Integrali - Dalla definizione alle primitive elementari generalizzate

Integrali

Definizione geometrica:

L'integrale definisce l'area sottesa al grafico della funzione \( f(x) \) nell'intervallo \([a,b]\)

Definizione analitica:

L'integrale definito \(\int_a^b f(x) \, dx\) definisce l'area (con segno) della regione di piano compresa tra il grafico di \( f(x) \), l'asse delle ascisse e le rette verticali \( x = a \) e \( x = b \).

Sia \( f(x) = k \, \forall x \in [a,b]\), con \( k \) costante reale, allora l'integrale di \( f \) sull'intervallo \([a,b]\) è:

\(\int_a^b f(x) \, dx = (b-a) \cdot k\)

Nota: Se \( f(x) \) si trovasse "al di sotto" dell'asse \( x \), l'area risulterebbe negativa.

Integrali

Definizione Geometrica:

L'integrale definisce l'area sottesa al grafico della funzione f(x) nell'intervallo [a, b].

Definizione Analitica:

L'integrale definito ∫_a^b f(x) dx

definisce l'area (con segno*) della regione di piano compresa tra il grafico di f(x), l'asse delle ascisse e le rette verticali x = a e x = b.

Sia f(x) = k ∀ x ∈ [a, b], con k costante reale, allora l'integrale di f sull'intervallo [a, b] è:

∫_a^b f(x) dx = (b - a) ⋅ k

Area (con segno) del retangolino.

*Se f(x) si trovasse "al di sotto" dell'asse x, l'area risulterebbe negativa.

Sia

f₀(x) una funzione a scala (che assume il valore k_i negli i-esimo intervallo avente x_i-1 ed x_i come estremi), allora l'integrale di f₀ sull'intervallo [a, b] è

∫_a^b f₀(x) dx = ∑_i=1^M ( x_i - x_i-1 ) · k_i =

Somma alg. delle aree (con segno) dei rettangoli.

Base dell’i-esimo rettangolino.

Altezza (con segno) dell’i-esimo rettangolino.

A < ∫_a^b h(x) dx

sup { ∫_a^b f₀(x) dx: f₀(x) a scala e g(x) ≤ f₀(x) ∀ x ∈ [a, b] } ≤ A ≤ inf { ∫_a^b h(x) dx: h(x) a scala e h(x) ≤ f₀(x) ∀ x ∈ [a, b] }

- La funzione a scala h(x) sovrastima il valore di f₀(x) in [a, b]. Ma posso utilizzare anche un'ipotetica g(x) che lo sottostima.

Niente paura!

Se sup e inf conicidono, diciamo che f₀ è integrabile secondo Cauchy-Riemann nell’intervallo [a, b], e il valore comune è ∫_a^b f₀(x) dx.

COME PER LE DERIVATE DOVE NON CALCOLO IN OGNI ESERCIZIO IL LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE PER TROVARE LA DERIVATA, ANCHE QUI POSSIAMO APPOGGIARCI A DELLE REGOLE DI INTEGRAZIONE:

PER CALCOLARE _a∫^bf(x)dx DEVO:

• TROVARE UNA FUNZIONE CHE, NEGLI INTERVALLO [a, b], ABBIA f(x) COME DERIVATA, OVVERO UNA PRIMITIVA DI f;
• UNA VOLTA TROVATA, LA CALCOLO NEGLI ESTREMI DELLA ZONA DI INTEGRAZIONE (CALCOLO CIOÈ F(b) e F(a))
• SOTTRAGGO I DUE VALORI

_a∫^bf(x)dx = F(b) - F(a)

ESEMPIO:

₀∫⁵3x² dx = [x³]₀⁵ = (5)³ - (0)³ = 125

I_passaggio II_passaggio

NELLA MAGGIOR PARTE DEI CASI, IL I_passaggio, OVVERO LA RICERCA DELLA PRIMITIVA, È QUELLO PIÙ COMPLICATO, PER FARE QUESTO ESISTONO DETTAGLIATE REGOLE.

Primitive elementari e proprietà degli integrali:

Se f(x) è continua

_a∫^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a).

Si dice che F(x) è una primitiva di f(x) se è derivabile e

F'(x) = f(x) ∀x ∈ (a,b).

• Ogni funzione f : [a,b] → ℝ continua ammette delle primitive.
• La primitiva non è mai unica: infatti se F(x) è una primitiva, allora lo è anche F(x) + C, con C ∈ ℝ costante.
• Se F₁(x) e F₂(x) sono due primitive di f(x) in uno stesso intervallo, allora F₁(x) - F₂(x) è una funzione costante.

Per indicare una generica primitiva di f(x) si utilizza la notazione

∫ f(x) dx = Integrale indefinito

NB: Alcuni autori utilizzano questa notazione per indicare l'insieme delle primitive

Primitive "Elementari"

• f(x): cos x
• F(x): sin x
• f(x): sin x
• F(x): -cos x
• f(x): e^x
• F(x): e^x
• f(x): a^x
• F(x): a^x
• f(x): x^m
• F(x): ^xm+1/_m+1
• f(x): 1/x
• F(x): ln|x|
• f(x): 1/(1+x²)
• F(x): arctg x

∀ m ≠ -1

Esempio 1:

Esempio 2:

1^a Proprietà dell'Integrale:

1. ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
2. k ∫ f(x) dx = k ∫ f(x) dx

Esempio 3:

2^a Proprietà dell'integrale:

3) _a∫^cf(x) dx = _a∫^bf(x) dx + _c∫^bf(x) dx

4) |_a∫^bf(x) dx| ≤ _a∫^b|f(x)| dx

Primitive di derivate di funzioni composte:

Sia F(x) una primitiva di f(x) e sia β(x) una funzione derivabile e tale che sia possibile costruire la funzione composta F(β(x)). In questo caso:

[F(β(x))]¹ = f(β(x))・β'¹(x)

∫f(β(x))・β'(x) dx = F(β(x)) + C.

Esempio:

∫3x²sin(x³) dx = -cos(x³)+c

Esempio 2:

∫ e^{sin x} cos x dx = e^{sin x} + c.

Esempio 3:

∫ x (x² - 1)²⁰¹⁴ dx = 1/2 ∫ 2x (x² - 1)²⁰¹⁴ dx = 1/2 (x² - 1)²⁰¹⁵/2015 + c

= (x² - 1)²⁰¹⁵/4030 + c.

Ricordando che

∫ x^m dx = x^m+1 / (m+1) + c

Primitive Elementari

• ∫ cos x dx = sin x + c
• ∫ sin x dx = -cos x + c
• ∫ e^x dx = e^x + c
• ∫ x^m dx = x^m+1 / (m+1) + c (m ≠ -1)
• ∫ 1/x dx = ln |x| + c

Primitive Elementari Generalizzate

• ∫ b'(x) cos [b(x)] dx = sin [b(x)] + c
• ∫ b'(x) sin [b(x)] dx = -cos [b(x)] + c
• ∫ b'(x) e^b(x) dx = e^b(x) + c.
• ∫ b'(x) [b(x)]^m dx = [b(x)]^m+1 / (m+1) + c (m ≠ -1)
• ∫ b'(x)/b(x) dx = ln |b(x)| + c.