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Insiemi: proprietà, definizioni ed esempi

Prime 4 lezioni di Algebra e Geometria. Contiene i miei appunti copiati sul pc manualmente. Il file è in PDF, nessun problema a dare anche il docx. Università degli Studi dell'Insubria Como Varese - Uninsubria, Facoltà di Scienze matematiche, fisiche e naturali.

Esame di Algebra e Geometria docente Prof. B. Gerla

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Algebra e Geometria: Insiemi

PARTE 1

MATEMATICA DISCRETA: INSIEMI

INSIEME: collezione di oggetti.

Esempio: A = {1, 2, 3}; B = {cane, gatto, stella}; C = {1, 2, 3, stella, …}.

Notazione: usiamo le parentesi graffe {} per indicare l’insieme.

DEFINIZIONE

Un insieme con 0 elementi è denotato con {} oppure con 0 ed è detto insieme vuoto.

insieme non finiti, con un numero di elementi infinito (ad esempio l’insieme dei

Insiemi infiniti:

numeri naturali)

Un insieme può essere indicato, con l’utilizzo delle notazioni, in due modi:

 Notazione estensionale: elenco tutti gli elementi presenti nell’insieme

 ∀ ∈

Notazione intenzionale: descrivo una proprietà che caratteriza gli elementi. Esempio: { n N | n è

∀ ∈

pari e 1 < n < 7} (si legge: per ogni ( ) elemento n appartenente ( ) all’insieme N tale che (|) n è

pari ed è compreso tra 2 e 5) -> N = {2, 4, 6}

ESEMPI

A = {studenti s in questa aula | s è simpatica} -> {x, y, k}

B = {n N | n è dispari e n è multiplo di 4} -> {}

DEFINIZIONE: Intersezione

L’intersezione di due insiemi A e B è un insieme che contiene gli elementi comuni ad A e B e si

indica con il segno ∩. A ∩ B = {x | x ∈ ∈

A e x B}

DEFINIZIONE: Unione

L’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B

∪.

e si indica con il segno ∈ ∈

A B = {x | x A oppure x B}

ESEMPIO A = {1, 2, 3, a, b}; B = {1, 3, 5, b, c, d}

A ∩ B = {1, 3, b}

A B = {1, 2, 3, 5, a, b, c, d}

Quando A ∩ B = {} si dice che A e B sono DISGIUNTI ⊆

Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, si dice che A è INCLUSO in B -> A B (B è un

∩ ∪

sottoinsieme di A). In questo caso, A B = B e A B = A.

DEFINIZIONE

Si dice che B è INCLUSO in A se ogni elemento di B appartiene ad A

<!> IMPORTANTE <!>

 ⊆

Ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso: A A

 ⊆

L’insieme vuoto è incluso in qualsiasi insieme: {} A

PARTE 2 ∈

{ x N | x è pari }

N = insieme dei numeri naturali

PROPRIETA’: se x è pari

In genere si scrive { x | P(x) } : insieme degli elementi x che soddisfano la proprietà P

Esempio

Sia P(x) la proprietà “x è nato nel 1996” e Q(x) “x è nato a Varese”

A = { x | P(x) } = { x | x è nato nel 1996 } e B = { x | Q(x) } = { x | x è nato a Varese }

A ∩ B = { x | x è nato a Varese nel 1996 }

B A = { x | x è nato nel 1996 oppure è nato a Varese }

1. A B = E’ vero che tutti i nati nel 1996 sono nati a Varese?

2. A B = E’ vero che tutti i nati a Varese sono nati nel 1996?

Per rispondere alle domande 1 e 2 dobbiamo trovare un contro-esempio ovvero un elemento che

non soddisfa una delle due richieste (ad esempio una persona nata a Varese ma non nel 1996 oppure

nata nel 1996 ma non a Varese).

ESERCIZIO

P = {n N | x è pari }

D = {n N | x è dispari }

l’ultima cifra di x è 3 }

T = {n N |

Q = {n N | x è multiplo di 4 }

P ∩ D = {}

P D = N

T ∩ Q = {}

T ∩ Q = T

Q ∩ P = Q

Q T = NO (non ci sono multipli di 4 che finiscono con il numero 3)

Q P = SI (tutti i multipli di 4 sono numeri pari)

Q D = NO (non ci sono multipli di 4 che sono dispari)

T D = SI (tutti i numeri che finiscono per 3 sono dispari)

DEFINIZIONE

– ∈ ∈

a \ B (= A B) = { x A e x B }

N \ D = P, N \ P = D

DEFINIZIONE

Se x è un insieme finito si indica |x| la cardinalità di x cioè il numero di elementi di x (è anche

chiamata ordine di x)

ESEMPIO

Se x = {a, b, c} allora |x| = 3

∪ ∪

Cosa possiamo dire di |A B|? Se |A| = 3 e |B| = 4 ( A = {a, b, c} e B = {b, c, d, e}) allora |A

B|=5 ≤

max(A oppure B) |A B| |A| + |B|

| {} | = 0

E’ vero che tutti gli studenti di questa aula sono laureati in informatica sono seduti al centro? (in

pratica non ci sono studenti laureati) la risposta è SI, vediamo perchè:

L = { x | x è laureato in informatica }

C = { x | x è seduto al centro }

⊆ ⊆

L C ? -> L = {} -> {} C -> SI

DEFINIZIONE

L’insieme delle parti di un insieme A è l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di a. Si indica con

P(A) (p=pARTI)

A = {a, b, c}

P(A) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A }

B = {a, b}

P(B) = { {}, {a}, {b}, {a,b} OPPURE B }

C = {a}

P(C) = { {}, {a} }

PROPRIETA’

Se l’insieme A ha N elementi allora | P(A) | = N

2

DEFINIZIONE

Una coppia di elementi è formata da 2 elementi tra i quali si distingue un primo e un secondo. Si

usa la notazione (a, b) (a, b) ≠ (b, a) e (a, b) ≠ {a, b}

DEFINIZIONE ∈ ∈

Dati 2 insiemi A e B, si chiama il prodotto cartesiano di A per B (A x B) = { (a, b) | a A, b B }

ESEMPIO

A = { nomi degli studenti } e B = { numero di telefono }

A x B = { (a, b) | a è un nome e b è un numero di telefono }

A x B = { (“Antonio”, 12345), (“Antonio”, 89044), (“Vittorio”, 12345) …. }

A x B ≠ B x A : NON COMMUTATIVA


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10

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1.11 MB

AUTORE

Mudii

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Mudii di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Insubria Como Varese - Uninsubria o del prof Gerla Brunella.

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