Integrali - Dalla definizione alle primitive elementari generalizzate

Integrali

Definizione Geometrica:

l'integrale definisce l'area sottesa al grafico della funzione f(x) nell'intervallo [a, b].

Definizione Analitica:

l'integrale definito _a∫^b f(x) dx definisce l'area (con segno*) della

regione di piano compresa tra il grafico di f(x), l'asse delle ascisse e le rette verticali x=a e x=b.

Sia f(x)=k ∀ x ∈ [a, b], con k costante reale, allora l'integrale di f sull'intervallo [a, b] è:

_a∫^b f(x) dx = (b-a) · k

Area (con segno) del rettangolino.

*Se f(x) si trovasse "al di sotto" dell'asse x, l'area risulterebbe negativa.

SIA

_a^b f₀(x) dx

UNA FUNZIONE A SCALA (CHE ASSUME IL VALORE k_i NEL X_i-ESIMO INTERVALLO AVENTE X_i-1 ED X_i COME ESTREMI), ALLORA L'INTEGRALE DI f₀ SULL' INTERVALLO [_a,^b] È

_a^b f₀(x) dx = ^M∑_i=1 (X_i - X_i-1) * k_i

LA FUNZIONE A SCALA h(x) SOVRASTIMA IL VALORE DI

MA POSSO UTILIZZARE ANCHE UN'IPOTETICA g(x) CHE LO SOTTOSTIMA.

NIENTE PAURA!

- SE SUP E INF COINCIDONO, DICIAMO CHE f È INTEGRABILE SECONDO CAUCHY-RIEMANN NEL'INTERVALLO [_a,^b], E IL VALORE COMUNE È _a^b f(x) dx.

Proprietà dell’integrale:

3) ^b_a∫ f(x) dx = ^c_a∫ f(x) dx + ^b_c∫ f(x) dx

4) |^b_a∫ f(x) dx | ≤ ^b_a∫ |f(x)| dx

Primitive di derivate di funzioni composte:

Sia F(x) una primitiva di f(x) e sia β(x) una funzione derivabile e tale che sia possibile costruire la funzione composta F(β(x)).

In questo caso:

[ F(β(x)) ]' = f(β(x)) · g'(x)

∫ f(β(x)) · g'(x) dx = F(β(x)) + C.

Esempio:

∫ 3x² sin (x³) dx = -cos (x³) + C