Algebra e geometria - insiemi

Insiemi

Definizione di insieme

Un insieme è una collezione di oggetti.

Definizioni di insiemi

Un insieme è definito estensivamente se si elencano tutti i suoi elementi. Es. {a, b, c} è un insieme contenente 3 oggetti: a, b, c. Gli oggetti sono chiamati elementi dell'insieme.

Un insieme è definito intensionalmente se si specifica una proprietà che caratterizza gli elementi dell'insieme. Es. {vocali della parola informatica} = {i, o, a}

Esempi di insiemi

n ∈ N insieme dei numeri pari {2n : n ∈ N} = {0, 2, 4, ...}

{n : n è multiplo di 7} = {n | n è multiplo di 7}

Appartenenza a un insieme

x ∈ S significa che X è un elemento (appartiene) dell'insieme S. Es. a ∈ {a, b, c}; 5 ∉ {2n | n ∈ N}

Tipi di insiemi

Un singleton (singoletto) è un insieme con un solo elemento. Es. {a}, {12}, {*}, {Umberto} sono singleton. {a, Umberto} non è un singleton.

Un insieme che non ha elementi si chiama insieme vuoto e si denota con ∅.

Cardinalità di un insieme

La cardinalità è il numero di elementi dell'insieme. |S| è la cardinalità dell'insieme S.

Esempio: |{a, b, c}| = 3, |{vocali nella parola informatica}| = 3

Note sugli insiemi

In un insieme non si contano le ripetizioni degli elementi. Es. {a, a, b, c} = {a, b, b, c, c, c} = {a, b, c}. |{a}| = 1, |∅| = 0

Tipologie di numeri

ℕ è l'insieme dei numeri naturali {0, 1, 2, 3, ...}

ℕ⁺ = {1, 2, 3, ...}

ℤ numeri interi {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

ℚ numeri razionali {p/q | p, q e q ≠ 0}

ℝ numeri reali

ℕ ⊂ ℤ, ℤ ⊂ ℚ, ℚ ⊂ ℝ

Sottoinsiemi

S e T sono insiemi. S ⊆ T significa che S è contenuto in T (in simboli) se ogni elemento di S appartiene a T.

Esempi di sottoinsiemi

Esempio: S = {a, b, c}, T = {a, b, c, d, e, f}, S ⊈ T

S = {a, b, c}, T = {a, b, d, e, g}

Proprietà di sottoinsiemi

S ⊈ T se non è vero che ogni elemento di S appartiene a T, cioè esiste un elemento di S che non appartiene a T.

Esempi di proprietà di sottoinsiemi

S = {persone simpatiche}, T = {studenti in questa aula}

• T ⊆ S (tutte le persone in aula sono simpatiche)
• S ⊆ T (tutte le persone simpatiche sono in aula)
• S ⊈ T (tutte le persone simpatiche non sono in quest'aula)
• T ⊈ S (tutte le persone in quest'aula non sono simpatiche)

Esempi avanzati di sottoinsiemi

S = {multipli di 4}, T = {numeri che terminano pari}, R = {multipli di 6}

• S ⊆ T
• R ⊆ T
• T ⊈ S
• R ⊈ T

Proprietà degli insiemi finiti

S ⊆ T se S e T sono finiti e |S| ≤ |T|