Insiemi e varie operazioni

INSIEMI

IDEF. = Collezione di oggetti (A, X)

x ∈ A = elemento A

NOT.

appartenenza ∈ → non appartenenza ∉

a∈A ≜ A = {x | x = a} ∉ A

non contare in paroloni

CONCETTI

Inclusione

A ⊆ B se (per ogni x∈A si ha x∈B allora A è sottoinsieme di B

ATTENZIONE!!!

a∈A si scrive:

AA⊆B (A⊆A)

B =B⊆A⊆B ≣ A =B

inclusioni ridicola = NULLA = Ø=B

INSIEME VUOTO { Ø } ≅ Ø

B ⊆ A = contenuto in qualsiasi insieme A

INSIEME DELLE PARTI = INSIEME DI TUTTI I SOTTOINSIEMI DI A

A = { 1,2,3 }

ﺟ (A) = { Ø,(1),(2),(3),(1,2),(2,3)…}

OSS. Se n≠ n elementi, ﺟ (A) ha 2ⁿ elementi

INSIEMI NUMERICI

N = naturali Q = razionali C = complessi

Z = interi I = irrazionali R = reali

OPERAZIONI TRA INSIEMI

UNIONE

A∪B = { x∈X | x∈A ∨ x∈B }

INTERSEZIONE

A∩B = { x∈A ∧ x∈B }

DIFFERENZA

B∖A : { x∈X | x∈B ∧ x∉A }

DIFFERENZA SIMMETRICA Δ

AΔB ≜ (A∪B)∖(A∩B)

COMPLEMENTO AB ≅ X∖A

COORDINAZIONI CARTESIANE

A × B = { (a,b) ∈ X × X | a∈A, b∈B }

OSS A = B, C≠X

PROPRIETÀ

FONDAMENTALI

- Leggi di Morgan/Le Nuvole

1. (A∪B)' = A'∩B'
2. (A∩B)' = A'∪B'

Esempio Distributiva

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

ELEMENTARI

• x∪∅ = x
• x∩∅ = ∅
• x∪x = x
• x∩x = x
• A⊆B x∩A = A
• A⊆B x∪A = x

NOTE

Quantificatori

• ∀ per ogni
• ∃ esiste
• ∃! esiste ed è unico
1. ∀x ∈ A∪B
2. ∀x ∈ A∩B
3. ∀x ∈ A∪B

PROPOSIZIONE

Si dice affine unicamente se è vera o false

e.g. 1+I=3 ∧M ∧N ∨2∈N è una proposizione

x∈A ↔ e sua d,y non è una proposizione

NEGAZIONE DI UNA PROPOSIZIONE

• Q ≠ non P
• ¬(non)
• T ^→
• T

CONNETTIVI LOGICI

• "e", "o", "se → allora"
• ∧ ∨ ∨

es. 1∈_ℝ tc X⊂]₁-∞,0_[=Qc

L=0

N non è superiormente limitato, perché ∀L∈ℝ

dim FISSO L∈ℝ

CERCO n∈N^∗ tc n>L

n=L+1∈N

Porte laterali.

L=⎰−maxA∈Z f (m,k,l)

def. A∈_ℝ è inferiormente limitato se ∃L∈_ℝ tc ∀a∈A L≤a

L è il limitato inferiormente e superioremente. S dice limitato.

Sia A⊂ℝ limitato superiormente A≤_sup M+1. ∀ L∈ℝ, maggiorante per A_c

L = limite. Il limite inferiore di A_c

def. Sia A⊂_ℝ limitato superiormente, definisco supA=soprassolano superiore A

M이→a, unicamente supposatti

teorema Se A⊂_R A≠, limitato superiormente allora esiste il minimo M = coindicabile

minimo element separatorio fra n e A.

dim A, e M, M

∀∃E, 1∈EE m∈!A, M, per de∞, a maggiorante

per assurendo 1) coincideuto 2) ∃E, il x=x ⎰MM, d⪯e⩽EM

1 Н∉E A ⪯E =⪯ со^GM

∃!NEM A⪯e⪯E S m⪯M, quindi ⩯ 호 supA

Corollare1: Se A non è limitato inferiormente supA tuo

한 ^{A정. Aϵx A⊂Q e ᛗ, esiste max A allora max B supra}

ATTENZIONE!!! Il Sup 三 sempre mottino a lute. max ᛋ

Considerersonal equivalence sub

el b.diff i, non limitate superiorentropy

sub A elli also 3=▒

∀e,a b▷⟨max A⟩

e 1⟨e a⟩supA

n∀A⪯ex은 (≤ maxA)

1∀eA Aⱻo (S e maggiorante)

2∀E⩽ (non che nessuna e S cṅa sa majorante)

2∀a ил aur⩽

min=parameter 1

k, e il minimo: диа chiedono di maggiororanti.

n ⨈ρω (dro=sni minM (2,0 log))

m O E A

n = m⋀_a M

n=1) a₂=2 2)=3/2

n= ]ᵐ ]=2/81/2

n= 3) 하의 슈퍼라

n=⨂α=4 ます⊃에⎰와

• c < d
• b > a^c se a ≥ 1
• b < a^c se a ≤ 1
• 0 < a ≤ b a > 0   ∀c > 0

a^x = a^y    x = y

a^x 0

es ∀n ≥ 0   n ∈ ℕ  x ∈ ℤ  x>1

vale (1 + x)^n ≥ 1 + nx ⇒   ∀p(n)

teorema

• step iniziale    (1 + x)^0 ≥ 1 + 0 &mult; x   1 = 1 ⇒ SI
• step induttivo    fisso n∈ℕ  p(n) ⇒   ∀p(n + 1)

1

      (1 + x)^1 ≥ 1 + x

(1 + x)^(n + 1) = (1 + x) &mult; (1 + x)^n       ≥ (1 + x) &mult; (1 + nx)

≥ 1 + x + nx + nx^2 ≥ 1 + (n + 1)x

=   1 + (n + 1)x   &uparrow  n &mult; p

Ts: (1 + x)^n ≥ 1 + (n + 1)x