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INTEGRALI IN R
Problema: assegnare a sottoinsiemi del piano un'area
A = {(x,y) | 0 ≤ y ≤ ex, x ∈ [0,a]} y
f: [a, b] → ℝ continua f ≥ 0
A = {(x,y) | x ∈ [a,b] 0 ≤ y ≤ f(x)} y
(b-a) m ≤ area(A) ≤ (b-a) M
Definizione di integrale
f: [a,b] → ℝ se n ∈ ℕ \ {0}; e dividiamo l'intervallo [a,b]
in m parti uguali
- x0 = a
- x1 = a + (b-a)/m
- x2 = a + 2(b-a)/m
- x3 = a + 3(b-a)/m
- xn = a + m(b-a)/m = b
Sia Ci ∈ [xi-1 , xi] i = 1, 2, 3, ..., m
La base di tutti i rettangoli (b-a)/m allora
∑i=1m (b-a)/m f(ci) = b-a/m ∑i=1m f(ci) =
b-a/m (f(c1) + f(c2) + ... + f(cm))
SOMMA DI RIEMANN
Dimostrare che f è integrabile se:
- ∃M→+∞ limM→+∞ SM = l ∈ ℝ (l = nr reale)
- Inoltre l non dipende da c1, ..., cn ma il limite tende sempre ad l indipendente anche da c
Teorema
Se f: [a, b] → ℝ è continua → f è integrabile
Es. f: [a, b] → ℝ
f(x) = c ∀x ∈ [0, b] c ∈ ℝ
f è continua → f è integrabile
SM (f(c1, cn)) = (b-a)/M
∑Mi=1 f(i) = (b-a)/M (c+c...+c) = (b-a)/M * M * c = (b-a) * c
Area del rettangolo
- f(x) = x
f: [0, 1] → ℝ
f è continua → f è integrabile
SM (f(c1, ..., cn)) = scelgo c1, ..., cn nel seguente modo
{c1, ..., cn} = {1/M, 2/M, ..., 1}
b-a = ∑Mi=1 f(i/M) = (b-a)/M * ∑i=1M i = 1/M * ∑i=1i=1 i = 2/M² (1+2+3...+M) = (1/M²) M(M+1)/2 → 1/n→+∞ 1/2
- Es. di funzione che non è integrabile:
f(x) = { 1 x ∈ [0, 1] ∧ ℚ | 0 x ∈ [0, 1] ∖ ℚ }
f non è continua in tutti i punti di [0, 1]
Dimostrazione
Per HP, f è continua → F1 è integrabile
∫abF(x)dx = limn→+∞ Sm (c1, c2, ..., cn) = limn→+∞ b-an ∑i=1n f(mi)
& Scelgo il segmento
& T di lagrange ∃ci∈(xi-1, xi) f(xi) - f(xi-1) = f'(ci)
limn→+∞ ∑i=1m f'(ci) = limn→+∞ b-am ∑i=1n (f(xi) - f(xi-1)) = limn→+∞ b-am ∑i=1
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