Equazioni differenziali ed integrali

COSTA

1 COSI '/×

2 SI MI 2 Cosi

E 1

= E / FE cosy "✗ E

g- tg E

dy-fa. Ed>

Idy = lag 191 + e

- 1

= lag Itg ¥/te

- xes file -/ Ing da

" fai a casa

sin/E"

)

G-E"

dy =-di - Malm

- Plx) di

Integra ci fuma. razionali - Aix)

- POLINOMI Pm; Ama

M-o b. a Daxtb Grado

} ady = & logly/+ e

1 dx = È

axtb 9=9×+3 flaglaxtb/ + e

ely' = adx n 3×-2

1 3 e/x = flag' 41 te

1 di =! y

3×-2 I = I log 13×-21 + e

4=3×-2 r

dy-3dx

M-O me 2

axatbxte = a/✗ '+ Ex + G) - te +:)

a [(x2 + 2 {+ + Là

-

= a/(✗ that- bi-hae

ha? Dio attbxte = a (✗ + fa)

= affitti-s g- a dx = è 4-2+1 + e =L. f- te

ha? 1 1

ftp.ydx a

" / attuate A- &

- Glaxtbxteldx = a/× 'da + b) xelxteflx -2+1 ↳ 9 = Ebba

g- (✗ + ha) = la Ebbate

= AI + by text d dy = dx

1 "=/AYE.IE/EYEEFM-1I+e

ex. 4×+8++4 y-✗ +1

dy-Ax

=-f. Fate

axtbxte = a [(✗ that-f)

a [(x + Bal'+ ÷)) 10

* di dx

axtbxte = È /(✗ Hal'+ far -%:[gà ftp.yig/y7dy--aretany+e

mi deve essere

1 1 Lea? dx ÷.

Era /È"

→ →

a

= :-È/ " 2

If Aha) [Is (× tal]'

ti

II Atha/71 + 1 g- 20 (✗ + za)

quadrato

di ☒ I

qualcosa dy. 20 dx

11 1

Fa / YY In aretgy + e

da

1

/ ✗ 21×+1 1=-3

1 1 dx =

/17×+1 "× - / (+2+21×+1)-1Gt'

+ 314

dx =

/EEFEI"I

✓ È

dx = / ¥ → Egaretan (£, 1×11)) + e

"È/ .

[Es (✗ + 1) ' ] + e = ha (☒ %)

dy = } dx

Imam Pm 1> o _ax'+ bxte

dx I

Qm = af (✗ + fa)"- Shar)

Did

Pmlx) = h> m

m-m

Eh-1 1 9

Qual ocead

PMA): Qual è un polinomio di grado m-m Dead + e

Rs (x) è il resto di grado si m

Principio di telentità dei polinomi

Ph = Qm ⇒ hanno gli stessi coeff

PM (X)-Pga)

"i ✗ 3+2×2 - ✗ + 1 :& ✗ 2-1 9=3-2

Am (x) -Aah

Vis

(x2-1) (Ax + B) + Ex +

D= ✗ '+2×1-✗ +1 IH) -Ax + B

Ax> + BI-Ax-☐ + ex +

Dix> +2×2-✗ +1 Ralx)-Ex + D

A-1 A-1

BI B? 3+2×-1+1 = ✗ +2 + 3 " " "°

-

Atle-1 Cio ✗ 2- 1

✗ 2-1

- Bt DEL D- 3 +2×+3/LÌ,

Palenari primi

24=323 Q.CH-9

① a =..

Aze ✗ 'tbxte IO IRRIDUCIBILE

µ a Nome

axtb = a (x + bla)

a ((☑ + E) 'fa)

= a [(✗ Il-Fa)!

(☒ :/+ Ba)

✗ 2- 1 = (x +11 (✗ -1) Integrazione ✗ frati semplici AxtatBx-B

A + B =

1

= IL# -: ÷, eh 1×+11×-1) = X-1 + +1 G- 1) (xt.nl

/ " =/ a

2- 1 ☒ 2) (X-1)

- 1- AXTATBX-B

.

= 1 log/×-11 -1 log 1×+11 + e A- + BEO A:-B A-K

A -B-1 B- -112

(×-2) 1 -

A- HAI/ TE, tata,] A-4 ×#-a

1

✗ +1 = A + B (x-1)

(Xt)

Repeat A + B "-11 ± s.

