Analisi matematica II - Integrali impropri

Analisi Matematica II

Lezione 22 febbraio 2021

Integrali Impropri

\( \int_a^b f(x) \, dx \) \( f \in \mathcal{E}^o ([a,b]) \)

In analisi matematica I sono state considerate funzioni con discontinuità di 1a specie:

f è continue in ogni intervallo \([a,a_1]; [a_i,a_{i+1}] \cdots [a_m,b]\).

Esistono dunque \( \lim_{x \to a_i^-} f(x) ; \lim_{x \to a_i^+} f(x) \) finiti e ciò

significa che f è integrabile in \([a,b]\):

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitati

Consideriamo ora integrali di funzioni non limitati

Sia \( f: [a,b) \to \mathbb{R} , f \in \mathcal{E}^o ([a,b]) \)

\(\lim_{x \to b^-} f(x) = +\infty \) (oppure \(-\infty\))

Come definire \(\int_a^b f(x) \, dx\) (se possibile)?

IDEA:

poiché \( f \in \mathbb{E}^o([a, b-\varepsilon]) \) con \(\varepsilon > 0\)

\( \Rightarrow\) è ben definito \(\int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) \, dx\). \((\ast)\)

calcolo \( \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) \, dx \) e si tale limiti esistoi, finiti

\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) e \( f \) integrabile im non improprio im \( [a, b] \) e

\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \) valore del limiti sopra \((\ast)\)

Se il limiti \((\ast)\) enti im meli \(+\infty\) oppure \(-\infty\) vi dei che \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) è divergenti

Se il limiti \((\ast)\) non enti ne del enti

ESEMPIO:

• \(\int_{0}^{1} \frac{1}{(1-x)^{1/2}} \, dx\)
• \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\)

\(f \in \mathbb{E}^o([0,1))\)

\( \Rightarrow\) è illimitato in un intorno di \(x = 1\)

• \([0, 1-\varepsilon]\)
• \(\int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{1}{(1-x)^{1/2}} \, dx = \left[-2(1-x)^{1/2}\right]_{0}^{1-\varepsilon} =\)
• \(= -2(1-1+\varepsilon)^{1/2} + 2=\)
• \(= -2 \varepsilon^{1/2} + 2\)

\(\lim_{\varepsilon \to 0^+} -2 \varepsilon^{1/2} + 2 = 2\)

Se g è integrabile in senso improprio su [a,b] anche f lo è: (1)

Se f non è integrabile in senso improprio su [a,b] nemmeno g lo è: (2)

La monotonia dell'integrale ci assicura che vale:

0 ≤ ∫_a^b-ε f(x) dx ε ∫_a^b-ε g(x) dx

f,g ε ℰ°([a,b-ε])

 → f + g continue in [a,b-ε]

Se vale (1) allora vale che

∃ x ∃ lim_ε→0⁺ ∫_a^b-ε g(x) dx esiste, finito

=> ∫_a^b-ε f(x) dx è finito!

Se vale (2) allora vale che se ∫_a^b-ε f(x) dx è divergente

=> ∫_b-ε^b-ε g(x) dx è divergente.

Interpretazione geometrica

Se f(x)≥0   ∫_a^b-ε f(x) dx rappresenta un'area

Lezione 26 Febbraio 2021

0 < α < 1 → integrali in senso improprio / converge

α ≥ 1 → integrali divergenti

∫_a^b 1/x^α dx

Osservazione

• Due criteri per stabilire la convergenza di integrali impropri valgono sia da le funzioni siano entambe positive o nulle ma anche x siano funzioni entambe negative o nulle.
• Le dimostrazioni del tipo f ≤ g possono essere su [ x₀, b ) (oppure (a, x₀]) e non nuovamente in tutti [a, b].

Per funzioni con segno variabile:

[ non sempre + o - in f_x]

Teorema

Se ∫_a^b |f(x)| dx è convergente allora ∫_a^b f(x) dx è convergente.

[ Questo teorema è utile nel caso di funzioni con segno non costante ]

Esempio:

Stabolire se ∫₀¹ 1/^√x sen(1/x) dx è convergente

f(x) = 1/^√x sen(1/x) è definita e continua per x ≠ 0

Quando x → ∞ , il sen(1/x) continua ad oscillare tra i valori -1 e 1 → segno variabile.

l’integrale dato è convergente

OSSERVAZIONE: Potrebbe darsi che l’integrale dato debba essere spezzato in vari integrali

ESEMPIO:

Stabilire se l’integrale

¹⁄_{√(x(|x|¹⁄3)}

 ¹⁄_√(x(x+A)

eliminiamo   eliminiamo all’intervallo di definizione estremi di integrazione

il 2° integrale è convergente per esempio visti precedentemente

α = ¹⁄₂

∫⁰\_a f(x) dx è convergente

somma di integrali convergenti

l’integrale dati enti in senso generalment del convergente

Per funzioni con segno non costanti, vale

∫^∞\_a f(x) dx = ∫^∞\_a |f(x)|dx

Se ∫^∞\_a |f(x)| dx è convergenti, allora ∫^∞\_a f(x) dx è convergente (confronti tra (-∞, b)).