Analisi matematica II - Integrali impropri

ANALISI MATEMATICA II

Lezione 22 Febbraio 2021

INTEGRALI IMPROPRI

∫_a^b f(x) dx, f ∈ ℰ°([a, b])

In analisi matematica I sono stati considerati funzioni con discontinuità di 1^a specie.

f è continua in ogni intervallo [a, a₁], [a_i, a_i+1], ..., [a_m, b].

Esistono dunque lim_x→ai⁻ f(x) ; lim_x→ai⁺ f(x) finiti e ciò significa che f è integrabile in [a, b]:

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^a₁ f(x) dx + ∫_{a1^a2 f(x) dx + ... + ∫am^b f(x) dx}

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitati.

Consideriamo ora integrali di funzioni non limitati.

Sia f: [a, b) → ℝ, f ∈ ℰ°([a, b])

lim_x→b⁻ f(x) = +∞ (oppure -∞)

Come definire ∫_a^b f(x) dx (è possibile)?

ANALISI MATEMATICA II

Lezione 22 Febbraio 2021

INTEGRALI IMPROPRI

_a∫^b f(x) dx f ∈ ℰ⁰ ([a, b])

In analisi matematica I sono state considerate funzioni con discontinuità da 1a specie

f è continua in ogni intervallo [a, a₁], [a_i, a_i+1] ... [a_m, b].

Esistono dunque lim_x→ai⁻ f(x) ; lim_x→ai⁺ f(x) finiti e ciò significa che f è integrabile in [a, b] :

_a∫^b f(x) dx = _a∫^a1 f(x) dx + _a1∫^a2 f(x) dx + ... + _am∫^b f(x) dx

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitati

Consideriamo ora integrali di funzioni non limitati

Sia f : [a, b) -> ℝ , f ∈ ℰ⁰ ([a, b])

lim_x→b⁻ f(x) = +∞ (oppure -∞)

come definire _a∫^b f(x) dx (è possibile)?

Idea: poiché f ∈ E°([a, b-ε]) con ε > 0

⇒ è ben definito ∫_a^b-ε f(x) dx . (★)

Calcolo lim_ε→0+ ∫_a^b-ε f(x) dx e x tali limiti esistano, finiti

si dice che f è integrabile in senso improprio in [a, b] e

si pone:

∫_a^b f(x) dx = valore del limite sopra (★)

se il limite (★) esiste ma vale +∞ oppure -∞ si dice che

∫_a^b f(x) dx è divergente

se il limite (★) non esiste si dice ∫_a^b f(x) dx non

esiste

Esempio:

∫₀¹ 1/(1-x)^1/2 dx

f(x) = 1/(1-x)^1/2 = 1/√(1-x)

f ∈ E°([0, 1))

⇒ f è illimitata in un intorno di x = 1

° [0, 1-ε]

∫₀^1-ε 1/(1-x)^1/2 dx = [-2(1-x)^1/2]^1-ε₀ =

= (-2(1-1+ε)^1/2 + 2 =

= -2 ε^1/2 + 2

lim_ε→0+ -2ε^1/2 + 2 = 2

⇒ Esiste ∫₀^{1 1}/_(1-x)^1/2

x=s è p.to di improprietà

Analogo allora consideriamo f ∈ E⁰((a,b]))

f ∈ E([a+ε,b])

∫_a+ε^b f(x) dx

lim_ε→0⁺ ∫_a+ε^b f(x) dx = esiste finito (1)

esiste uguale a +∞ oppure -∞ (2)

non esiste (3)

Nel caso (1) esiste l'integrale ∫_a^b f(x) dx in senso improprio ed è uguale al limite in (1)

Nel caso (2) l'integrale ∫_a^b f(x) dx è divergente

Nel caso (3) l'integrale ...non esiste

Esempio: Stabilire per quali valori di α ∈ ℝ esiste l'integrale improprio (o generalizzato)

∫₀^{1 1}/_x^α dx

f(x) =

1/x^α se α ≤ 0

1/x^α se α > 0

-0

-α + 1

log x

se α > 0, α ≠ 1

lim

ε → 0⁺

x^{-α + 1}

lim

ε → 0⁺

1/1 - α

1 - α > 0

1

-1/1 - α

lim

ε → 0⁺

ε^1-α

1/1 - α

1 - α < 0

> α < 1

lim

ε^1-α

ε → 0⁺

1/1 - α

α > 1

lim - log ε = + ∞

ε → 0⁺

per → 0 < α < 1

per α ≥ 1

f(x) =

1/x^α

per

^b ∫_a (b - x)^α

∫_a (x - a)^α

ESEMPIO:

∫_-1¹ 1/x² dx

f è discontinua in x = 0

∫_-1⁰ 1/x² dx + ∫₀¹ 1/x² dx

Entrambi gli integrali sono divergenti

⇒ ∫_-1¹ 1/x² dx è divergente

Sbagliato: ∫_-1¹ 1/x² dx = [-1/x]_-1¹ = -1 - (1) = -2

f(x) = 1/x² ∉ E°([-1, 1])

⇒ non è continua in [-1, 1]

OSSERVAZIONE:

∫_a^b f(x) dx se f non è limitata in x = c, con c ∈ ]a, b[

devo considerare:

∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

f è integrabile in senso improprio su [a, b] ⇔

entrambi gli integrali entrano in senso improprio.

