Insiemi - Analisi 1

Indici documenti

Concetti fondamentali

• Insiemi
• Sottoinsiemi
• Insiemi delle parti
• Cardinalità
• Operazioni tra insiemi
• Prodotto cartesiano
• Relazioni da A in B
• Relazione equivalenza
• Relazione d'ordine
• Maggiore
• Minore
• Massimo
• Minimo
• Teorema unicità massimo e minimo
• Sup e Inf

Numeri

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ I ⊆ R

Operazioni

• Addizione
• Moltiplicazione

Descrizione dei numeri

N _naturali (0, 1, 2, 3, 4,...⁺ ∞)

Z _relativi ("-∞" ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, ..., +∞)

Q _razionali (Frazione fra tutti i numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione interi, decimali limitati e decimali illimitati periodici)

I _irrazionali (numeri che non si possono scrivere sotto forma di frazione: decimali illimitati non periodici)

R _reali (Tutti i numeri razionali ed irrazionali)

Simbologia logica

• ∃ ^{esiste/esistono}
• ∀ ^{per ogni/per qualunque}
• ⇒ ^{implica/allora}
• ⇔ ^{() se e solo se}
• : = > tale che

Simbologia insiemistica

• x ∈ A ^{x appartiene all'insieme A}
• x ∉ A ^{x non appartiene all'insieme A}
• B ⊂ A ^{B contenuto propriamente/incluso in A}
• B ⊃ A ^{B contiene}
• B ⊆ A ^{B ⊆ A contiene}
• A = B ^{A uguale a B}
• A ≠ B ^{A diverso da B}

Definizioni e proprietà degli insiemi

Insiemi: Non esiste vera definizione di insiemi; è un concetto primitivo.

Insiemi uguali: Due insiemi sono uguali (A = B o A ≡ B) se e solo se tutti gli elementi di A appartengono a B, e tutti gli elementi di B appartengono ad A.

A = B ⇔ ∀x ∈ A x ∈ B, ∀x ∈ B x ∈ A oppure (x appartiene a B) ∧ x ∈ A

Sottoinsiemi

B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A. Si possono distinguere due casi:

• Sottoinsieme proprio → B è contenuto propriamente in A se c'è almeno un elemento in A che non appartiene a B.
• Sottoinsieme improprio → Ogni elemento di B appartiene ad A ed ogni elemento di A appartiene a B.

Esempio: A={1,2,3,4,5,6} B={1,2,4,5} D={1,3,5} B ⊂ A B ∈ A

Dato un insieme A, esso ammette sempre due sottoinsiemi:

• A stesso > sottoinsiemi impropri
• Insieme vuoto {}

Insieme delle parti

È l'insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme.

P(A) = {&, {3}, {2}, {3}, {1}, {2}, {3}, {1,3}, {2,3}, {1}, {1}, {2}, {1,2,3}} oppure 2^A

Cardinalità di un insieme

Indica il numero degli elementi dell'insieme. Se l'insieme A ha un numero finito di elementi (n) l'insieme delle parti di A è anch'esso finito e avrà un numero di elementi pari a 2ⁿ.

Cardinalità di un insieme = |N|

Cardinalità del suo insieme delle parti = 2ⁿ

Esempio: |A|=3 → |P|=2³=8 |P|=2^|A| → La cardinalità dell'insieme delle parti è uguale a 2 elevato alla cardinalità dell'insieme.

Operazioni tra insiemi

A = {1,2,3} B = {4,5}

1. Unione: UNIONE di A e B: A ∪ B = { x | x ∈ A or x ∈ B} A ∪ B = {1,2,3,4,5}
2. Intersezione: INTERSEZIONE di A e B: A ∩ B = { x | x ∈ A and x ∈ B} A ∩ B = {}
3. Differenza: DIFFERENZA tra A e B: A-B = { x | x ∈ A and x ∉ B} A-B = {1,2,3}
4. Complementare: COMPLEMENTARE di A in T: A' = {4,5,6,...}

Prodotto cartesiano tra A e B (A × B)

A × B = { (a,b) | a ∈ A, b ∈ B }

Esempio: A = {1,2,3} B = {4,5} A × B = { (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) } (4,1) NON fa parte di A × B

Relazioni da A in B

È un insieme di coppie ordinate formate ognuna da un elemento di A e un elemento di B. Una relazione da A in B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.