\

1×+11 1 = ✗ +2

×-1

1×-1/1×+1)

DIVIDO ✗ 1 Dei 2 polinomi

# - AAH + B

×-2 salgo la ✗ + semplice

✗ =-1.> -& = O + B

di

dx

axtb axabx + E

Ripetizione di è log /✗ + &/+ e • D= O % /alzo,, = 19 (×-Xo)""

-271 te

quello detto dx

• A> o 1

@ (×-xe) (✗ -a) = È [A log 1×-111 + Blog/×-✗ 21)

prima • SCO e/§!, = avergli.... I µ ✗ 7×+5

hmx + m

Mel ⇒ 2×+1 di = log 14/+ e = log (✗ 7×+5)

dx =

d

A ✗ atbx te ✗ 21×+5 y

M-z

Mah y = ✗ '+ × +5

dy = 2×+1 dx d xxx> 2×+1

3×+2 dx = 1g (3×+2) dx

✗ at × +5 ✗ 27×+5 → 1 2×+1-1+43

- ? / 2×+4/3 di =?/ /2 + × +5

✗ 2 + x +5

2.1 di

= 32. / 2×+1 +

✗ 27×+5 ✗ 27×+5

ma ha =?

mxtm dx = ha/ < "+ En M dx =

✗ 2+bxte ✗ abxte

I (2×+3)-bt 24

= 2 / m dx-

✗ 'tbx te

2×+5

= m ✗ 4- base "✗ + te (Fm-b) Alfa

2

ha lag 1×4 bxtel + me (Ram-b) ..... Guarda su

13 + ax' + bxtefa.be ER] Pma) ha sempre b. radici

- Ho Tre radici in & nel corpo complesso &

→ 1 è reale ✗ 1; ✗ 2:X}

= 28-W

✗ si ✗ 21×3 ER

1 caso 2k è raelice

2' caso ✗ SERVE E ✗ 3=52 IK è raelice

Phal:(✗ -✗ a)

(×-× 2) ... (x-× m) ✗ 3 taxi + byte = (×-✗

a) (x-✗ 2) (x-✗ 3)

✗ i è radice Pm A) ha sempre in radici in ¢

3 + ax? + bxte = (×-✗ a) (X-Cd + i B)

) (✗ -(2-1/3))

×> tax'+ bxtenxaxsrae.ie. ✗ o E 4 è radice -☒ E &

1) Xsexexsth ✗ 'taxabxte = (x-×. 13 M è dispari-E ✗

o ER

2) tu/X2; ✗ 34112 ✗

1 X 2=+3 ✗ 7- attbxte (✗ -✗

1) (✗ -x2)?

3) Xa, ✗

21×3 ER ✗ 1 ☑ ✗ 2 a ✗ 'tax'+ bxte = (✗ -✗ s) (×-12> LX-Xs)

4) ✗ stRxa-hip ✗

3=2-ipxtaxztbxte-lx-x.mx-2-iplix-dtip):(✗ ×

al

(1×-2)'-(ip))

Why n B

-

= (×-talk-217134

Paleli 2° grado 1<0

dx

✗ 3 taxi + byte Jody = 9-3+1 te = Ix-x.)"

. = te

caso 1 = / dx -3+2

(x-XP G- (×-*)

dy = da

dx =

CASO 2 = (✗ -✗

a) (×-X2)? A e

B

1

Frati semplici (X-x2) " (×-X2)?

(×-1) (×-x2)? = (X-Xi)

Opp A + Bxte mum grado <dever

(X-XI) (×-x2)?

1 = At Bxte

Moltiplico (×-✗ 1) (x-xD " "I/ ✗ exa.

(×-x2) + e

1 = (×-✗ 2) 'A + BIX-X2)

Moltiplico (×-x2)' 1- ✗ 1 XI ✗ = X2

✗ gri

3×2+2×-5

(X-1) (✗ + 2)

' gr>

3×2+2×+5 = ¥1 ' (7-2) + (£2)'

1×-211×+212 A- = 3×2+2×+5 - 3+2+5 = 1%

✗ Trovare A Moltiplico 32

1×+27 / ✗ -1=0

✗ =L

C- 3×2+2×+5 = 3.4-4+5 =-13

1×-1) /✗ =-2. →

3×2+2×+5

1×-111×+212 =?. ×! + Eh 1. Fap Ex

✗ o -4 = -17 + E I - D=

1 + B e

☒ staxtbxte ' ×-xp -x2 ×-+3

- A ✗ te

B

1 ✗ -X2 " (×-2)

'+132

✗ 70 ✗ '+

bxte

✗ Trovare B = A + Bxte

1 → 1×-27+13?

(✗ -✗ a)

((✗ -214132)

Le 1 - A /(x-D?-B') + Bxte

✗ stoomx-xe) (X-XI/×

A + B fila:b]-R

/Sua. F.

[a:b]-R: prativa f}

F primitiva di f ↳ F è continua in [a:b]

I F'MI = fai Kx E) a:b [

- tabella degli integri fond.

- /12ft/ lek = L/felxt B/gelx

- 1° formula di sostituzione

/figalg'Alex = [/fely),.gl,

giga)

clyigixick

- /fg'di = fg-figdx

Formula di sostituzione.