Consideriamo due funzioni f, g ∈ E°([a, b]) e tali che

lim_x→b^- f(x) = +∞ ∧ lim_x→b^- g(x) = +∞...

⇒ f e g illimitati in b)

CRITERIO DEL CONFRONTO Se 0 ≤ f(x) ≤ g(x) per x ∈ [a, b]

Se g è integrabile in senso improprio su [a,b] anche f lo è. (1)

Se f non è integrabile in senso improprio su [a,b] nemmeno g lo è. (2)

La monotonia dell'integrale ci assicura che vale:

0 ≤ ∫_a^b−ε f(x) dx ≤ ∫_a^b−ε g(x) dx

f,g ∈ C⁰([a,b−ε])

→ f + g continue in [a,b−ε]

Se vale (1) allora vale che

ε ∈ lim _ε→0⁺ ∫_a^b−ε g(x) dx è unico, finito

=⇒ ∫_a^b−ε f(x) dh è finito!

Se vale (2) allora vale che se ∫_a^b−ε f(x) dx è divergente

=⇒ ∫_a^b−ε g(x) dx è divergente.

Interpretazione geometrica

Se f (x) ≥ 0

∫_a^b−ε f(x) dk rappresenta un'area

(f e g elementi in b)

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Siano f, g due funzioni positive e sia f ~ g per x → b^-

allora f è integrabile in senso improprio se e solo se anche

g è integrabile in senso improprio in [a,b]

OSSERVAZIONE: i criteri valgono anche in condizioni x → a,

x → a⁺.

OSSERVAZIONE: il segno delle funzioni deve essere costante nell’intorno

considerato ⇒ entrambe positive o entrambe

negative.

ESEMPIO:

∫ ₀¹ 1/(e^√x - 1) dx enti in senso improprio?

In x = 0 le funzioni non è limitata

e^√x - 1 ≃ 1/√x - 1 = √x in un intorno di x = 0

con sviluppo di Maclaurin di e^√x

f(x) = 1/(e^√x - 1) ≃ 1/√x = 1/x^1/2 = g(x)

poichè g è integrabile in senso improprio in [0,1] anche f lo è.

ESEMPIO:

∫ ₀^π/4 sin(x + π/4)/^3√x dx =

f(x) ∈ ℰ⁰((0, π/4])

0 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1 in [0, π/4]

f(x) = ^{sin(x + π/_u)}/_√x ≤ ¹/_x^1/3 = g(x)

Perciò g è integrabile in senso improprio su [0, π/₂] e lo è anche f.

Osservazione:

Attenzione! Se soddisfiamo f(x) ≤ g(x) diremo finzione "vicino a b" ovnun in un intervallo del tipo [c, b] che potrebbe non essere tutto l'unione.

Osservazione: Quanto detto per l’estremo “b” vale anche per l’estremo “a”.

Esercizio:

Stabilire se ∫₀¹ sin²x/√x dx esiste in senso improprio.

Solera con se verificano:

∫₀^{1 1}/_√¹/1-x² dx e ∫₁^{u 1}/_x²-6x+5 dx

Nomenclatura:

Al posto di “integrale tra a e b di f(x) dx esiti in senso imcnico”, si dice:

“integrale ∫_a^b f(x) dx è convergente”.

Se l’esempio può essere nullo (l’interpolazione/async) como:

“stabilire se ∫₀¹ sin² x/√x dx è convergente”.

ESEMPIO: Calcolando gli estremi sono scom divergenti.

¹∫_-1 1/(x²-1) dx = ¹∫_c 1/(x-c)+1 dx + ¹∫_c 1/(x²-1) dx

⇒ con c = 0, per simmetria:

⁰∫_-1 1/((x-x)(x+1)) dx + ¹∫₀ 1/((x-x)(x+1)) dx

• 1/((x-x)(x+1)) ~ - 1/(2(x+1)) per x → -1⁺ per il criterio del confronto cambiato.

