Integrali e serie

Analisi degli integrali indefiniti

Studio preliminare di una funzione

Per lo studio di funzione si procede innanzitutto calcolando il dominio della funzione, le eventuali simmetrie (pari/dispari), gli zeri e segno della funzione, eventuali asintoti (limiti), derivata prima e seconda per i massimi, minimi, flessi e le concavità e si procede infine con il grafico.

Definizione di primitiva

Una funzione è una primitiva della funzione \( f \) se è derivabile in tutto l'intervallo e la sua derivata è \( f'(x) = f(x) \). Se \(\Phi(x)\) è una primitiva di \( f \), allora le funzioni \(\Phi(x) + c\), con \( c \) come numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di \( f \).

L'integrale indefinito

L'integrale indefinito di una funzione è l'insieme di tutte le primitive di quella funzione e si indica con: \[ \int f(x) \, dx = \Phi(x) + c \] dove \( c \) è un numero reale qualunque.

Condizioni di integrabilità

Una funzione che ammette una primitiva (e quindi infinite primitive) si dice integrabile. Una condizione sufficiente di integrabilità è che se una funzione è continua in un intervallo \([a, b]\), allora ammette primitive nello stesso intervallo.

Proprietà di linearità

• Prima proprietà di linearità: L'integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni: \[ \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]
• Seconda proprietà di linearità: L'integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per l'integrale della funzione: \[ \int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx \quad \text{con } k \in \mathbb{R} \]

Integrale di una potenza di x

In generale: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\), con \(n \in \mathbb{R}\), \(n \neq -1\).

Integrale di specifiche funzioni

• Esponente -1: Consideriamo ora il caso in cui l’esponente di \( x \) sia -1, cioè: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + c \]
• Funzione esponenziale: \[ \int e^x \, dx = e^x + c \]
• Funzioni goniometriche: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + c; \quad \int \cos x \, dx = \sin x + c \]
• Primitive delle funzioni goniometriche inverse: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + c \]

Integrazione per sostituzione

Quando l'integrale non è di risoluzione immediata può essere utile applicare il metodo di sostituzione, che consiste nell’effettuare un cambiamento di variabile che consenta di riscrivere l’integrale dato in una forma che sappiamo risolvere:

• Si pone \( u = g(x) \) tale che \(\frac{du}{dx} = g'(x)\).
• Si calcola il differenziale \( dx \).
• Si sostituisce nell'integrale dato, ottenendo un integrale nella variabile \( u \).
• Si calcola, se possibile, l'integrale rispetto a \( u \).
• Si utilizza la posizione iniziale per scrivere il risultato in funzione di \( x \).

Integrazione per parti

La formula è utile nei casi in cui la funzione integranda si può pensare come prodotto di due fattori: \[ \int u \, dv = u \, v - \int v \, du \] Come \( u(x) \) scegliamo la funzione che ci permette di ottenere un integrale semplificato.

Integrazione di funzioni razionali fratte

Nelle nostre considerazioni supporremo che il grado del numeratore sia minore rispetto al denominatore perché, se ciò non accade, è sempre possibile effettuare la divisione polinomiale: \[ f(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x) \] dividendo per \( D(x) \).