Integrali in R
Problema: assegnare a sottinsiemi del piano un'area
A = {(x,y) | 0 <= y = ex , x ∈ [0,1]} y
f: [a,b] → ℝ continua f ≥ 0
A = {(x,y) | x ∈ [a,b] 0 ≤ y ≤ f(x)} y
(b-a) m ≤ area(A) ≤ (b-a) M
Definizione di integrale
f: [a,b] → ℝ se M ∈ IN {0} e dividiamo l'intervallo [a,b]
in m parti uguali
- x0 = a
- x1 = a + (b-a)/m
- x2 = a + 2(b-a)/m
- x3 = a + 3(b-a)/m
- xm = a + m(b-a)/m = b
Sia Cl ∈ [xl-1 , xl] l = 1, 2, 3, ..., m
La base di tutti i rettangoli (b-a)/m allora.
- ∑l=1m (b-a)/m f(ci) = b-a ∑i=1m f(ci) (b-a)/m
⇒ Somma di Riemann
= Sm (fc1, c2, ..., cm)
INTEGRALI IN R
Problema: assegnare a sottoinsiemi del piano un'area
A = {(x,y) | 0 ≤ y = ex, x ∈ [0,1], y}
f: [a,b] → R continuo f ≥ 0
A = {(x,y) | x ∈ [a,b] 0 ≤ y ≤ f(x), y}
(b-a) m ≤ area(A) ≤ (b-a) M
Definizione di integrale
f: [a,b] → R se m ∈ N | {0,y} e dividiamo l'intervallo [a,b] in m parti uguali
- x0 = a
- x1 = a + (b-a)/m
- x2 = a + 2(b-a)/m
- x3 = a + 3(b-a)/m
- xm = a + m(b-a)/m = b
Sia Ci ∈ [xi-1, xi] l = 1, 2, 3, ..., m
Le base di tutti i rettangoli (b-a)/m allora
con: ∑mi=1 (Ci) = b-a/m f(ci) = b-a/m ∑mi=1 f(ci) = b-a/m (f(ci) + f(c2) + ... + f(cm)) =
SOMMA DI RIEMANN
Sm(fc1, c2, ... cm)
Diremo che f è integrabile se
- ∃ limM → ∞ SM = l ∈ ℝ
- Inoltre l non dipende da c1, ... , cM
Teorema
Se f: [a,b] → ℝ è continua → f è integrabile
f: [a,b] → ℝ f(x)=c ∀ x ∈ [0,b] ∈ ℝ
f è cont → f è int.
SM (f(c1, ..., f(cM)) = b-a/M
Σi=1M f(i) = (b-a)/M (c + c + ... + c) =
= (b-a). mc = (b-a). c
Area del rettangolo
Se f(x) = x
f: [0,1] → ℝ
x2 = 2/n
xM = n/n = 1
f è cont → f è integrabile
SM(f(c1, ... , cM)) =
scelgo c1, ... , cM nel seg. modo
{ c1 ... cn } = {1/M, 2/M...1 } λ =
= b-a/M Σi=1M f(i/M) =
= b-a/MΣk=1M f(i) =
=1/M Σi=1M i = 1/M2 (1+2+3+...+M) =
= 1/M2 m(m+1)/2 → 1/2
n → ∞ 1/2
- di funzione che non è integrabile
f(x) = \{ 1 x ∈ [0,1] ∩ ℚ
\{ 0 x ∈ [0,1] \ ℚ
f non è cont. in tutti i punti di [0,1]
Dimostrazione
Che il limite Sn (f; c1, ..., cn) dipenda da c1, ..., cn = (il nome non vale il 2)
⇒ f non è integrabile⇒ Sn (f; c1, ..., cn) = b-a⁄n ∑k=1n f(ck)
Scegliamo c1, ..., cn ∈ [0, 1] ∩ ℚ ⇒ Sn (f;c1, ..., cn) ⇒
⇒ 1⁄m ∑k=1m f(ck) = 1⁄m (m volte) = 1⁄m; m = 1 ⇒ limn→+∞ Sn (f;c1, ..., cn) = 1
f non è continua in tutti i punti [0,1]
Scegliamo c1, ..., cn ∈ [0,1] \ ℚ ⇔ Sn (f;c
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