Integrali impropri

I IMPROPRI

22)

(50

LEz 1 /

.

= !

f(x)dx f(x) g(x)

M

= .

I b

L

- :

COMPLESSA

ANALISI K Z

f(x) x

f(z) 1

+

ze =

- ↓ miluppebrle im

OoMorta

e

Analitica Potence

di

serie

- R

C

4 -

- = Laurent

eviluppebile in di

serie

# 0

* "

Cn(z-z0) de

f(z) +

= zon

+ 8)

/ sin( de

ox sin( 0

2 z =

SEMPUCE

POL

D J

-

i) 1

Eo Polo Ordine #D

20) f(z)

z0)

Res(7 him (z ·

-

=

, 2 zo

>

-

ii)

Eo K =

ORDINE

pow - -

k >1 [(z e

de -E0) "

1 #

time

E0)

Res(7 = (k-)

, Couchy

:

RESIDUI

TEOREMA

-

K

2 c Sttoinsierr - content $

in

, A Zeit

na

B)

[x K

V *

-

: , Y O

R g

--

R

[ -

S Koomorfo

f -2 S

: >

-

ff(z)dz zi)

Resf(1

des

= , ·

[f(t)dt of Flee i

tim +

· UR

grude

Teorema Cerchio

del

· piccolo Cerchio

del

Terrema

O Lema Jorden

di

O (Jordan)

Teorma

Tr Grande Cercho

del K

K aperto

As -2 m =

>

- , potence)

filoppebile FER

alomarta di

serve

in

↳ (drivabile

qualitie qualche volte)

reit

[to t1]

*t ce

zo

> +

- ,

Tim (z-20) e

f(z)

# =

) f

f(z)dz f(zae

+

Tim

#D to VR (JORDAN)

T2 TEOREMA PCIOLO

DEL CERCHO

K

K aperto

As -2 m =

>

- , A

olowarfe VoceeR

↳ &

-

R ↳

7

reiter

[to M

+1] O

#t >

Eo -

+ +

, f(z)

20)

(z le K

Fin =

-

(2) zo

>

- o

of (t

it

f(z)dz =

live

↳ (CORDAN)

LEMMA

T3

fin K K

- =

>

-

olomonfe

L R

Fr > reit

[tr to]

t e

E

Zo

- +

, e)

I

b(f(z) f(z)

0 limo

live 0

=

= -

(2 R

+

+ +

& -R

- E2-

(46 36)

2 2

Ez :

. # R

-

I

f(x)

i) x dx

( =

z (x2 2)2

+ +

w

Et K OLOMORFA

f(z) I

= ,

2)2

(22 in

Sviluppebrle serie

+ Potenze

di

=if POLI

q

E 2- z

0 - =

2 =

- SEMPLICI

=

+ D-Stirel

I K

f(z) f >

-

:

= irz)

(2 2

iv2)/z s

-

+ Imz

CAUCAY) 1

(T CIRCUIT

OMOTOPILO

( . (REGOLARE)

En)

(2(i)Res(f

f(z)dz ive

= , · ke

-

&

° ·

2 --

Ordne

Poco

W UnoWe En VIR

= ReZ

R

+

= - if

- R 0

>

z1)

Res(f him

=

, [ - R] K

Wh R) R

z :: =

71 ,

>

- ,

W WnR

t >

-

attivas

z((z-ive) . [8 4] K

Liver (R)

W(2 >

-

: ,

,

= thReit

z i

> ]'

-[ +Tak Res(fire) i

=

(ii

ik)

2(z -Firs

+

-

= (2 iv) 4

+ e

Res(fi

(2ii)

de (f(z)dz

(f()dE A(t)dt =

+

= 37

3 1 :

↑ rende

at +

line R

(R/ + -

2 -

+ /

0

=

T Jordan

G C

- . K

. Le

f(E)

z

tim =

.

>

- 2

f +

del -

Teorema

grende archio . 0

line =

y

+

- - I f(z)dz

line

to LR

liv(" f(z)dE

=

# xdz Pormo

e)

time

Res/t z) =

,

/43 11)

LEE :

3

. CAUCHY/RESIDOL

TEOREMA DI K

e

S 1

Ren (As

(2πi)

GCzdz -

= F j2

F1

i 1

=

= -

· live Coox

a d -

e 4

+

0

X + x

- ele iE

e

core)

f(x) +

=

= 2

4

X +

7(z)tcorz eiz = =I

2iG

Pou SEMPLICI E

: =

I

22 4 (z 2i)(z 2i)

+ + - · Imz zi Polo

z

K

R]

ER =

-

HR ,

: z

&

~

zR >2

R

K(t) ci-

t + 22 y

⑪

· O

i]

[O

U2R R

R

K Ter

: Rez

-

-

, it

t iZ

Me

>

- e

↓

"

R et

e !

