Insiemi e proprietà

Insiemi

Sabato 26 settembre 2015 19:50

Un insieme è un ente primitivo (assioma) che contiene altri elementi primitivi, gli oggetti. Gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola, mentre gli elementi con la lettera minuscola.

Modi di rappresentazione degli insiemi

Gli insiemi possono essere rappresentati in 3 diversi modi:

• Rappresentazione tabulare o elencazione o estensiva: Non ha importanza l'ordine di elencazione; ogni elemento va inserito una sola volta.
• Diagramma di Venn
• Rappresentazione mediante caratteristica o intensiva: A = {x | x è un numero primo} tale che nel caso di un insieme infinito si utilizza la notazione intensiva. È tuttavia possibile utilizzare la notazione estensiva indicando la sequenza con cui si ripetono gli elementi e scrivendo dei puntini di sospensione: insieme dei numeri naturali A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Insieme vuoto: A = { }.

Nota bene: INSIEME VUOTO e INSIEME IL CUI UNICO ELEMENTO È L'INSIEME VUOTO non sono la stessa cosa.

Cardinalità e proprietà degli insiemi

Cardinalità di un insieme finito: numero di elementi dell'insieme: |A|; car(A); #(A).

Quantificatori:

• Quantificatore universale: Dall'inglese "All"
• Quantificatore esistenziale: Dall'inglese "Exist", esiste almeno un

Insiemi uguali: insiemi composti dagli stessi elementi. Due insiemi sono uguali anche se i loro elementi sono indicati in maniera diversa. Ad es. A = {4, 6}; B = {2x2, 3x2}; A = B; A = { }; B = { }; A = B.

Proprietà degli insiemi

Proprietà riflessiva: l'insieme A è uguale a se stesso A = A.

Proprietà simmetrica: se A = B allora B = A.

Proprietà transitiva: se A = B e B = C allora A = C.

Sottoinsiemi

Un sottoinsieme è un insieme contenuto in un altro insieme. L'insieme contenitore deve avere almeno un elemento non appartenente all'insieme contenuto. B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene ad A, ma non viceversa.

Ovviamente possiamo dire che:

• Sottoinsieme proprio: sottoinsieme i cui elementi sono contenuti nell'insieme contenitore, ma non viceversa.
• Sottoinsieme improprio: sottoinsieme i cui elementi coincidono tutti con quelli dell'insieme contenitore. L'insieme A è sottoinsieme di se stesso; l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.

Proprietà dell'inclusione

Proprietà riflessiva: ogni insieme è incluso in se stesso.

Proprietà transitiva: se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di C allora A è sottoinsieme di C.

Proprietà antisimmetrica dell'inclusione: se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di A, allora A è uguale a B.

Insieme universo

L'insieme universo è un insieme che comprende tutti gli elementi e tutti gli insiemi. Comprende se stesso e l'insieme vuoto. È unico ed è chiamato anche insieme ambiente. U o

Insieme delle parti

L'insieme delle parti è un insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A, compreso l'insieme vuoto e l'insieme A stesso. P(A). La cardinalità dell'insieme delle parti di A è uguale a 2ⁿ, dove n indica il numero di elementi dell'insieme A.