Esempio 1

A = {1, 2, 3} B = {1, 4, 5} A × B = {(1,1),(1,4),(1,5),(2,1),(2,4),(2,5),(3,1),(3,4),(3,5)}

R = tutte le coppie che hanno 1 come primo elemento

R = {(1,1),(1,4),(1,5)} ⊂ A × B

Si scrive aRb ⇒ a = 1, b ∈ B (a, b) ∈ R ⇒ a = 1, b ∈ B

Esempio 2

aRb ⇒ a < b

R = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

Le funzioni sono un esempio di relazione tra A e B, dove A = dominio, B = codominio

f (funzione) è una relazione A in B tale che ad ogni elemento di A (x) fa corrispondere un solo elemento di B (y), con tali condizioni:

• Condizione di esistenza: ∀x ∈ A ∃ y ∈ B : (x,y) ∈ f
• Condizione di unicità: (x,y) ∈ f ∧ (x,y') ∈ f ⇒ y = y'

Esempio

F = {(x,y) ∈ R × R : x = y²}

x = -2 (−2,y) deve essere −2 = y²

F = {(x,y) ∈ R⁺ × R : x = y²}

f = {(x,y) ∈ R × R : y = x²}

Verificate

Proprietà delle relazioni: La relazione su un insieme può godere delle seguenti proprietà:

• Riflessiva: Una relazione R si dice riflessiva se ogni elemento a è in relazione con se stesso tramite R. a R a
• Simmetrica: Una relazione R si dice simmetrica se per ogni elemento di A, a è associato b mediante R. a R b ⇒ b R a
• Antisimmetrica: Una relazione si dice antisimmetrica se per qualche elemento di A, a è associato b mediante R e b è associato ad a mediante R, fa sì che a = b. a R b ∧ b R a ⇒ a = b
• Transitiva: Una relazione si dice transitiva se per qualunque elemento di A, per esempio a, b, c, se a è associato a b mediante R e b è associato a c mediante R, allora a è associato a c mediante R. a R b ∧ b R c ⇒ a R c

Relazione d'equivalenza ∼

Una relazione R si dice equivalente se è riflessiva, simmetrica e transitiva. aRa o R(b) ⇒ a ∼ b

Esempio: Parallelismo tra rette è un relazione di equivalenza {R : r ∼ s ⇔ r//s A : = {rette del piano}}

• Una retta r è parallela a se stessa (riflessiva)
• Se r è parallela ad s, allora s è parallela ad r (simmetria)
• Se r è parallela ad s ed s è parallela a t, allora r è parallela a t (transitiva)

Classe di equivalenza [a]

Data una relazione R di equivalenza in un insieme A si chiama classe di equivalenza di un certo elemento a gli elementi di A che sono equivalenti ad a rispetto ad R.

Esempio: A = {32; 325; 325; 208; 18; 3; 1; 7; 102} R : = ha lo stesso cifre iniziale

• [32] = {32, 325, 3}
• [325] = {325, 18, 1, 102}
• [208] = {208, 2}

Relazione d'ordine <

Una relazione Rp in un insieme A, si dice relazione d'ordine se nell'insieme A gode delle proprietà riflessiva, anti-simmetrica, transitiva.

Insieme A è parzialmente ordinato R : {ordinati} N : {numeri}

• La relazione R è riflessiva perché ogni numero è uguale a se stesso allora a ≤ a
• La relazione è anti-simmetrica perché essendo posi a ∈ ℕ b numeri naturali, a ≤ b e b ≤ a allora a ≠ b
• La relazione è transitiva perché se a ≤ b c allora a ≤ c

Relazione d'ordine totale

Un insieme N si dice totalmente ordinato se gode anche di queste proprietà:

• a ≤ b oppure b ≤ a

Esempio: N = {numeri naturali33 1,2,3, 5, 6, 7} è una relazione ordina totale poiché:

• 1 ≤ 1
• 1 < 2 (no 2 < 1)
• 1 ≤ 2, 2 ≤3 ⇒ 1 ≤ 3

Relazione d'ordine parziale

R non tutti gli elementi di un insieme legati dalla relazione (R possono essere confrontati tra loro.

Relazione d'ordine totale

R fa relazionare elementi di ogni insieme Messicani possono sempre confrontare.