Insiemi numerici

INSIEMI NUMERICI

N:

{0; 1; 2; 3...}

Z:

{...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

z ∈ N

-2 ∉ N

⊆ incluso

∈ appartiene

∉ non appartiene

⊆ implica

non esistono m, n ∈ N: ^m/_n = d

DIM Per assurdo sia ^m/_n = d

(m, n primi tra loro)

d² = 1² + 1² = 2

^m2/_n² = 2

m² pari => m pari

(se m è dispari ossia ∃k ∈ N: m = 2k + 1) allora m² = 4k² + 4k + 1

∃k ∈ N: m = 2k

4k² = n²

2k = n² => n² pari => n pari

Un numero razionale ha una rappresentazione decimale limitata o illimitata periodica.

2, 3/2

3, 42555...

I numeri irrazionali hanno una rappresentazione decimale illimitata non periodica

√2 = 1,414...

π = 3,1415...

e = 2,7182818...

R = Q ∪ {numeri irrazionali}

∪ unione

INSIEMI NUMERICI

N: {0; 1; 2; 3; ...}

Z: {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}

Z ⊂ N

appartiene

-2 ∉ N

incluso (n ∈ N → m ∈ Z)

Implica C ⊂ Z

(n ∈ N → m ∈ Z₁) → non si può invertire

se e solo se

Q = {^m⁄_n: m, m ∈ Z, n ≠ 0}

dove m/m = m₁/m₂, ↔ m: m₁, m: m₂, m: m

^m⁄_n = d

²⁄₃ = ⁴⁄₆ (6:2 = 4:3)

Non esistono m, n ∈ N: ^m⁄_n = d

DIM Per assunto sia ^m⁄_n = d (m, n primi tra loro)

d² = 1² + 1² = 2

^m2⁄_n² = 2 → m² = 2n² → m² pari → m pari

(se m² dispari ossia ∃k ∈ N: m = 2k + 1 allora m² = 4k²+4k+1

∃k ∈ N: m = 2k

4k² = 4k+1

2k² = n² → n² pari → n pari

entrambe pari → multipli di 2 → assurdo: il fatto che m e n sono primi tra loro

Un numero razionale ha una rappresentazione decimale limitata o illimitata periodica.

2, 3

3, 4 2 555 ...

I numeri irrazionali hanno una rappresentazione decimale illimitata non periodica.

√⫬2 = 1, 414...

π = 3, 1415...

e = 2, 718 2818...

R = Q ∪ {numeri irrazionali}

unione

STRUTTURE D'ORDINE: x ≤ y

L'è una corrispondenza biunivoca tra ℝ e la retta euclidea una volta fissati un'origine, un'unità di misura e un verso di percorrenza

x ≤ y ⇔ x ≤ y ∨ x = y

oppure

• x ≥ y

ESEMPIO

• 2 ≤ 3 ⇔
  • VERA
  • VERA
  • FALSA
• 2 = 3 FALSA
• 2 = 2 VERA

• x ≤ y
• z ∈ ℝ
• ⇒
• x + z = y + z

• x ≥ y
• z ≥ 0
• ⇒
• x ċ z ≤ y ċ z

• x ≤ y
• z < 0
• ⇒
• x ċ z ≥ y ċ z

DEFINIZIONE

X ⊂ ℝ si dice limitato superiormente se ∃ un numero k ∈ ℝ : ∀ x ∈ X, (x ≤ k)

lim inf ... x ≥ k

ESEMPIO

• X : {x ∈ ℝ : x ≤ 5}
• U {x ∈ ℝ : 6 ≤ x ≤ 7}

• ESEMPIO: ℕ
• 0
• 2

OSSERVAZIONE

x ⊂ ℝ lim sup ⇔ ∃ h ∈ ℝ : ∀ x ∈ X, x ≤ h

INTERVALLO: a ≠ b

• (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}
• (a, b) ⇒ Aperto limitato
• [a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
• Chiuso limitato
• (a, b], (a, b)
• (a, +∞) = {x ∈ ℝ : x > a}
• [a, +∞), (-∞, b), (-∞, b]
• ℝ = (-∞, +∞)
• ∅
• ɾ ɾ

A ∩ B è ancora un intervallo

A ∪ B non è un intervallo

DEF

X_cℝ _kℝ

k è un maggiorante di X se ∀x ∈ X, x ≤ k

k è il MASSIMO di X se è un maggiorante e k ∈ X

Y_c = (2, 3) → 3 = max X

X_c = (2, 3)

non ha max

Sono maggioranti i numeri k ≥ 3 → 3 = sup X

k si dice estremo superiore se k è il minimo dei maggioranti

OSS Se ∃ max allora sup X = max X

ES X = { ¹⁄_m | m = 1, 2, 3... } —-1/3----1/2-0--→

sup X = 0

inf X = -1 = min X

CARATTERIZZAZIONE:

k = sup X ⇔ ∀x ∈ X, x ≤ k

∀ε > 0 ∃x ∈ X: k - ε k

ES X = { ^m-1⁄_m | m = 1, 2, 3... } _cℝ

sup X = 1 = k

1. ^m-1⁄_m ≤ 1 ∀ m = 1, 2, .... → 1 - ¹⁄_m ≤ 1

—►————

2. ∀ε > 0 ∃ n: ^m-1⁄_m > 1 - ε

x - ¹⁄_m ＞ k - ε

¹⁄_m < ε → ⁿ⁄-¹⁄_ε-

Dato ε > 0, scelgo n ∈ N, n ＞ 1/ε allora ^m-1⁄_m > 1 - ε

Assioma di completezza di R

Ogni sottinsieme X _c R limitato superiormente ha estremo superiore (∃k ∈ R: k=sup X)

X = {x ∈ Q: x² < 2} sup X=√2

Se X non è limitato superiormente si pone sup X=+∞) → es. sup |N = +∞

Densità di Q in R

Ogni numero reale si approssima bene quanto si vuole con numeri razionali

Se x, y ∈ R, x < y, ∃q ∈ Q: x < q < y

|x _q

Valore assoluto

x ∈ R

|x| = { x se x ≥ 0

-x se x < 0

|3| = 3

|-5| = (-5) = 5

|0| = 0

|x - y| distanza tra x e y

|x - y| = |1 - 3| = |-2| = 2

x=1, y=2

Se a > 0

|x| < a ↔ -a < x < a

|x| > a ↔ x < -a ∨ x > a

|x|=a ↔ x=a ∨ x=-a

|x| ≠ a ↔ x ≠ a

|x|