teoria degli insiemi

Proprietà degli anelli commutativi con identità

ZDunque non è un anello integro. Se consideriamo invece con p un numero primo, allora è integro. p ∈ Se A è un anello commutativo con identità, diremo che un elemento a A è invertibile (o una unità) se esiste un elemento b A tale che ab = 1. Diremo che un anello commutativo con identità A è un corpo se tutti gli elementi non nulli di A sono invertibili. Ad esempio con p un numero primo, sono corpi mentre non è un corpo.

Teorema: Ogni corpo è un anello integro. Il viceversa di tale teorema non vale: è un anello integro che non è un corpo. È integro se e solo se è un corpo, se e solo si vede facilmente che l'anello nse il numero n è primo. 38 Supponiamo ora che A sia un anello commutativo con identità. Se S è un sottoinsieme dell'anello A diciamo che S è un sottoanello di A se S è un anello rispetto alle operazioni indotte.

Dalle operazioni di A. Si vede facilmente che affinché S sia un sottoanello di A bisogna che per ogni coppia di elementi a, b S risulti: - ∈ ∈ a b S e ab S. Osserviamo che la prima proprietà dice che (S, +) è un sottogruppo di (A, +). Z Q Ad esempio è un sottoanello di mentre l'insieme dei numeri dispari non Z. è un sottoanello di Ogni anello A è sottoanello di A[X]. Diciamo invece che un sottoinsieme I dell'anello A è un ideale di A se ∈ ∈ ogni coppia di elementi a, b I e per ogni elemento c A risulta: - ∈ ∈ a b I e ac I. Z E' immediato verificare che un ideale è anche un sottoanello, mentre ad esempio Q ∈ Z, ∈ Q ∈ Z. è un sottoanello di ma non è un ideale. Infatti 2 1/3 ma 2/3 /{0} Osserviamo che A e sono ideali di A. Inoltre se un ideale I contiene un elemento invertibile dell'anello A, allora I = A. Se A e B sono anelli anche non commutativi

e→f : A Be’ un applicazione, diciamo che f e’ un omomorfismo di anelli se∀a, ∈f (a + b) = f (a) + f (b), b Ae ∀a, ∈f (ab) = f (a)f (b), b A.

E’ immediato verificare che {b ∈ ∈Im(f ) := B|b = f (a), a A}e’ sempre un sottoanello di B.

Inoltre se A e’ un anello commutativo, allora{a ∈ker(f ) := A|f (a) = 0} {0},e’ un ideale di A.

Si ha anche che f e’ iniettivo se e solo se ker(f ) = mentre fe’ surgettivo se e solo se Im(f ) = B.

39Nel corso di algebra tale capitolo sara’ svolto solo in parte e di conseguenzasara’ programma d’esame cio’ che il docente trattera’ a lezione.

ALGEBRE OMOGENEE1. Operazioni ∗Definizione. Sia A un insieme e n un intero positivo. Un’operazione n-aria sun nA è un’applicazione da A in A che ad ogni n-upla (a , ..., a ) di A associa un ele-1 n∗(a , ..., a ). L’intero n si dice arietà dell’operazione.

Di A che si indica con 1 nPer convenzione diremo operazione di arietà zero quella che consiste nel fissare un particolare elemento di A ∗Se n = 2 l’ operazione si dice binaria. In questo caso scriveremo a a invece di1 2∗(a , a ).1 22.

SegnatureDefinizione. Un segnatura Σ è una famiglia di insiemi Σ (n intero non negativo)n∈e ogni σ Σ è un simbolo detto operatore (che rappresenta un’operazione dinarietà n).Fissato un insieme A e una segnatura Σ, facciamo corrispondere ad ogni operatore∈ una sua interpretazione in A come operazione n−aria di A. Consideriamoσ Σ ncioè la famiglia di applicazioni interpretazione:→ {A → ∈A nI : Σ A applicazioni} tali che ad ogni σ Σ si associa l’operazionen nn →A nn−aria di A : I (σ) : A A .n A si dicono interpretazioni dellaDefinizione. Le applicazioni I nsegnatura Σ.In particolare

l'interpretazione di un operatore di arietà 0 consiste nel fissare un particolare elemento di A. L'insieme degli operatori 0-ari si indica, di solito, con Σ invece che con Σ.

Notazione: nel seguito scriveremo σ invece di I (σ).

ESEMPI: Sia Σ la seguente segnatura:

• {0, {σ }, {σ }, ∅ ∀Σ = 1}
• Σ = Σ = , σ Σ = n > 2.