(figla)) g'a) dx = /fyely teorema. /fiche (flhisthistel,-/ 4-h-1h,

giga)

dy--gixtel e. hey) h diffeomorfismo­

1 dx-hicy.ly

/Luck:/144g (g- sey,, dy

g- gia = ✗ = g- 1 (y) g invertibile g- 1 continua a g continua

g' deve essere derivabile. g'#o

defady I g è Diffeomorfismo

✗ = g- Ily)

Sostituzioni standard g (x) = è

(R (ex) elx I/Riylfely

i Ig"

y = ex

di solito

razionale ✗ = logy

delydy

I (92+3

ex: / e" + 3 dx • 1, dy

(3×-2<2×+5 è-1 93-2g +5g-1

Geet

✗ -lagy

dxedy

y

Razionale

2° Riylfgady

Regaldx i

4 = Egx, ✗ = aretgy è invertibile

da 1

Ltyadt

• °/Ricosx, simxlelx.IR/tgE)dx=RlY).2dy­

=tgY2iarcty

Lty2­

2 tge

sin ✗ = attese k

✗ = 2 aretagy

cosa 1- tgy

It toy-12 dx = Eyrdy

SIA

" /RE; F) da /RLY'; g) 2yely

g. A

✗ = 92 a invertibile

de 2yd, 1 quoziente

/(Agi + By + e) + gIdy

/ tte de = / I'+1 aydy =

f- 1 9-1 = AgatBytet-Pg = 2976g the + fa.

243+29

g- 1 9> too

&, 24?? = At Bif + cfr + ¥,-1)

O o

A-2

Moltiplicato ✗ G. 11 29> + 2g = (Ag? + Byte/(y-1) + D 9=1 D- 4

9=0 E-4

9=-1 B- 6

(25+69+4+7) dy: 2%+6,1+4+4 lag/4-1/te =

- A

{✗ a +3×+4 txt he log/A. il + e

/Rixpralek =...

y.AE-✗ =P- eh 35dg

e.lv (R/96; 93,12) Gysdy­

/Rix, ☒ Exley. (Rixtra, ti/dx =

g- f

y:p ✗ = y"

g- 'a elx-Gybdy

/R (x; axts /dx =

Y = faxty> 9? axtb ✗ = 1,19?-b)

un

Polinomio 1' g

= 4ayely

axtb /dx =

I

extel

/*: 9 = Taxth

1 testo Ato extel

axtb = e + A

DIVISIONE b extel

extel Yi-axtb

quoziente extel

YYextell-ax-bio

✗ [ey?-a) tely'-3 = o

ehi ... .

= -dy?-b

CY 2 -a

La mette sicuro ato

RIX; axatbxte) di =

Fa): -✗ 2+5×+2

• A <O soo opp#l'esercizio l'insieme è

✗ a

X A- O Vuoto /°

ho 2 radici 1> o fa/= alx-xallx-x2)

Maco Meg positivo heg

> Va (x-✗ a) (✗ -x2) = X-Xi A (x-✗ 1) (✗ -✗ 2) = (X-XI)

A (X-XI) (✗ -X2) = ×- alx-Xa)

✗

1

✗ 1 ✗ -✗ 1

(✗ -Xak

Cs: fa = -✗ '+3×+4 1=9+16--25 ✗ = -315 1"

2 > 4

e -1×+1/1×-41 I (f) = [-1,4]

70 <O

= (x +1114-H ✗ 2+3×+4 = µ (✗ + 1) (4- ×) - (✗ +1) = (✗ + 1) =/Ati 114-+1

CHI/(4- +)

70 7° (tte! (✗

+ 1) 2

Y = FI Y' = 421×+1)-Lexx ⇒

✗ +1 ✗ (9' +11+(92-4)=0 dx:-2g (s'+21-(92-4/29 dy

✗ = -}92y-4! (42+1/2

(ft 3×+4 elx = /1×+1) fEfolx =/(1. 9

9'7-41 "I:p dy

504' dy

194113

- / 509?

(yatapdy - bolgay'spely = -50/9 Yppdy

2 ↳ 2g (9711' = 1 (gia)

(gasp' dy -3+1""

&. -Ects)'

=-25/-91:(Lyp + /E#yady

⇒ ☒ + bxte-5

a> o ✗ + bxte =) ✗ 2 + by + (e-921=0

170 ✗ =-b ITA

V71 =) ✗

2+1=4'

✗ "Y'→

- INIZI

Non È invertibilità

del ✗ '+ bxte = Y-×

✗ 2 + bxte - y> + x2 -2×9

byte-Y-2×9

(29 + b) × -ya-e 110

✗ = 9'-e U

2g +3 CASO 1 1> o

1»

✗ abxte fa = patate ICSI: too; tal Ixatot

Ex Metti 2 punti in b e e Gf. 1 su 1> o

1=0 ✗ 2

X

Integrali definiti ✗ 2

X

fila:b] _Rt

RIER.

"Re area Rss arcaR E area R2

b

a . • ..

. .

.. . .

c

[a:b] Decomposizione di [a:b] o → D= Exo; ✗ si /Xm}

9 ✗ 1 XL X, ✗ 4 b a:X o < ✗ rex, <......