Insiemi e proprietà

N.B. INSIEME VUOTO

INSIEME IL CUI UNICO ELEMENTO E' L'INSIEME VUOTO

Non sono la stessa cosa

Cardinalità di un insieme finito: numero di elementi dell'insieme: |A|; car(A); #(A)

Dall'inglese "All"

Quantificatore universale: o per o ni

Dall'inglese "Exist"

Quantificatore esistenziale: esiste almeno un

Insiemi uguali: insiemi composti dagli stessi elementi N.B. due insiemi sono uguali anche se i loro elementi sono indicati in maniera diversa. Ad es. A = {4, 6}; B = {2x2, 3x2}; A = B

A = { }; B = { }; A = B

Proprietà degli insiemi:

Proprietà riflessiva: l'insieme A è uguale a se stesso A = A

Proprietà simmetrica: se A = B allora B = A A = B

Proprietà transitiva: se A = B e B = C allora A = C A = B e B = C

Sottoinsieme: insieme contenuto in un altro insieme. L'insieme contenitore deve avere almeno un elemento non appartenente all'insieme contenuto. B sottoinsieme di A o in luso in A

ogni elemento di B appartiene ad A, ma non viceversa.

Ovviamente possiamo dire che:

Sottoinsieme proprio: sottoinsieme i cui elementi sono contenuti nell'insieme contenitore, ma non viceversa. B

Sottoinsieme improprio: sottoinsieme i cui elementi coincidono tutti con quelli dell'insieme contenitore. L'insieme A è sottoinsieme di se stesso; l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.

Proprietà dell'inclusione:

Proprietà riflessiva: ogni insieme è incluso in se stesso.

Proprietà transitiva: se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di C allora A è sottoinsieme di C.

Proprietà antisimmetrica dell'inclusione: se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di A, allora A è uguale a B.

Insieme universo: insieme che comprende tutti gli elementi e tutti gli insiemi. Comprende se stesso e l'insieme vuoto. E' unico. E' chiamato anche insieme ambiente. U o

Insieme delle parti: insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A, compreso l'insieme vuoto e l'insieme A stesso. P(A)

n

La cardinalità dell'insieme delle parti di A è uguale a 2 , dove n indica il numero di elementi dell'insieme A.

Operazioni tra insiemi: Algebra e geometria Pagina 1

Insieme delle parti: insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A, compreso l'insieme vuoto e l'insieme A stesso. P(A)

n

La cardinalità dell'insieme delle parti di A è uguale a 2 , dove n indica il numero di elementi dell'insieme A.

Operazioni tra insiemi:

• Intersezione: l'insieme intersezione è l'insieme formato dagli elementi comuni a due o più insiemi. C = A

Due insiemi che non hanno nulla in comune si dicono disgiunti

Proprietà dell'intersezione:

1. Idempotenza: A

2. Commutativa:

3. Associativa:

• Unione: l'insieme unione è l'insieme formato da tutti gli elementi di due o più insiemi.

Proprietà dell'unione:

1. Idempotenza:

2. Commutativa:

3. Associativa:

4. Distributiva dell'unione rispetto all'interesezione:

• Differenza: l'insieme differenza è l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono al primo insieme e non appartengono al secondo insieme. C = A/B; C = A-B

L'ordine degli insiemi è importante.

• Complemento relativo: coincide con l'insieme differenza. "E' ciò che manca per completare il tutto"

• Complemento assoluto: /A = U - A

De Morgan I: il complementare dell'intersezione di due insiemi è uguale all'unione del complementare del primo insieme col complementare del secondo insieme.

De Morgan II: il complementare dell'unione di due insiemi è uguale all'intersezione del complementare del primo insieme col complementare del secondo insieme.

Partizione di un insieme:

Partizione: insieme di parti non vuote, disgiunte a due a due e la cui unione è l'insieme intero. E' un sottoinsieme dell'insieme delle parti.

Classi della partizione: le singole parti, i sottoinsiemi che formano la partizione.

Coppie ordinate: nella coppia ordinata l'ordine con il quale figurano gli elementi è fondamentale.

Prodotto cartesiano di insiemi:

Prodotto cartesiano: insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B. A x B

Per rappresentarlo graficamente si usano il diagramma a frecce, una tabella a doppia entrata e il piano cartesiano. Nel piano cartesiano, una volta segnati i punti, si tracciano le

parallele passanti per i punti e si prende il punto in cui si intersecano.

Cardinalità del prodotto cartesiano: |A| x |B|

Il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa A x B

• Proprietà distributiva rispetto all'unione:

• Proprietà distributiva rispetto all'intersezione:

• Proprietà distributiva rispetto alla differenza:

Relazioni tra insiemi:

Relazione tra insiemi: insieme formato da coppie ordinate formate ognuna da un elemento di A e da un elemento di B. R di A in B

A: dominio; B: codominio.

