Insiemi: proprietà, definizioni ed esempi

Algebra e geometria: insiemi

Parte 1: Matematica discreta - insiemi

Insieme: collezione di oggetti.

Esempio: A = {1, 2, 3}; B = {cane, gatto, stella}; C = {1, 2, 3, stella, …}.

Notazione: usiamo le parentesi graffe {} per indicare l’insieme.

Definizione

Un insieme con 0 elementi è denotato con {} oppure con 0 ed è detto insieme vuoto.

Insiemi non finiti, con un numero di elementi infinito (ad esempio l’insieme dei numeri naturali).

Un insieme può essere indicato, con l’utilizzo delle notazioni, in due modi:

• Notazione estensionale: elenco tutti gli elementi presenti nell’insieme.
• Notazione intenzionale: descrivo una proprietà che caratterizza gli elementi. Esempio: {n ∈ N | n è pari e 1 < n < 7} (si legge: per ogni elemento n appartenente all’insieme N tale che n è pari ed è compreso tra 2 e 5) -> N = {2, 4, 6}

Esempi:

• A = {studenti s in questa aula | s è simpatica} -> {x, y, k}
• B = {n ∈ N | n è dispari e n è multiplo di 4} -> {}

Definizione: Intersezione

L’intersezione di due insiemi A e B è un insieme che contiene gli elementi comuni ad A e B e si indica con il segno ∩. A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Definizione: Unione

L’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B e si indica con il segno ∪. A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}

Esempio:

• A = {1, 2, 3, a, b}; B = {1, 3, 5, b, c, d}
• A ∩ B = {1, 3, b}
• A ∪ B = {1, 2, 3, 5, a, b, c, d}

Quando A ∩ B = {} si dice che A e B sono disgiunti.

Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, si dice che A è incluso in B -> A ⊆ B (B è un sottoinsieme di A). In questo caso, A ∩ B = A e A ∪ B = B.

Definizione

Si dice che B è incluso in A se ogni elemento di B appartiene ad A.

Importante:

• Ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso: A ⊆ A.
• L’insieme vuoto è incluso in qualsiasi insieme: {} ⊆ A.

Parte 2: Insiemi

{x ∈ N | x è pari}

N = insieme dei numeri naturali

Proprietà: se x è pari

In genere si scrive {x | P(x)}: insieme degli elementi x che soddisfano la proprietà P.

Esempio:

• Sia P(x) la proprietà “x è nato nel 1996” e Q(x) “x è nato a Varese”
• A = {x | P(x)} = {x | x è nato nel 1996}
• B = {x | Q(x)} = {x | x è nato a Varese}
• A ∩ B = {x | x è nato a Varese nel 1996}
• A ∪ B = {x | x è nato nel 1996 oppure è nato a Varese}

1. A ⊆ B = È vero che tutti i nati nel 1996 sono nati a Varese?

2. A ⊆ B = È vero che tutti i nati a Varese sono nati nel 1996?