α = 1 ⇒ diverge

• 1/((x-x)(x+1)) ~ 1/(2(x+1)) per x → 1^-

⇒ α = 1 ⇒ diverge

⇨ ¹∫_-1 dx f(x) = 1/(x²-1) non è integrabile in nessun impropio in [-1,1]

Sarebbe andato bene con

¹∫_-1 1/√(x²-1) dx = ¹∫_-1 1/(x²-1)^1/2 dx

Calcolare se i seguenti integrali esistono in senso improprio:

1. ₀∫^{1 sen² x}/_√x dx

2. ₀∫¹ 1/³√(1-x²) dx

3. ₁∫⁴ 1/(x²-6x+5) dx

Lezione 26 Febbraio 2021

0 < α < 1 → integrali enti in senso improprio / converge

α ≥ 1 → integrali divergenti

∫_a^b 1/x^α dx

Se due criteri per stabilire la convergenza di integrali impropri valgono se la funzione non cambia entrambe positive o nulle ma nella stessa funzione entrambe negative o nulle.

• Le dimostrazioni del tipo f ≤ g possono valere su [x₀, b) (oppure (a, x₀]) e non necessariamente in tutto [a,b].

Per funzioni con segno variabile: (non sempre + o - in [a,b])

Teorema

Se ∫_a^b |f(x)| dx è convergente allora ∫_a^b f(x) dx è convergente.

[Questo teorema è utile nel caso di funzioni con segno non costante]

Esempio:

Stabilire se ∫₀¹ (1/√x) sen(1/x) dx è convergente

f(x) = 1/√x sen(1/x) è definita e continua per x ≠ 0

Quando x → ∞, il sen(1/x) continua ad oscillare tra i valori -1 e 1 → segno variabile.

Conclusione

∫₀¹ |f(x)| dx = ∫₀^{1 1}/_√x |sen (¹/_x)| dx

↦ ¹/_√x |sen (¹/_x)| ≤ ¹/_√x³ = g(x)

∫₀¹ g(x) dx convergente

↦ ∫₀¹ |f(x)| dx convergente

↦ per il teorema ∫₀¹ f(x) dx è convergente

Fisso ad uno ∫_a^b f(x) dx con f illimitata in x=a o in x=b.

Come fare se f si è illimitata in x=c ∈ [a,b]?

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

∫_a^b f(x) dx convergenti se entrambi gli integrali a destra lo sono.

∫_a^b f(x) dx divergenti (o non esist.) in senso improprio se almeno uno dei due integrali a destra è divergenti (o non esist.).

Abbiamo considerati integrali sull’intervallo limitati [a,b], con f illimitate.

Ora consideriamo integrali impropri di funzioni continue su un intervallo illimitato.

∫_a^∞ f(x) dx ; ∫_-∞^b f(x) dx ; ∫_-∞^∞ f(x) dx

f ∈ C⁰ ([a,∞))

Poiché f ∈ C⁰([a,b]) posso calcolare ∫_a^b f(x) dx

• lim_b→∞ ∫_a^b f(x) dx esiste, finito (1)
• esist. infinito (2)
• non esist. (3)

dico che:

∫_a^b→∞ f(x) dx

• convergenti/esist. in senso improprio o generalizzati (1)
• divergenti (2)
• non esist. (3) f non integrabile in S.o. in senso generali

(OSSERVAZIONE)

Lo stesso vale considerando come estremo di integrazione -∞. Calcola ∫_a^b f(x) dx e poi lim_a→∞ ∫_a^b f(x) dx

come definire

∫_-∞^+∞ f(x) dx ?

∫_-∞^+∞ f(x) dx = ∫_-∞^-c f(x) dx + ∫_+c^+∞ f(x) dx

(osservazione: le f ≥ 0 ∫_a^∞ f(x) dx rappresenta un'area (infinita))

ESEMPIO:

f(x) = ¹/_x^α

∫₁^{∞ 1}/_x^α dx ∫ ∈ ℰ^∞([1,+∞))

calcolò ∫₁^{b 1}/_x^α dx = [^x-α+1/_-α+1] ^b₁ se α ≠ 1

= ^b1-α-1/_1-α ↗ +∞ se 1-α > 0 α < 1

lim _b→+∞ ^b1-α-1/_1-α = ^-1/_1-α se 1-α < 0 α > 1

se α = 1

∫₁^{b n}/_x dx = [log_x] ^b₁ = log_b

lim log₂b = +∞

b →∞

(l'integrale è convergente per α > 1; divergente per α ≤ 1

Stima negoziumre per [-∞, b]

Ripetiamo brevemente i criteri:

• criterio del confronto

f, g ∈ E°([a, +∞])

0 ≤ f(x) ≤ g(x) su [a,+∞) o su

([x₀, +∞))

Se g