risolvere un sistema basta risolvere le disequazioni che lo compongono poi considerare le soluzioni che vanno bene per tutte le disequazioni. Ad esempio risolviamo: ≥12 +2x+14 x<3x- 2 7

Sposto i termini con x prima dell'uguale, quelli noti dopo l'uguale cambiando di segno

x≥-2

quelli che saltano l'uguale

{ x< 3

la soluzione è -2≤x<3. Determinazione del segno di un polinomio di secondo grado

Metodo algebrico

Risolvere una disequazione di

Il secondo grado significa trovare il segno del polinomio di secondo grado ax + 2.

Considero il polinomio di secondo grado bx + c con a > 0.

Per determinarne il segno, consideriamo sempre il caso in cui (se fosse a minore di zero, basterebbe moltiplicare tutto per -1 e in tal caso ricorda di cambiare il verso alla disequazione) il delta del polinomio sia maggiore di zero.

Voglio trovare il segno del polinomio di secondo grado bx + c con ax + 2.

Considero l'equazione associata bx + c = 0.

Se il discriminante dell'equazione è maggiore di zero, allora ho due soluzioni reali e distinte x1 e x2.

In questo caso posso utilizzare la decomposizione del trinomio ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

Quindi basterà trovare il segno di a(x - x1)(x - x2).

Anzi, siccome a è maggiore di zero, possiamo limitarci a (x - x1)(x - x2).

x < x1 o x > x2

Se ax + bx + c > 0, allora x < x1 o x > x2.

Se ax + bx + c < 0, allora x < x1 e x > x2.

Delta del polinomio uguale a zero: x

Se il discriminante dell'equazione è uguale a zero, allora ho una soluzione reale doppia x.

e' uguale a zero allora ho due soluzioni 1= x reali e coincidenti2 ax +2e in questo caso la decomposizione del trinomio diventera'bx + c = a ( x - x )(x - x ) = a ( x - x )21 1 1e il segno di un quadrato e' sempre positivox = x = -b/2a R1 2+ + 11Delta del polinomio minore di zeroSe il discriminante dell'equazione e' minore di zero allora non ho nessuna soluzionex xquindi non posso fare riferimento ad ed Allora per vedere il segno del trinomio1 2ax + bx + c2devo riferirmi a qualcos'altro: in matematica io so che un quadrato ha sempre il segnopositivo, quindi cerco di isolare parte del trinomio facendola diventare un quadrato:come prima cosa metto in evidenza a fra i vari termini+bx + = + + ⎞ ⎟=ax c a⎛⎜x b x c2 2 ⎝ ⎠a a= + + + − ⎞ ⎟⎟⎠ =22 22a⎛⎜⎜⎝x ba x ac 4ba 4ba2= a⎛⎜⎜⎝ + + − +x b x b 4ba2 22 22⎞ ⎟⎟⎠ =ac a 4a⎡a⎢⎣⎢⎛⎜⎝x + ⎞⎟ − ⎛⎜⎜b ⎞⎟⎟⎠⎥ ⎤ ⎥⎦2 22 b

Riferimento u, vengono riportati a destra dello 0 (detto l'elemento neutro) i numeri positivi, mentre a sinistra, quelli negativi. In altre parole si può creare una corrispondenza tra un numero e la lunghezza di un segmento di retta e dividere la retta in tanti segmenti uguali pari alla lunghezza del segmento.

Esempio 1: a = 2u

Esempio 2: b = -u

Esempio 3: c = 2.5u

b a c

-3u -2u -u 0u 2u 3u

Es. 1 cm u

Rappresentazione della posizione di un punto su una retta

P -3a -2a -a 0a 2a 3a 14