Integrali doppi

Integrali doppi - Gli integrali semplici ( ad una variabile ) servono per calcolare l’area di una funzione, mentre gli integrali doppi ne colcolano in volume - Gli integrali doppi riguardano le funzioni a 2 variabili indipendenti e a differenza delle funzioni ad una variabile si integra su una superficie ansiche su un segmento. - L’elemento dxdy rappresenta un quadrato infinitamente piccolo che moltiplicato per f (x , y) dara come risultato il volume della colonna compresa tra la funzione e il piano xy Calcolo degli integrali doppi: La formula di riduzione permette di calcolare un integrale doppio come due successivi integrali semplici Esercizio 1) integrale doppio su dominio rettangolare Svolgimento: 1) Come prima cosa, utilizzando la formula della riduzione, si decide la variabile da integrare per prima ( in questo caso la x ). Durante l’integrazione di questa variabile si andrá a trattare l’altra come una costante. 2) Una volta svolto il primo integrale è sufficiente integrare nuovamente la funzione ottenuta dalla prima integrazione prestando particolare attenzione a non confondere gli estremi di integrazione Esercizio 2) integrale doppio su dominio rettangolare Svolgimento: Esercizio 3) integrale doppio su dominio normale rispetto ad x “D” sarebbe la base del solido a cui andremo a calcolare il volume Testo: Svolgimento: 1) Si inizia integrando per prima la variabile avente come dominio una funzione ( in questo caso la y ), il metodo di integrazione rimane lo stesso degli integrali doppi trattati precedentemente, ovvero si applica la formula di riduzione. 2) Una volta svolto il primo integrale è sufficiente integrare nuovamente la funzione ottenuta dalla prima integrazione. Esercizio 4) integrale doppio su dominio normale rispetto ad x Deduzione Svolgimento: Se allora Esercizio 5) integrale doppio su dominio normale rispetto ad y “D” sarebbe la base del solido a cui andremo a calcolare il volume Testo: ( L’equazione di una circonferenza C ( 0 , 0 ) è: Svolgimento: Cambi di variabile in integrali doppi - Per matrice jacobiana si intende una matrice che ha per valori sulle righe i gradienti delle due componenti della funzione. - Per gradiente si intende la derivate parziali delle 2 variabili che compongono una funzione . Esempio: Esercizio 6) integrali doppi in coordinate polari Testo: Svolgimento: Esercizio 7) integrali doppi in coordinate ellittiche Testo: Svolgimento: Integrali tripli caratteristiche e differenze Come vengono utilizzati: Integrali di linea ( o curvilinei ) In matematica, un integrale di linea (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o integrale curvilineo è un integrale in cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato integrale di contorno. Metodo di risoluzione: Testo: Svolgiment