/ liv 7(z)dz

d t

live Re (00(z)

t

- =

R + D

>

-

(R) +

> D

- R

- REALE INT

INT COMPLESSO

+

To )

E corx

Coxx dx

dx =

3

+

x s precedente

him (z-ti) del

(vi) f(z)

211 · =

z Z ↓

>

- - 2

-

Eth(eit 2

it N -

e E * 2

(E-2i), =

Ei

liv

live =

I

-hi)

2i

z >

- JORDAN

LEMMA DI 0

live

edz =

"f(z)dz him ( ei +

/ 11

0 +

=

>

- V L

# 1

270 =

-

live iZ 1 dz 0

ve =

2

to h

+

-

RESIDNI

CAUCHY

T- Res(1

(A(z)dz zi)

(2πi) ,

=

W WeWG2

= · Imz zi Polo

z =

WzR

&

~ >

R 1

i

&2 to

anaigx

/ =

ax 1

2 y

⑪

· O

=

x2 R

R

1 + Ter

- Rez

K

f(z) =

A(x) =

refe -

= * domonfe

i funzione

lo qualitica

di

zeno

il una

poco o

(z-i) positive

I (E i) Poco

Negativo

Poco >

-

f(z) + >

-

= (2 i)

i)(z

+ - (ROrdnen)

I semplia

pol

En =

z

, - e

"f(z)dz (2πi)Res(fi

↑ him )

Eit

S at =

+

liv

(2) &

+

>

- R

- 1 of N

him [ii

(

(z-i) =

= 2i

=

line ., -

1)

i +

z >

- i 2:

i

+ >

-

DEL GRANDE CERCHIO

TEOREMA i]

[0

t

R >

R - ,

>

reit 0

zo = ) "f(z)de

lin

Alors =

f(z) 0

-

lim = L'INTEGRL +

|2| + 0

+

2ez 30)

(50

4 : -

. le 1

=

of

-

X

to

2) my ex lin

lin

↓ (copper I

to dispen

d

f(x) pei

+ iz

E 1

f(z) e

= & &

z copdx

z 0

= SEMPLICE

POLO cammino)

lestero al T 1

LAURENT &

. ·

↓ & ↳

iZ ~

f(z) -

e

= ⑪

* *

E mu C R

Uz

-

(2πi)Res(f ti)

( fz)dz 0

=

,

=

Gray /8

T

-

it

I U

r Wi

of

2ii) e =

Res , R lif(z)

eitdt o

e de

f

1 f(z)

it hi +

e

det

at

e

live + (R)

t + >

>

- r 1

(2)

O

(r) 0

>

- >

- et

R

N

eit

f(z) .

= * *

Ru C R

Us

-

-Lemma R

V4R him

Jonden

di & >

0

=

= it

12) re

&

+

- -

e O

iz Go =

f(z)

liv -

&

# =

.

to =it tsMet

e e

Mito)*

- *

n [(

et

eit

In dt

de =

her =

U -

>

-

· (R +o

>

-

Uz (i) 0

>

+ -

>

H - P

T C

.

R it

it .

.

i

( - it MCR

Or

2 -edt .

->

lim = 70

1 0

t

- =

reit

R z =

&

piccolo

Teorema Cercho 2

liv E-E 1

- =

=

(T ) -

P

Fede C 1

=

.

. . -0

ii E -

U(m) -

- - -

· i

him(eitf(z)dz if =

=

=

To

Rit = x

Edt

/

lim .

I

2

(R1D -

+ 0 M sint

e > 0

- i

to

tadx

2) ↓ O

dX

is i

=

Ey =

22

E Poli Di ORINE

1(z) C

= = i)]2

[(z ↓

i)(z

+ - ERMITT

ERMIt

Regola DI · Imz

is

"[(-1)

Res (f St

live

i) = o UzR

·

~

, - 1

2 y

⑪ O

(in) R

Ter Rez

I

- 2zi)

i)

2z(z

>

- + -

= all'intento

i

i) k3

(E polo

il

+ l'e

Residio

il

quindi

finito

i

ed

2zi-2zh

22 (Ri*) N

*

-

lim - *

+ I

>

- >

- o

i

z (2 i)3

+ + E i

- 4

-2

f Reinrefd

a

liver +

C

t 1 4

+

(R) +

0

+ R

- (43 04)

LEZ 5 :

. applicare il

Terrema Residui

per dei

l'integrale steso de

ve -8 e +

& o

+

I sinx

*

( dx

1)2

(X + Il denomitere quadrato PAR

a

un

O u X displei disperi par

xriux

sinx >

-

f(x) peri

>

- X

xsinx

f(x) E

= (X2 1)2 (x 1)2

2

+ + ERMITT

ei

& G K

A(xdx20f(z) ze

.

FD = *

1)2

(2 2 DI

Poll

1 i

+ z = ORDINE 2

24 24 K

-

=

zi)

( (2π)) Res (f Cauchy

+(e)dz = , Im t

1

[ R] & R

KR 1

R

: -

- , kn

TR

t &

>

- i-

i] K

[0 1

R

>

- >

U2R : y

, R

Reit - Rez

t >

- "f(z)dz

Rteit en

[Eiszei

+ (ani)

time =

o

>

-

LEMMA JORDAN i)

[Eeiz] izeit)(z (ze'f)

(eiz 2/2

is

- + + -

= (2 i) 4

+

Keit eit i)

ifleit-zeit-Czeit e/it-2z

~ +

+ +

= -

i)3 i)3

(2

(t + + i

1)

(1

i)

eiz(ie /i)

2. *

+

-27 + jof

live e

2π

- - +

-

=

= =

i

E i)3

(2

+> i)3

+ (i +

↳ (ci) Si

- -

1

Te

-

Eo iy Rez funzione

-poich disperi

nullo

X X-cosx

+ = >

= - actisimetriche

- - 2

de Ame

-2 c >

-

+ &

+

la e

colo 1

risretato pers Nedx % Rose

Il i

8

=

+

2 (f(x)

x

/ M-0

=

1)2dx | x) 2

+

>

-

(4x +

-

O

- PARI

f(x) 0

- Im t

1

Wr

K

22 ze

f(z) = ) 2

R

1) y

(4z2 y

+ R

UR

R

- Rez

z 0

y =

+ i POLI

=

z

↓ = ° ORDINE

2

22 E3 nice

(1(z)dz 3

f(z) 2

~ = T

-

T

><