Algebra e geometria - insiemi

Insiemi

Definizione

Un insieme è una collezione di oggetti

Un insieme è definito ESTENSIONALMENTE se si elencano tutti i suoi elementi.

– Es. {a,b,c} è un insieme contenente 3 oggetti: a,b,c

Gli oggetti sono chiamati elementi dell'insieme.

Un insieme è definito INTENSIONALMENTE se si specifica una proprietà che caratterizza

– gli elementi dell'insieme.

Es. {vocali della parola informatica} = {i,o,a}

n∈N

insieme dei numeri pari {2n : } = {0,2,4,...}

– n∈N n∈N

{ : n è multiplo di 7} = { | n è multiplo di 7}

– ^

tale che

Definizione

x∈ S = X è un elemento ((appartiene) dell'insieme S

n∈N

Es. a {a,b,c} 5 {2n | }

∉

∈

appartiene

∈

Definizione

Un SINGLETON (singoletto) è un insieme con un solo elemento

Es. {a},{12}, {*},{Umberto} singleton

{a, Umberto} non è un singleton

Definizione

Un insieme che non ha elementi si chiama insieme VUOTO e si denota con ∅

Definizione

La cardinalità è il numero di elementi dell'insieme

|S| è la cardinalità dell'insieme S

Esempio

|{a,b,c}| = 3 |{vocali nella parola informatica}| = 3

Nota In un insieme non si contano le ripetizioni degli elementi

Es. {a,a,b,c} = {a,b,b,c,c,c} = {a,b,c}

|{a}| = 1 | | = 0

∅

| S | ℕ

∈

Definizione

è l'insieme dei numeri naturali {0,1,2,3,....}

ℕ + = {1,2,3,...}

ℕ numeri interi {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

ℤ numeri razionali {p/q | p,q e q != 0{

ℚ ℤ

∈

numeri reali

ℝ è contenuto in , è contenuto in e è contenuto in

ℕ ℤ ℤ ℚ ℚ ℝ

Definizione

S e T insiemi S⊆T

diciamo che S è contenuto in T (in simboli )

se ogni elemento di S appartiene a T S⊆T

Esempio S = {a,b,c} T = {a,b,c,d,e,f} S⊄T

S = {a,b,c} T = {a,b,d,e,g}

Proprietà

S⊄T se non è vero che ogni elemento di S appartiene a T

cioè esiste un elemento di S che non appartiene a T

Esempio

S = {persone simpatiche}

T = {studenti in questa aula}

T (tutte le persone in aula sono simpatiche)

⊆S

S⊆T (tutte le persone simpatiche sono in aula)

S⊈T (tutte le persone simpatiche non sono in quest'aula)

T (tutte le persone in quest'aula non sono simpatiche)

⊈S

S = {multipli di 4} T = {numeri che terminano pari}

R = {multipli di 6}

S⊆T T R⊆T T

⊈S ⊈R

A⊆T T

A = {numeri pari} => A = T

⊆A

Proprietà S⊆T

Se S e T finiti e

|S| <= |T|

Es

S = {a,b,1,2,3,c,d} T = {a,b,1,3,d}

|S| = 7 |T| = 5 T

S <= T? No! ⊆S

card. S⊈card. T S⊈T

Se =>

Es

S = {1,2} T = {a,b,c,d} |S| = 2 |T| = 4

S⊈T ma |S| <= |T|

Definizione

per ogni S, cioè è incluso in qualsiasi insieme

∅⊆S ∅

S⊆T

Definizione Se allora S si chiama SOTTOINSIEME di T

Es. T = {a,b,c} Scriviamo tutti i sottoinsiemi di T

{A}⊆T {B}⊆T {C}⊆T a T

∈

{a,b}⊆T {a,b,c}⊆T

{a,c}⊆T 3+3+1+1 = 8

{b,c}⊆T

∅⊆T

Definizione Con P(S) si denota l'insieme di tutti i sottoinsiemi di S

P(S) = insieme DELLE PARTI si S

,{a} ,{b} , {c} , {a,b} , {b,c}, {a,c}, {a,b,c}

Es. P({a,b,c}) = { }

∅

{a}∈P({a,b,c)})

|P({a,b,c})|=8

P({1,2})

Es.

Scriviamo i sottoinsiemi di {1,2}

|P({1,2})|={},{1},{2},{1,2}

|P({1},a)| |S({1},a)| |S|=2

,{{1}},{a},{{1},a}

I sottoinsiemi di S sono: |P(S)| = 4

∅

P(S)= { , {{1}},{a},{{1},a}}

∅

Es.

S= {a, {b,c},d} |S| = 3

P(S)= { , {a},{{b,c}},{d},{a,{b,c}},{a,d},{{b,c},d},S}

∅

|P(S)| = 2^3 = 8

Teorema

Se |S| = n

allora |P(S)| = 2^n

Esercizio

S = {a,b,1,2} P(S)=?

S = {{a,b},c,d,2}

Nota

In un insieme non conta l'ordine degli elementi

Es. {a,b,c} = {c,a,b} = {b,c,a}

DIAGRAMMI di VENN

Metodo grafico per rappresentare alcune proprietà degli insiemi

Ogni insieme è rappresentato come una regione

S di spazio

-gli elementi dell'insieme sono punti interni alla

regione