Insiemi - Analisi 1

Indice Documento:

• Insiemi
• Sottoinsiemi
• Insiemi delle parti
• Cardinalità
• Operazioni tra insiemi
• Prodotto cartesiano
• Relazioni da A in B
• Relazione equivalenza
• Relazione d'ordine
• Maggiorante
• Minorante
• Massimo
• Minimo
• Teorema unicità massimo e minimo
• Sup e Inf

NUMERI

N NATURALI (0, 1, 2, 3, 4, ... ∞)

Z RELATIVI (... -3, -2, -1, 0, +1, +2, ... +∞)

Q RAZIONALI

I IRRAZIONALI

R REALI (tutti i numeri razionali ed irrazionali)

SIMBOLI LOGICI

∃ = esiste/esistono

∀ = per ogni/per qualunque

=> implica/allora

SIMBOLI LEGATI AL CONCETTO DI INSIEME

x ∈ A = x appartiene all'insieme A

x ∉ A = x non appartiene all'insieme A

A ⊆ B = contenuti, propriamente/incluso

B ⊇ A = contenuti

B ⊄ A = non contenuti

A = B = A uguale B

A ≠ B = A diverso B

INSIEMI

INISIMI UGUALI

Due insiemi sono uguali (A = B o A ≡ B) se e solo se tutti gli elementi di A appartengono a B, e tutti gli elementi di B appartengono ad A.

Proprietà delle relazioni

Una relazione R su un insieme può godere delle seguenti proprietà:

R_R Riflessiva

Una relazione R si dice riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso tramite R.

aR_Ra ∀a∈A

A={1,2,3}

R={ (1,1)(2,2)(3,3) }

R_S Simmetrica

Una relazione R si dice simmetrica se per ogni elemento di A, a è associato a b mediante R, e b è associato ad a mediante R.

aR_Sb ⇒ bR_Sa ∀a,b∈A

A={1,2,3}

R={ (1,2)(2,1)(1,3)(3,1) }

R_A Antisimmetrica

Una relazione si dice antisimmetrica se per qualche elemento di A, a è associato b mediante R, e b associato ad a mediante R. Se si desume a=b.

aR_Ab ∧ bR_Aa ⇒ a=b

R_T Transitiva

Una relazione si dice transitiva se per qualunque elemento di A, per esempio a,b,c, se a è associato a b mediante R, e b è associato a c tramite R, allora a è associato a c mediante R.

aR_Tb ∧ bR_Tc ⇒ aR_Tc