λ nP(X)

1. Sia A = l'insieme delle parti di un insieme X.

Possiamo definire le seguenti interpretazioni su A:

2. ∅A A0 = 1 = X. →Aσ : A A "operazione complementare" definita da 1 C ∈Aσ (B) = B
3. ∀ B A.X1 × →A : A A A "operazione intersezione" definita da σ 2 ∩ ∀ ∈Aσ (B, C) = B C B, C A.
4. ∀ ∈A (B, C) = B C B, C A.σ 3 Z.
5. Sia B = Possiamo definire

le seguenti interpretazioni su B:B B0 = 0 1 = 1.→ ∀n ∈ Z.B B: B B ”successore” definita da σ (n) = n + 1σ 1 1× →B Bσ : B B B σ (n, m) = n + m , usuale operazione di somma in2 2Z. × → Z.B B: B B B σ (n, m) = nm, usuale operazione di prodotto inσ 3 33. Σ - algebre omogenee. ADefinizione. Data una segnatura Σ,una Σ - algebra è una coppia:A {I }A=< A, >n∈Nn {I }Adove A è un insieme detto supporto dell’algebra, è la famiglia delle interpre-ntazioni in A della segnatura ΣFissata la segnatura Σ, indicheremo con Alg la classe di tutte le possibili Σ -Σalgebre.ESEMPI:1) Siano Σ, A, B, definite come negli esempi precedenti, allora A con le{0 }A A A A Ainterpretazioni , 1 , σ , σ , σ e B con le interpretazioni1 2 3{0 }B B B B B, 1 , σ , σ , σ sono Σ - algebre.1 2 32) Consideriamo la seguente

segnatura Σ :{1}, {⊗, ⊕}, {◦}, ∅ ∀= Σ = Σ = Σ = n > 2.Σ 1 2λ n{f → |Sia A = : IR IR f è invertibile} poniamoA = Id (funzione identica su IR)1 RI −1⊗ ⊕ −f, ∀ ∈A A(f ) = f (f ) = f A.◦ ◦ ∀ ∈A (f, g) = g f (composizione di funzioni) f, g A.

ESERCIZIO : Data la segnatura Σ dell’esempio 2) precedente definire altre Σ -algebre.

Definiamo ora l’algebra dei termini su X che è una particolareΣ - algebra che sarà fondamentale nel seguito.

Definizione: Sia Σ una segnatura e X un insieme di simboli (ovvero variabili) tali∩ ∅ 1che X Σ = . (X) dei termini su X è definita induttivamente da:

L’algebra T Σ⊆i) X T (X)Σ⊆ii) Σ T (X)Σλ ∈ ∈∈ e t , . . . , t T (X) si ha t = σ(t , . . . , t ) T (X)iii)∀ σ Σ 1 Σ 1 Σn n nLe

operazioni di T (X) sono cosı̀ definite:

Σ∀ ∈ (X)T, σ = σ.i) σ Σ Σλ∈ ∈ (X)Tii)∀ σ Σ e t , . . . , t T (X) allora σ (t , . . . , t ) = σ(t , . . . , t ).Σ1 Σ 1 1n n n n∈Gli elementi t T (X) si dicono termini.Σ ∅, (X) con T ; T è detta anche algebra

Osservazione. Se X = indicheremo T Σ Σ Σdei termini senza variabili oppure word-algebra.

Omettiamo la dimostrazione del seguente risultato

Teorema. (Decomposizione unica dei termini) Siano Σ una segnatura. X un∈insieme di variabili. Per ogni t T (X) vale una ed una sola delleΣseguenti affermazioni: ∈a) esiste uno e un solo x X tale che t = x.∈ ∈b) esiste uno e un solo σ Σ e t , . . . , t T (X) tali che1 Σn nt = σ(t , . . . , t ).1 n {x,ESEMPIO. Sia X = y, z} e sia Σ la segnatura definita da:{0}, {succ}, ∅ ∀ ≥= Σ =

Σ = n 2.Σ 1 nλ {x,Usando la definizione avremo: T (X) = y, z, 0, succ(x), succ(succ(x)), succ(succ(succ(x))) . . . , succ(y), succ(Σ. . . , succ(0), succ(succ(0)), ...} {0}, {succ},

ESERCIZIO Sia Σ la segnatura definita da Σ = Σ = Σ =1 2λ∅ ∀{+}, = n > 2. Determinare T .Σ Σn4. Sottoalgebre ∈Definizione. Date una segnatura Σ e A Alg , sia B un sottoinsieme di A taleΣche: ∈∀ ∈ A, σ B (cioè B contiene le costanti).i) σ Σ λ ∈ ∈∀ ∈ Ase b , . . . , b B, allora σ (b , ..., b ) B (cioè B è chiuso rispettoii) σ Σ 1 1n n nalle operazioni di A).1 supporremo sempre che i simboli ”(” e ”)” non appartengano nè a Σ nè a X.42{σ } (1)B B A|La Σ - algebra < B, > dove σ = σ si dice sottoalgebra diBσ∈ΣA. B si dirà sottoalgebra propria

di A se B = A.∅ ∅In particolare è una sottoalgebra di A se e solo se Σ = .λESEMPIO. Consideriamo la segnatura Σ definita da:{0}, {succ}, ∅ ∀ ≥Σ = Σ = Σ = n 2.1 nλ N N N NN, {0 } ∀n ∈ N.e la Σ - algebra < , succ > dove 0 = 0, succ (n) = n + 1Si verifica facilmente, usando la definizione, che questa Σ− algebra non ammettesottoalgebre proprie. ∈ , diremo chiusura induttiva diDefinizione. Sia B un sottoinsieme di A Alg ΣB in A il più piccolo insieme B che soddisfa le seguenti proprietà:A⊆i) B BA∀ ∈ ∈Aii) σ Σ , σ Bλ A∀ ∈ ∈ ∈Aiii) σ Σ se b , . . . , b B , allora σ (b , . . . , b ) B .1 1n n A n ASi verifica facilmente che B è la pi