Se e e sono asso iati mediante si s ri e a, b) verifica la relazione" oppure "la coppia (a, b) soddisfa la relazione". In caso contrario aRb: "la coppia (a, b) non verifica la

relazione"

Immagine: l'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio

della funzione. funzione inversa

Controimmagine: la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del

dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme.

Algebra e geometria Pagina 2

aRb

b è detta immagine di a mediante R

a è detta controimmagine di b

Grafico di una relazione: insieme formato dalle coppie ordinate che verificano la relazione R. E' sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due insiemi posti in relazione. Può anche essere vuoto o

coincidere con il prodotto cartesiano tra i due insiemi.

-1 -1 -1

Relazione inversa: relazione R , che ha come grafico l'insieme delle coppie ordinate di R con l'ordine invertito. aRb "è quadrato di" G(R) = {(4, 2), (9, 3)}; bR a "è radice quadrata di" G(R ) = {(2, 4), (3, 9)}

Relazione composta: dati tre insiemi A, B e C, se R è una relazione di A in B e S è una relazione di B in C, allora esiste una relazione SoR di A in C. S composto R. aRb e bSc a(SoR)c

Attenzione all'ordine!

Proprietà delle relazioni:

• Riflessiva: A = {a, b, c, d}; G(R) = {(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(a, b),(c, d)} Una relazione R in un insieme A è riflessiva se

". Una relazione in un insieme non è riflessiva se vi è anche un solo elemento dell'insieme che non è in

relazione con se stesso.

• Simmetrica: A = {a, b, c, d}; G(R) = {(a, b),(b, a),(a, c),(c, a),(b, c),(c, b)} Una relazione R in un insieme A è simmetrica se

na rela ione in un insieme se i an e solo tale e

• Antisimmetrica: aRb e bRa non possono coesistere quando a è diverso da b. La proprietà antisimmetrica dice che se aRb e bRa allora a = b. Non è antisimmetrica quando anche solo una coppia

sia (a, b), (b, a).

• Transitiva: se

Relazione d'equivalenza: una relazione si dice equivalente se gode delle proprietà:

• Riflessiva Si guarda nell'insieme di partenza A

• Simmetrica Si guarda nell'insieme R della relazione

• Transitiva Si guarda nell'insieme R della relazione

Classe di equivalenza: data una relazione R di equivalenza in un insieme A, si chiama classe di equivalenza, individuata da un elemento a appartenente ad A, l'insieme di tutti gli elementi di A che sono

equivalenti ad a mediante R. A = {32, 1325, 325, 208, 18, 3, 1, 27, 1002} R = ha la stessa cifra iniziale 3 sottoinsiemi: {32, 325, 3}; {1325, 18, 1, 1002}; {208, 27}.

equivalenti a 32; equivalenti a 1325; equivalenti a 208

[32] = {32, 325, 3}

La classe si indica con la parentesi []. [1325] = {1325, 18, 1, 1002}

[208] = {208, 27}

Proprietà delle classi di equivalenza:

• Due elementi qualsiasi di una stessa classe di equivalenza sono equivalenti tra loro.

• Data una relazione di equivalenza R in un insieme A, due classi di equivalenza aventi un elemento in comune si dicono uguali.

• Ogni relazione di equivalenza in un insieme ne determina una partizione in classi di equivalenza. Ogni classe di equivalenza è una classe della partizione dell'insieme.

• Ogni partizione di un insieme ne determina una relazione di equivalenza.

Data una relazione di equivalenza, come trovare le classi:

A = {albero, treno, casa, alunni, tessera, asta, cemento, arco}

R = ha la stessa lettera iniziale di

Consideriamo "albero": [albero] = {albero, alunni, asta, arco}

Poiché [albero} A, prendiamo un altro elemento ualsiasi dell insieme: treno : treno = {treno, tessera}

Poiché [albero] e [treno] A, prendiamo un altro elemento e non appartiene a nessuno dei due: asa : asa = { asa, emento}

Poiché [albero] e [treno] e [casa] = A, abbiamo concluso.

Congruenza modulo n in Z:

a = numero intero relativo

n = numero intero positivo

a : n = k + r r = resto

quindi a = nk + r ponendo r > 0

Es.1

n = 5 a = 19 19 : 5 = 3 + 4 19 = 5 x 3 + 4

Es.2

n = 5 a = -22 -22 : 5 = -4 + (-2) -22 = 5 x (-5) + 3 artificio: per rispettare r > 0, si modifica l'espressione a = nk + r

n = 3

a = 14

b = -13 Algebra e geometria Pagina 3