Integrali
Definizione geometrica:
L'integrale definisce l'area sottesa al grafico della funzione f(x) nell'intervallo [a,b].
Definizione analitica:
L'integrale definito a∫b f(x) dx
definisce l'area (con segno) della regione di piano compresa tra il grafico di f(x), l'asse delle ascisse e le rette verticali x=a e x=b.
Sia f(x)=k ∀ x ∈ [a,b], con k costante reale, allora l'integrale di f sull'intervallo [a,b] è:
a∫b f(x) dx = (b-a)·k
Area (con segno) del rettangolino.
*Se f(x) si trovasse "al di sotto" dell'asse x, l'area risulterebbe negativa.
Integrali
f(x)
Intervallo di integrazione
Definizione Geometrica:
L'integrale definisce l'area sottesa al grafico della funzione f(x) nell'intervallo [a, b]
Definizione Analitica:
L'integrale definito a∫b f(x) dx definisce l'area (con segno*) della regione di piano compresa tra il grafico di f(x), l'asse delle ascisse e le rette verticali x = a e x = b.
Sia f(x) = k ∀ x ∈ [a, b], con k costante reale, allora l'integrale di f sull'intervallo [a, b] è:
a∫b f(x) dx = (b - a) ⋅ k
Area (con segno) del rettangolino.
*Se f(x) si trovasse "al di sotto" dell'asse x, l'area risulterebbe negativa.
SIA ab f0(x) UNA FUNZIONE A SCALA (CHE ASSUME
IL VALORE Ki NELL’i-ESIMO INTERVALLO AVENTE
Xi-1 ED Xi COME ESTREMI), ALLORA L'INTEGRALE
DI f0 SULL'INTERVALLO [a, b] È
ab f0(x) dx = M∑i=1 (Xi - Xi-1) * Ki
BASE DELL’i-ESIMO RETTANGOLINO
SOMMA ALG. DELLE AREE (CON SEGNO) DEI RETTANGOLI
ALTEZZA (CON SEGNO) DELL’i-ESIMO RETTANGOLINO
sup { ab f0(x) dx: f0(x) A SCALA E f0(x) ≤ f1(x) ∀X ∈ [a, b] } ≤ inf { ab h(x) dx: h(x) A SCALA E h(x) ≥ f1(x) ∀X ∈ [a, b] }
-LA FUNZIONE A SCALA h(x) SOVRASTIMA IL VALORE DI ab f(x) IN [a, b] MA POSSO UTILIZZARE ANCHE UN’IPOTETICA g(x) CHE LO SOTTOSTIMA.
NIENTE PAURA!
SE SUP E INF COINCIDONO, DICIAMO
CHE f1 È INTEGRABILE SECONDO CAUCHY-RIEMANN
NELL’INTERVALLO [a, b], E IL VALORE COMUNE È
ab f1(x) dx.
C-----ome----- per----- le----- derivate----- (dove----- non----- calcolo----- in----- ogni----- esercizio----- il----- limite----- del----- rapporto----- incrementale----- per----- trovare----- la----- derivata)-----, anche----- qui----- possiamo----- appoggiarci----- a----- delle----- regole----- di----- integrazione:
Per----- calcolare----- ∫abf(x)dx----- devo:
- Trovare----- una----- funzione----- che-----, negli----- intervalli----- [a,b]-----, abbia----- f(x)----- come----- derivata,----- ovvero----- una----- primitiva----- di----- f.
- Una----- volta----- trovata,-----
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