Insiemi, sottoinsiemi e relazioni

Insiemi, relazioni e concetti primitivi

Concetti fondamentali sugli insiemi

Un insieme è un concetto primitivo non definibile. Indichiamo un insieme con una lettera minuscola, mentre gli elementi sono indicati con lettere maiuscole.

Rappresentazione degli insiemi

Possiamo rappresentare gli insiemi graficamente usando il diagramma di Eulero-Venn. Consideriamo, ad esempio, l'insieme A con elementi {6, 3, 2}. I sottoinsiemi di A si indicano con lettere maiuscole.

Se A è un insieme e B è un suo sottoinsieme, possiamo scrivere A ⊇ B. L'insieme vuoto, che non contiene elementi, si indica con ∅.

Operazioni tra insiemi

Le principali operazioni tra insiemi includono l'intersezione (A ∩ B), l'unione (A ∪ B) e la differenza (A \ B).

• Intersezione: A ∩ B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.
• Unione: A ∪ B è l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno tra A e B.
• Differenza: A \ B è l'insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B.

Leggi di De Morgan

Le leggi di De Morgan affermano che il complementare dell'unione è l'intersezione dei complementari e viceversa:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B, indicato con A × B, è l'insieme delle coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.

Relazioni tra insiemi

Una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Indichiamo la relazione con R ⊆ A × B.

Le relazioni possono essere rappresentate con esempi, come la relazione tra capitali e nazioni:

• Italia: Roma
• Francia: Parigi
• Austria: Vienna