Integrali impropri - Convergenza

Esercizi sugli integrali impropri

Esercizio 1

Studiare \( \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx \).

Svolgimento: È un integrale improprio, in quanto \( \frac{1}{\sqrt{4-x}} \) ha una singolarità in 1: \(\lim_{{x \to 1^+}} \frac{1}{\sqrt{4-x}} = +\infty\).

Osserviamo che \( f(x) \) è positiva, quindi è possibile applicare i criteri. Inoltre:

• \( \lim_{{x \to 1^-}} \sqrt{x + 1} = \sqrt{2} \)
• Per \(\lim_{{x \to 1^+}} \sqrt{x + 1} = \sqrt{2}\), si ha \(\frac{1}{\sqrt{4-x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x-1}}\) per \( x \to 1 \).

Per il criterio del confronto asintotico, \(\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx\) converge se e solo se converge \(\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{x-1}} \, dx\).

Con il cambiamento di variabile \( z = x - 1 \), abbiamo:

• \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{z}} \, dz\), che è del tipo \(\int_0^1 z^{-\frac{1}{2}} \, dz\) con \( \alpha = \frac{1}{2} \).
• \(\int_0^1 z^{-\frac{1}{2}} \, dz\) converge.

Quindi \(\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx\) converge.

Esercizio 2

Studiare \( \int_0^1 \frac{1}{x \sin(x)} \, dx \).

Svolgimento: È un integrale improprio su \( (0, 1] \), con una singolarità in 0, poiché \(\lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x \sin(x)} = +\infty\).

La funzione \(\frac{1}{x \sin(x)}\) è positiva, quindi possiamo applicare i criteri. Ricordando che \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = 1\), abbiamo:

• \(\frac{1}{x \sin(x)} \sim \frac{1}{x^2}\) per \(x \to 0\).

Quindi, per il criterio del confronto, \(\int_0^1 \frac{1}{x \sin(x)} \, dx\) converge se e solo se converge \(\int_0^1 \frac{1}{x^2} \, dx\).

Ma \(\int_0^1 \frac{1}{x^2} \, dx\) diverge. Allora \(\int_0^1 \frac{1}{x \sin(x)} \, dx\) diverge.

Esercizio 3

Studiare \( \int_0^2 \frac{\cos(x)}{\sqrt{3-2(x-1)}} \, dx \).

Svolgimento: La funzione integranda ha una singolarità in \( x = 1 \): \(\lim_{{x \to 1}} \frac{\cos(x)}{\sqrt{3-2(x-1)}} = +\infty\).

Siccome \(1\) è un punto interno a \( (0, 2) \), spezzo l'integrale:

• \(I = \int_0^1 \frac{\cos(x)}{\sqrt{3-2(x-1)}} \, dx + \int_1^2 \frac{\cos(x)}{\sqrt{3-2(x-1)}} \, dx = I_1 + I_2\).

Dunque \(I\) converge se e solo se \(I_1\) e \(I_2\) convergono. Osservo che:

• \(\frac{\cos(x)}{\sqrt{3-2(x-1)}} \sim \frac{\cos(1)}{\sqrt{3-2(x-1)}}\) per \( x \to 1 \).
• \(I_1 = \int_0^1 \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} \, dx\) converge se e solo se converge \(\int_0^1 \frac{1}{z^{\frac{2}{3}}} \, dz\), ponendo \(z = 1 - x\).
• \(I_2 = \int_1^2 \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} \, dx\) converge se e solo se converge \(\int_0^1 \frac{1}{z^{\frac{2}{3}}} \, dz\), ponendo \(z = x - 1\).

Quindi \(\int_0^2 \frac{\cos(x)}{\sqrt{3-2(x-1)}} \, dx\) converge.

Esercizio 4

Studiare al variare di \( \alpha \in \mathbb{R}^+ \) \(\int_0^{+\infty} \frac{\arctan(x)}{\alpha^3 x \ln(1+x)} \, dx\).

Svolgimento: È un integrale improprio sull'intervallo aperto \( (0, +\infty) \) (infatti la funzione integranda non è definita in \( x = 0 \)). L'integrale converge se e solo se:

• \(\int_0^1 \frac{\arctan(x)}{\alpha^3 x \ln(1+x)} \, dx\) converge.
• \(\int_1^{+\infty} \frac{\arctan(x)}{\alpha^3 x \ln(1+x)} \, dx\) converge.

Notare che la funzione integranda è positiva e possiamo applicare i criteri. Per \( x \to 0 \): Ricordiamo gli sviluppi per \( y \to 0 \): \(\arctan(y) = y + o(y)\).